Tirada de chapas

Las perras gordas que se lanzan en las chapas de semana santa

Las perras gordas que se lanzan en las chapas de semana santa

¡Hola a todos!

Volvemos a dar a esto de las matemáticas con una de las tradiciones más extrañas de la Semana Santa española, por lo menos en mi tierra de Castilla (aunque supongo que será más o menos igual en todas las comunidades): las chapas.

Siempre me intrigó este juego, pero de pequeño no recuerdo haber visto partidas en mi localidad natal, Aranda de Duero, pese a que mi padre insiste en que la gente apostaba (y ocasionalmente perdía) el coche o incluso la escritura de la casa. En Valladolid sé que se hacen, porque llegan estas fiestas y todo se llena de carteles anunciado partidas en bares y cafeterías, aunque nunca me había acercado. Sin embargo, este fin de semana, en el pueblo de mi novia, he podido ver partidas en los bares ya que Semana Santa es la única fecha donde las autoridades dan permisos especiales para organizar este juego tradicional (requiere de una licencia, tiene mala fama y está prohibido de forma normal).

Antes de meternos en harina con las matemáticas, diré a modo de apunte que indagando me he encontrado con que es una reminiscencia de la tradición de los soldados romanos de jugarse a los dados las pertenencias de un condenado a crucifixión. Lo digo porque imagino que muchos tendrán la misma duda que yo, a saber… ¿qué diantres tiene que ver un juego de azar con estas fechas? Pues ya lo sabéis.

En fin, para el que no lo conozca, las chapas es un juego de apuestas sobre cómo van a caer al suelo dos chapas (obvio), marcadas con caras y cruces (o lises). Hay dos clases de jugadores: uno hace de banca y apuesta una cantidad de dinero, y la segunda clase de jugadores apuesta contra ese banca. La banca gana si consigue doble cara, y sólo puede retirarse del juego si acumula tres dobles caras. En el momento en que saca doble cruz pierde (lo apostado y acumulado que llevara en esa partida) y si sale cara – cruz se repite el lanzamiento y nadie gana ni pierde.  Podéis encontrar una breve reseña en wikipedia aquí.

¿Es un juego fácil de ganar o no? Vamos a analizarlo desde el punto de vista de la banca. Para ello vamos a calcular la probabilidad de ganar en n tiradas de chapas (es decir, de ganar exactamente al cabo de 3, 4, 5 o 100 rondas).

Vamos a suponer que el jugador banca se retira del juego en el momento en que gana una partida (esto es, cuando alcanza las ansiadas tres dobles caras). Entonces tenemos:

  • n rondas con n mayor o igual que 3 (no tiene sentido tirar una sola vez o dos las chapas).
  • La probabilidad de ganar, sacar doble cara, es 1/4, la de perder (sacar cruz -cruz) es 1/4 y la de repetir o empatar en 1/2 (cara – cruz o alternativamente cruz – cara). Llamando G,E y F a ganar, empatar y fallar o perder, tenemos que P(G)=P(F)=1/4 y P(E)=1/2.
  • La última ronda que buscamos ha de ser ganada, que será cuando el jugador banca anuncie que se retira.

Entonces tenemos que lo que buscamos son las probabilidades de sacar:

chapas1

Entonces tenemos que la probabilidad buscada son todas las ramas del árbol que contengan (n-1) elementos, repartidos siendo 2 de ellos G (dos jugadas de doble cara) y el resto, (n-3), jugadas de empate llamadas E, ordenadas de cualquier forma, y que además acaben en una jugada G.

Es decir buscamos ramas de probabilidad:

chapas2

Siendo, efectivamente el primer multiplicando la probabilidad de sacar las dos jugadas de doble cara (las dos primeras G) , el segundo la probabilidad de los n-3 empates o repeticiones y la última la probabilidad de sacar la última y final jugada de doble cara.

Estas ramas del árbol aparecen en éste en un número igual al número de colocaciones de la secuencia de n-1 elementos G,E,E…. de las n-1 primeras tiradas (la última es fija y es G irremisiblemente). Se trata por tanto de permutaciones de estos (n-1) elementos con repetición, tomando las G dos veces y las E (n-3) veces.

Por tanto la probabilidad buscada son todas las ramas de esta forma, por lo que serán:

chapas3

Que es, efectivamente la probabilidad de ganar en la ronda n.

Si queremos calcular qué probabilidad hay acumulada de ganar en la ronda 3, 4,5,6  hasta la ronda infinita, es decir, qué probabilidad tengo de ganar una partida siendo banca si juego infinitas veces, hay que sumar el valor de esa expresión en n=3,n=4, n=5… hasta n=infinito.

Es decir:

 chapas4

Que no es algo trivial ni mucho menos. Es una progresión aritmético-geométrica de orden 2, ya que el numerador es una progresión aritmética de orden 2 y el denominador es una progresión geométrica normal y corriente. Resolverla es pesado pero no muy difícil. El truco está en desarrollar la serie tal cual y desarrollarla multiplicada por la razón de la geométrica (1/2 en este caso). Después se restan ambas y se agrupan por denominadores comunes. Quedan dos términos sin agrupar y el resto conforman una nueva progresión aritmético-geométrica de orden 1 (el numerador es de grado 1, vamos). Repetimos el proceso con ésta nueva y logramos obtener una progresión geométrica de la que calculamos su suma infinita. Sustituimos hacia atrás y voilá tenemos una expresión que si evaluamos en n tendiendo a infinito nos dará el valor de la serie original. ¿difícil? No, para nada. Veámoslo. Voy a calcular la suma sin arrastrar el 1/16 del principio para no enfangar el cálculo. Recordad que luego hay que añadirlo al final.

chapas5

Restando ambas expresiones obtenemos algo como:

chapas6

Repetimos el proceso para la subsuma que nos ha aparecido. Observad la iteración del proceso, en cada ronda aplicada el numerador baja un grado, de esta forma voy convirtiendo una aritmético-geométrica en una geométrica subyacente que sabemos resolver.

chapas7

Restando ambos y agrupando por denominadores comunes como antes llegamos a que:

chapas8

Ese último término entre paréntesis es una bonica progresión geométrica de razón 1/2, por lo que podemos calcular su suma infinita quedando:

chapas9

Entonces al llevarlo a infinito:

chapas10

Sustituyendo esto en la expresión de la suma y llevando la suma al infinito obtenemos que:

chapas11

Por lo que la expresión original es:

chapas12

Es decir, si juegas infinitamente, tendrás como banca 1/8 de posibilidades de ganar una vez la partida y retirarte con tus ganancias.

Como curiosidad os diré que si analizáis la expresión del principio veréis que ganar a la primera (tres veces seguidas GGG) es más difícil que ganar en 4 o 5 tiradas. De hecho, lo más probable si ganáis es que lo hagáis en la tirada 5 o 4. A partir de ahí las probabilidades de ganar la partida bajan cada vez más (por lo que la suma es convenientemente convergente).

Os dejo una gráfica con las posibilidades. Si hacéis de banca y pasáis de la quinta tirada sin haber sacado tres veces cara doble…comenzad a preocuparos….

chapasGrafico

doble cara…comenzad a preocuparos….

¡Ollas Cuadradas!

¡Hola a todos! Resulta reconfortante volver a escribir en el blog, que he tenido abandonado estos últimos meses. Lo lamento de veras. Aunque sin duda la responsabilidad de ello es mía, este aparente abandono no ha sido voluntario y se ha debido a diversos factores relacionados con mi vida laboral. Veréis, este verano participé en la oposición de Andalucía de secundaria, en la especialidad de matemáticas. La verdad es que me salió muy bien y decidí descansar ese verano de mates y números. En agosto creo recordar que llegaron las notas y acabé muy bien posicionado aunque no logré plaza porque no tenía experiencia laboral más allá de academias (que no cuenta) y similares. Noveno o así de mi tribunal y había cuatro plazas solamente (por tribunal). No obstante, un futuro de buen interino para coger esos puntitos de experiencia necesarios se abría ante mis ojos….

Nunca vendáis la piel del jabalí antes de haberlo cazado…


Resulta que en Andalucía priman ante todo la experiencia. No es una mejora en puntos, no. Llaman a los interinos atendiendo a ello exclusivamente pasándose por el arco del seno la nota que se pueda haber sacado en oposición.
Así que igual están disfrutando de un cenutrio que rascó un cinco pelado hace años, cuando se ataban perros con longanizas en toda España y se coló mogollón de gente al socaire del elevado número de plazas que se ofertaban (en un año de esos yo hubiera logrado una plaza).
Pero bueno….
Por suerte he logrado trabajo como profesor de programación dando un curso de HTML, CSS, JavScript, PHP y AJAX a desempleados aquí en mi tierra pucelana. Y claro, esto ha hecho que me tenga que centrar más en confeccionar un juego de ejercicios de programación que en las matemáticas. Mil perdones. Prometo que intentaré que no vuelva a pasar XD.

Pero basta de lloros. Al tema. El tema que os traigo hoy es….

“¿Por qué no hay (de forma general, en realidad haberlas, haylas) ollas de sección cuadrada?”


(Por sección nos referimos a que si las cortamos con un plano paralelo a su base se obtenga un corte con forma de cuadrado.)
Uno podría pensar que es para evitar que la comida se quede inaccesible en las dichosas esquinas, pero no parece razón suficiente. Pensad que también tienen ventajas, como por ejemplo que si queremos volvar el contenido de una olla en otro recipiente, el ser cuadrada tendría ventajas, ya que se podría usar la esquina a modo de riel y lograr un flujo constante. Esto es algo dificilillo con recipientes cuadrados y si no, que alguien me diga si no ha manchado la encimera al intentar meter lo que quedaba de una sopa en un tupper por ejemplo.
No, la razón es geométrica. Simple, pero bonita manera de meter la geometría en la cocina.
En una olla cuadrada se verificará que la diagonal será siempre mayor que cualquiera de los lados de la olla. Esta es una propiedad fundamental de los triángulos rectángulos. De los tres lados, inequívocamente el mayor de ellos será la hipotenusa. Es algo lógico de ver analizando el Teorema de Pitágoras :

piti_ollas
pitagoras-formula

Supongamos h,x,y mayores que cero. Supongamos que x es mayor que h. Entonces ya se cumple que la raíz del cuadrado de x es mayor que h. Entonces no es posible el teorema de Pitágoras porque implica que h es mayor que la raíz del cuadrado de x. Cambiando x por y obtenemos exactamente la misma contradicción. Como el Teorema de Pitágoras es verdadero, es nuestra hipótesis la que falla. Efectivamente que h es la mayor de la terna x,y,h.
¿Y qué tiene que ver nuestra bonica hipotenusa con todo esto? Muy simple, que como la hipotenusa es mayor que cualquiera de los lados, la tapa cabe por el agujero de la olla. Es decir, se puede colar la tapa (aunque sea parcialmente) dentro de la misma, si se llega a mover por acción, por ejemplo, no sé yo, quizás de ponerla a hervir demasiado fuerte.
No obstante con la clásica olla cilíndrica (más o menos) de la abuela esto NO pasa. En ella la abertura es un círculo, que como todo el mundo sabe tiene un diámetro constante. Si el diámetro de la tapa es un poco mayor (para encajarla) o sencillamente igual que el de la olla, la tapa jamás se escurrirá por dentro del recipiente. Nuestros guisos estarán a salvo de quedarse en esquinas pegados o de contaminarse con polvillo y suciedad que pudiera haber en la tapa… que precisamente existe, entre otras cosas, para preservar al contenido del exterior.

Esa vieja polémica de ciencias/letras

Leo en este artículo de El País de Jose Luis Pardo (filósofo), y que podéis encontrar aquí, una disertación sobre el “unánime consenso” acerca de la mayor dificultad de los estudios de ciencias (es decir, ingenierías varias, física, química y exactas por englobar algunas) sobre las de humanidades, vulgo letras, (filologías, derecho, periodismo, filosofía y letras). El autor pone en cuestión la existencia de esta diferencia de niveles. Siendo éste un blog de matemáticas y siendo un servidor ingeniero, me veo en la obligación de exponer a modo de réplica mi humilde punto de vista:

Naturalmente que las carreras de ciencias engloban más dificultad que las llamadas de letras. Y, naturalmente, ello no quita mérito ni a una ni a otras.

Y ahora, voy a argumentar.

El autor analiza la existencia de este consenso, y parte de la existencia de dos familias de razones; las cuantitativas y las cualitativas.  Normalmente, añade, los alumnos de ciencias tardan más en acabar sus estudios, y da tres posibles explicaciones a este sorprendente hecho:

  • Los alumnos de ciencias somos más torpes.
  • Los profesores de humanidades son más ignorantes y menos exigentes.
  • En ciencias se enseña peor que en humanidades.

Evidentemente, se deja en el tintero la que es la madre de las razones (pero no excluyente): las ciencias son más difíciles de asimilar y dominar que las letras. El análisis que Jose Luis Pardo hace de estas tres hipótesis que lanza son bastante buenas, si bien disiento un poco en calificar el bachillerato de humanidades como “el pelotón de los lerdos” donde van aquellos que no se tratan con las mates y la física; del mismo modo, digo yo, podríamos argumentar que a ciencias van aquellos que no se aclaren con la Historia o con la literatura, con sus metáforas y significados ocultos encerrados en sonetos. Esto, digo yo, no es cuestión de capacidad, es cuestión de habilidades y gustos. Y me extraña que el autor vea esta elección como un menosprecio, como un segundo plato. Es más, denota a mi juicio una infravaloración  de su propia rama del saber.

No obstante, son en las razones cualitativas donde el autor y un humilde servidor más diferimos. Se insiste, desde el artículo, que determinados conceptos filosóficos son, en esencia, tan dificultosos y complejos como la teoría de la relatividad u otros conceptos de carácter físico. De hecho, reta a demostrar este argumento. Yo creo poder exponer varios contraejemplos, pero primero prefiero exponer algunas cosillas:

Primero, el nivel de muchas licenciaturas de letras es sencillamente ridículo. Ojo, no digo que sean per se más fáciles, de momento. Digo lo que digo. Esto no es un consenso, es un hecho que apreciamos todos los estudiantes. Ciertas carreras como periodismo o filología hispánica son la chufla no sólo de ingenierías (que sí, que a veces tenemos demasiado autobombo), sino también de otras licenciaturas afines como clásicas, y esto es una revelación de primera mano de gente que ha cursado ambas ramas de filología. Y curiosamente, estos dos ejemplos agrupan a un amplio porcentaje de los alumnos de humanidades. En general, el nivel medio es bajísimo en estos campos ¿No os habéis dado cuenta nunca del gran número de erratas, falta de expresión y faltas ortográficas que hay en los medios de comunicación? En Europa los ingenieros, matemáticos, médicos, enfermeras y físicos españoles son bastante solicitados. No parece ocurrir lo mismo con periodistas o filólogos por lo que he visto en anuncios de demanda de empleo. No obstante, evidentemente la chufla del currículo y el nivel de conocimientos no son, ni por asomo, equivalentes a los de la gran estafa universitaria de España; la carrera de magisterio, a cuyos alumnos he dado clase, con los que he estudiado (en Valladolid teleco y magisterio están pegadas) y cuyas asignaturas he cursado (en libre configuración y donde vi por cierto a chicas de 19 años que no sabían sumar fracciones con diferente denominador). No obstante, y en justicia, no sé en qué paquete insertar el grado de magisterio, si en letras o en ciencias, asi que lo dejaré correr.

De vuelta al artículo de El País, debo decir que la gran diferencia que hace a la matemática más difícil que la filosofía por poner un ejemplo es que una es exacta y ha evolucionado, teniendo todavía milenios de desarrollo. Es un edificio que nunca acabará. Sin embargo, ¿qué es la filosofía? Inútil no, desde luego. Pero tampoco difícil. Es terriblemente poco precisa, laxa, simplona para los estándares científicos actuales. Cualquiera con conocimientos de física puede entender sin muchas dificultades conceptos como los juicios de Kant o las diatribas de Hume con la causalidad. No es tan complicado. Ahora, reto yo, probemos al revés. A ver qué pasa cuando un filósofo tenga que explicarme detenidamente y con precisión matemática la solución de la paradoja de Aquiles y la Tortuga. O el Hotel de Hilbert. O Topología. Y no hablo de vaguedades, sino de una explicación rigurosa. El afán que tuvo la primigenia filosofía de abarcar todo aspecto del saber (fue de hecho, madre de las ciencias) es su propia tumba. Privada por la física de su posición para explicar el mundo, la filosofía ha devenido reducida a la ética a lo largo de este último siglo. Y ahí los conceptos por norma general son sencillos de entender (otra cosa es resolver, si se puede, las paradojas éticas).

Por último no quiero dejar en el tintero la razón clave de la mayor dificultad de las ramas científicas y técnicas; tenemos que ser rigurosos, hemos de saber y entender, pero también tenemos que resolver y/o demostrar. La intuición necesaria para ello se puede guiar y desarrollar, pero no adquirir sólo por memorizar conceptos o relacionarlos. En matemáticas existen las ideas felices (Arquímedes y su Eureka, esas cosas…), y llegar a eso conlleva, normalmente, más tiempo que empollarte el Derecho Romano o qué pensaba Kant sobre la filosofía de Descartes. Por cierto…¿Cuántos filósofos pueden entender el tercer libro del Discurso del Método dedicado a la Geometría?.

No quiero subestimar la importancia de las Humanidades hoy en día (son muy muy muy necesarias), ni poner en plano superior a los alumnos de ciencias sobre los de letras. Pero, y esto es importante, de la misma forma que no es igual de fácil conducir un camión con dos remolques que un utilitario, no todos los estudios poseen de base la misma dificultad. Niet. Nein. No. Y al igual que los coches y los camiones, eso no significa que uno de ellos tenga que tener más derechos o estima por parte de la sociedad en la carretera.

 

El segmento entre dos puntos es el camino más corto…

…O por lo menos, euclídeamente hablando, si me permitís el palabro.

Estoy tan tan aburrido de la oposición que me descubro a mi mismo garabateando chorradas en los márgenes de los apuntes (rollo Fermat pero en cutre). Y muchas veces, se me ocurren cosillas para el blog que no posteo más que nada por falta de tiempo. La PAU está a la vuelta de la esquina y los de segundo de bachillerato acaparan mis jornadas.

Hoy vamos a demostrar de una manera muy simple ese mantra tan repetido entre los alumnos que es “el segmento entre dos puntos es el camino más corto entre dichos puntos”. Obviamente en geometría sencillita, ni esférica ni hiperbólica ni gaitas. El plano XY de toda la vida. Y no vamos a usar la desigualdad triangular, porque con ella pues sale todo muy bien y muy bonito. Vamos a hacerlo más artesanalmente.

Además, este post es la historia de cómo las matemáticas hacen que te creas un tío avispadete y con ojo para estas cosas… para enseguida bajarte del burro y dejarte al nivel al que debes estar. Como decían en un vídeo que rula por Internet…“…y tú te vienes aquí, creyéndote más que Cauchy….”. Pues eso. Que las mates son una cura para el orgullo. Enseñan, oh, sí. Modestia más que nada.

Vamos con la idea que yo había garabateado (y que pensé que era buena, bonita y barata…):

Supongamos dos puntos A y B separados una distancia R. Supongamos un tercer punto, C, no alineado con ellos. Es decir, esto:

distancia1

Tracemos una circunferencia de centro A y otra de centro B, ambas de radio R, y llamemos X e Y a los segmentos que unen A con C y B con C respectivamente.

distancia2

Ahora vamos a ir analizando qué pasa según dónde coloquemos C, e iremos viendo que siempre X+Y>R, luego R será el camino más corto.

  • Si C está fuera de la circunferencia de centro A, automáticamente X>R luego X+Y>R

distancia3

  • Si C está en la circunferencia A entonces X=R luego X+Y>R.

distancia4

  • Si C está dentro de la circunferencia de centro A pero fuera de la de centro en B (fuera de la zona común), tendremos que Y>R luego X+Y>R:

distancia5

  • Por último, si C está dentro de la circunferencia de centro A y también dentro de la de centro en B, tenemos que X>R y que Y<R. Ahora tracemos una circunferencia de centro C y radio hasta B como en la figura, para abatir Y sobre X y comprobar que efectivamente, X+Y>R

distancia6

 

Como habréis observado, este último caso es más denso que el resto, que eran elegantemente simples. Además, tiene la trampa de que funciona porque ha dado la casualidad de que los segmentos X e Y suman más que R (que sí, que pasa siempre, pero…. este método no lo demuestra, más bien lo usa). Asi que ya veis cómo de estar satisfecho con mis garabatos pasé a intentar pulir este caso, bajo la idea de que no podía ser tan complicado hacerlo fácil. Y nop. No encontré la forma de pulirlo.

Asi que como no estaba satisfecho y sigo sin querer usar la desigualdad triangular (las condiciones de formación de un triángulo ya implican que la suma de X+Y es mayor que R siempre), he optado por otro método, sin casos ni gaitas.

Otro enfoque, pues:

Supongamos los puntos A,B y C sin circunferencias ni nada. Tracemos el triángulo que forman. Ahora, llevemos el lado Y  a continuación de X abatiendo con el compás, quedando un nuevo punto E. Es decir:

distancia7

Consideremos que R es mayor que X e Y. ¿por qué? Pues porque si no, entonces X+Y>R automáticamente.

Ahora tracemos el triángulo CEB. Es isósceles, luego hay dos ángulos en E y en B iguales, llamémoslos alfa. Pero, además, hay otro triángulo, que es AEB, con un ángulo en B mayor que el alfa de antes, que llamaremos beta. Es decir, algo así:

distancia8

Ahora viene la idea. Se puede demostrar que en un triángulo, a mayor ángulo, mayor lado enfrentado (es algo obvio si lo pensáis, yo siempre digo a mis alumnos que el cocodrilo tiene que abrir más la boca cuánto mayor es la presa que se quiere jalar), así que veamos:

  • el ángulo alfa del vértice E tiene enfrente un lado R (el azul).
  • El ángulo beta tiene enfrente el lado X+Y
  • Es claro que beta>alfa, luego en los lados enfrentados tenemos X+Y>R siempre.

Claro y sencillo, aunque hay que basarse en un teorema que tampoco es que sea muy difícil de demostrar, de hecho lo podéis encontrar en Internet. Me gustaba la idea inicial porque no sé, era sencilla y elegante. Lástima que se complicara en el caso final. En fin, que sirva de ejemplo de cómo una buena idea a priori (llegas a pensar si no se le habrá ocurrido nunca a nadie, momentazo de ser iluso) se tuerce al final en el caso que era, desde luego, el más interesante de todos.

El método de Descartes

Cómo le debía gustar la palabrita “método” a René Descartes, oigan….

Sigo con la oposición, centrándome estos días en la niña fea del temario. Aquellos que nadie se prepara nunca porque no gustan. ¿A nadie? No, qué va. A mí, de hecho, me encantan. Hablo de los temas de Historia de las Matemáticas.

Estos días estoy con la historia del cálculo diferencial e integral, es decir del Análisis desde que Euler los junta a ambos en una sola disciplina. Y me he topado con algún método curioso de esos que se usaron para hacer las cosas que hoy en día calculamos con derivadas o integrales.

Imaginaos que queréis calcular la ecuación de la tangente de una función en un punto. No de una función especialmente difícil ni rara. Un seno. Un logaritmo. Una función racional. Esas cosas.

Cualquier alumno avezado de bachillerato se irá corriendo a derivar la función y evaluarla en el punto de tangencia porque como todos sabemos, la pendiente de la tangente es realmente el valor de la derivada de la función en dicho punto. El resto es coser y cantar, sólo hay que completar la ecuación punto pendiente de la tangente con las coordenadas del punto y el valor de la pendiente (es decir, el de la derivada).

No obstante estas formas de actuar se las debemos a dos monstruos con mayúsculas de la ciencia. Leibniz y en menor medida, Newton. Ellos dos se rumiaron la idea de derivada e integral como entes relacionados (de acuerdo, incluiremos también a Barrow y a más gente) y alejaron definitivamente el análisis funcional del estrecho corsé de la Geometría, al que le habían sometido desde Arquímedes hasta Descartes, que es el prota de este post. (¿Os suena el Discurso del Método de clase de filosofía? Pues el tercer libro del Discurso se llama… Geometría. Deberían explicarlo en mates, ¡leñe!)

El caso es que antes de que Leibniz y Newton, Newton y Leibniz y sus sucesores  nos pusieran las herramientas actuales de trato con funciones en las manos, cada cual se creaba herramientas apropiadas para cada problema por separado. Uno de los problemas era el de calcular la tangente de una curva en un punto sin usar derivadas ya que… ¡bueno, no se conocían!. Y una de las soluciones es la de Descartes. He aquí:

Consideremos que queremos la tangente en P de una curva f(x). Tomemos una circunferencia auxiliar de centro (C,0) con C cualquiera y radio de C a P. Es de suponer que la circunferencia será secante a la función en dos puntos. Arrastremos el centro C hasta que logremos que la circunferencia sea tangente a la curva en P. Entonces, podemos trazar la tangente a la circunferencia en P (es sencillo, será perpendicular al radio CP) y a su vez será tangente a la curva en P.

 

Un original método que analíticamente consiste en considerar el sistema formado por la ecuación de la circunferencia y la propia función y forzar a que sólo tenga una solución, en P. Con eso ya se tiene la coordenada exacta de C y el radio. Y con el vector del radio, sacar el perpendicular (el de la recta tangente) es inmediato. ¡Y sin derivar!

Os dejo en Geogebra un applet con el que podéis practicar sintiéndoos como Descartes. Analíticamente el método no es  cómodo ni mucho menos (depende de la dificultad a la hora de forzar una solución única en el sistema) pero es muy curioso y muy ingenioso. Como siempre, pinchad o en la imagen o aquí:

metodo de descartes 1

Veamos analíticamente cómo funciona. Por ejemplo, hallar la tangente de:

metodo de descartes 2

en el punto P(2,2).

Se trata de solucionar el sistema formado por la circunferencia de centro C(C,0) y radio CP y la propia función, forzando que la solución sea únicamente en x=2 (coordenada de P).

Es decir:

metodo de descartes 3

El centro es C(3,0), el radio es el vector PC(1,-2), luego la pendiente de la recta del radio PC es  -2. Entonces la perpendicular tendrá pendiente 1/2 y pasará por P(2,2), luego será la recta       y-2=0.5(x-2), o lo que es lo mismo

Tangente es: Y=0.5X+1

 

Esas indeterminadas que no lo son….

Es muy, muy, pero que muy corriente (la última, esta misma tarde con un buen alumno de 2º de bachillerato) que el concepto de indeterminada se pierda en el proceloso mar del cálculo de límites y que se tienda a complicarse uno la vida por culpa de métodos aprendidos rápido y mal. Para entendernos, que muchas veces se aplica la regla que sea a huevo sin pensar más, vamos.

Consideremos este límite puesto por una profesora de mi lugar de residencia y que sin duda se ha querido echar unas risas a costa de los que estudian tarde, rápido y mal (o para localizar posibles malos aprendizajes, que también puede ser, oye…)

limite1

Contempladlo, amadlo, temedlo….

E intentad resolverlo. Es muy simple: la raíz primera tiende a infinito y la segunda también. Por tanto es un límite cuyo resultado es infinito más infinito, que da como resultado…. Pues evidentemente, infinito. Si sumas dos cantidades grandes de cosas, el resultado es otra cantidad grande. De cajón de madera de pino.

¿Qué a qué viene esto? Pues a que mi alumno lo ha intentado resolver como le sonaba de haberlo hecho en clase. Literalmente, ha multiplicado y dividido por el conjugado, quedándole:

limite2

Que es a su vez un límite mucho más feo y complicado, y con una pesadilla de indeterminada porque dependiendo de qué pase con el denominador tendremos una posible indeterminada u otra en la expresión. Si, se puede sacar a “ojímetro”, razonando que el minuendo del denominador tiende más rápido que el sustraendo (por el grado de X, más que nada) y que por tanto el límite global es infinito entre infinito; y que como el grado del numerador es mayor que el del denominador, el resultado global es infinito.

Sí, se puede hacer. Pero no por ello hay que obviar el hecho de que el fallo está en que se aprende con demasiado énfasis la mecánica en la resolución de límites. Que si L´Hopital (que en este límite tiene pinta de cómo que no, gracias…), que si equivalentes, que si métodos propios… pero en el fondo olvidan (olvidamos) siempre remarcar una sencilla regla.

EVALÚA EL LÍMITE SIEMPRE. Si no hay indeterminada, ya está hecho.

Si mi alumno se hubiera dado cuenta de que este límite NO es el clásico de radical MENOS radical, hubiera tardado cinco segundos en sacar la solución.

Subyace (creo) un problema que es que el alumno medio no comprende bien qué es una indeterminada. Una indeterminada es, coloquialmente, una expresión matemática que al evaluarla a ojo puede darnos dos soluciones diferentes y aparentemente lógicas. Esta no es una definición formal (de hecho, es una definición horrorosa) pero me vale para lo que quiero exponer en este post. En nuestro caso, no había indeterminada porque evidentemente:

∞+∞=∞

Pero si tenemos:

∞-∞=¿?

La cosa cambia porque al restar infinito menos infinito puede ocurrir que gane el minuendo, en cuyo caso el resultado es infinito, que gane el sustraendo, con lo que el resultado es menos infinito o que empaten, y quede la resta estancada en un valor numérico. Cuando digo ganar me refiero a que tienda más rápido a infinito que el otro infinito, y cuando digo empatar, es que tienden con el mismo ritmo.

Es fácil compararlo con una bañera que tiene un grifo que arroja infinita agua y un desagüe que deja salir infinita agua. ¿Cómo queda la bañera? Pues esto es una indeterminada. Con lógica podemos suponer que llena, porque entra infinita agua en ella, o vacía porque sale infinita agua en ella. También puede ocurrir que se compensen ambos y que la bañera siempre tenga una cantidad constante de agua. No podemos determinar fácilmente cuál de los tres razonamientos es el correcto así, a simple vista. Por ello decimos que no está determinado, que es lo que significa indeterminada.

El método de mi alumno hubiera sido acertado si el límite hubiera sido el clásico que siempre se pone en clase:

limite3

Que da infinito menos infinito. Y un método para romper esa situación de indeterminada es multiplicar y dividir por el conjugado, en este caso sí.

Así que ya sabéis. Cuidado con aplicar a lo loco los métodos de resolución de indeterminadas… sobre todo cercioraros primero de que tal indeterminación existe. Si no, pues….¿Pá qué?

ni Mu ni Teta ni nada de eso

Los ingenieros (sobre todo) y en menor medida, matemáticos y físicos, tienen (tenemos) la fea costumbre de llamar a las letras griegas sin orden ni concierto. Eso es un hecho. ¿Quién no ha acabado llamando igual a Fi (Φ, φ) y a Psi (Ψ, ψ), o ha bautizado como Chi (que no existe) a Ji (Χ χ) (recordad a ver cuántas veces un profesor os ha escrito método de Chi-Cuadrado, por ejemplo). Eso sin contar con aberraciones que yo he usado y sigo usando, como llamar borrego o churrito por su maldita grafía a Xi (Ξ, ξ) cuando aparece en minúscula, un habitual en la electromagnética (es el vector de Poynting, creo recordar).

Y qué decir de la manía de usar este convenio no escrito por profesionales de ciencias (y repito, me incluyo): Si no sabes qué letra griega es, llámala Teta, Zeda, o Theta o cualquier nombre parecido, que seguro que cuela.

¿A santo de qué viene ésto? Bueno, es una polémica que tengo con cierta persona de filología clásica desde hace años, cuando vio que en el Código Técnico de la Edificación (biblia de aparejadores, arquitectos e ingenieros de obras públicas y demás) aparecía la letra (Μ, μ) con el nombre que le damos todos los que hemos estudiado física desde el bachillerato, es decir, MU.

No os podéis imaginar lo que se enfadó. Y mucho. De hecho, hoy en día se lo cuenta a sus alumnos de bachillerato, los cuales se ríen mucho con la anécdota. No quiero ni pensar qué hubiera pasado si hubiera echado un ojo a mis apuntes de campos electromagnéticos, por ejemplo, donde en todas las fórmulas se llama a la dichosa letrita así.

Me sorprendió descubrir este error. Y señoras y señores, tenemos que admitirlo. Tooooooooodas estas cosas:

  • Unidades de medida
    • El prefijo micro, carácter micro o símbolo micro del SI, que representa una millonésima, o 10-6 parte de otra unidad.
    • El micrón, una antigua unidad correspondiente al micrómetro (μm).
  • Física
    • En Dinámica, el coeficiente de rozamiento
    • En Electromagnetismo, la Permeabilidad magnética
    • En Mecánica de fluidos, la Viscosidad dinámica.
    • En Física de partículas, La partícula elemental muon.
    • La masa reducida en el problema de dos cuerpos.
  • Termodinámica
    • El potencial químico de un sistema.
  • Matemáticas
    • En teoría de números, la Función de Möbius
    • En probabilidad y estadística, la media o valor esperado de una distribución.
    • En Teoría de la medida, una medición.

Representadas por la letra griega (Μ, μ) NO se llaman MU, sino…. MI.

Comparto con vosotros el correo que me ha mandado a título de cachondeo ante mi negativa (vencida ya) de no llamar a mi vieja MU como es debido, o sea, MI:

mu es mi

Así que ya sabéis. Ni Teta, que no existe (lo siento por la combinación de Seno de Teta, que con la unión PN de electrónica ha dado para muchos chistes fáciles), ni MU porque no somos vacas. Así que a cambiar el chip toca.

 

Ya sólo me queda descubrir la vieja polémica que teníamos en la Politécnica…. ¿se dice Ohmios u Ohmnios? Espero respuestas, si alguien lo sabe…