Mus…mus…mus….¡no hay mus!

Bueno, la idea es sencilla. Es mus, gran juego de mesa, amigo de todo buen universitario que se precie, excusa para escabullirte de las tediosas clases de Cálculo, o de Análisis o incluso de Animación a la Lectura o Geometría del Papel si eres de Magisterio.

El mus ofrece grandes posibilidades en ejercicios de técnicas de recuento y/o probabilidad ya que debido a sus reglas el número de jugadores es siempre fijo, así como el número de cartas de cada cada uno. Además, al permitirse descartes, es posible complicar el asunto (matemáticamente) tanto cuanto se desee.

Bien, planteemos la cuestión: ¿Qué probabilidad hay de que un jugador (1º, 2º, 3º o 4º) reciba dos reyes en el primer reparto de cartas? y ya que estamos en harina… ¿Hay alguna razón especial para que tener 31 sea una buena mano en este juego?.

aclaraciones: las reglas del mus las podéis encontrar aqui http://www.mundijuegos.com/multijugador/mus/reglas/

Por otra parte, se entiende que tener 31 significa que la suma de los valores de las cuatro cartas de un jugador suman 31. Las figuras valen 10,  los doses cuentan como as (valen por tanto 1) y los treses actúan como reyes (y valen 10 por tanto).

SOLUCIÓN:

Bueno, toca resolver el ejercicio en cuestión. Ante todo, he de agradecer al Javier la orientación que me ha dado en este asuntillo, que parecía trivial pero no lo es en absoluto. Y es que la clave está en el reparto… el maldito reparto.

UN REPARTO QUE REALMENTE NO INFLUYE

En un principio, planteaba la posibilidad de resolverlo teniendo en cuenta que el método de reparto me complicaría el cálculo de las probabilidades. Me explico. La idea que tenía en mente es que como en el mus se reparten las cartas de una en una a cada jugador la probabilidad de tener un rey en el primer jugador por ejemplo se vería afectada por el número de reyes que ya se habían repartido. Es decir, si no hubiera habido ningún rey dado en las cuatro primeras cartas, al llegar la quinta carta a manos del jugador mano habría tenido  posibilidades de que le tocara un rey, pero si ya se hubieran dado, por ejemplo tres, la probabilidad hubiera bajado a  Y así para cada jugador en cada una de las cuatro cartas que les tocaran. Demasiadas ramas en el árbol de probabilidades y demasiadas variables en el aire. Me olía combinatoria, y me olía francamente mal. Difícil pero lógico, ya que parece sensato suponer que efectivamente el primer jugador lo tiene sensiblemente más fácil a la hora de que le toquen reyes que el segundo, y éste que el tercero, y éste que el postre.

Sin embargo, la clave como digo es suponer que este planteamiento es erróneo. La idea de suponer probabilidad condicionada (que es la vía que estaba empleando) no es sino un engorro extra, ya que en suma el reparto NO influye. ¿Cómo? ¿Qué? ¡Te equivocas! Pues no. Es exactamente igual de probable que le toquen dos reyes a cualquier jugador, y más aún, es exactamente igual de probable sea como sea el reparto. Permitidme que lo ilustre con un ejemplo.

HOUSE, EL PENSAMIENTO FIJO UNOS SEGUNDOS Y EL SORTEO DE LA ONCE

Lo que acabo de exponer era idea de mi amigo Javi, insigne ingeniero y alumno notablemente notorio (valga la redundancia) en la asignatura de Señales Aleatorias y Ruido que en Teleco de Valladolid es obligatoria y bastante puñetera. Es sencillamente, probabilidad, probabilidad y más probabilidad. Una delicia, vamos.  Sin embargo, a pesar de sus indicaciones no acabé del todo convencido de su razonamiento hasta bien entrada la noche, cuando estaba viendo House. En una pausa publicitaria me conecté a la página web de la ONCE a ver si salía de pobre con mi cupón y entonces vi la luz. A lo House.

Combinación de ideas imaginativa

Quieto mirando al monitor durante dos segundos (y van subiendo las dioptrías). En ese momento pensé que mis probabilidades de que me tocara el premio gordo del sorteo eran las mismas independientemente de cuántas personas hubieran comprado el décimo. Es más, yo no sabía qué números se habían vendido y cual no, pero no importaba, la probabilidad seguía siendo de una entre el número total de boletos. Y daba igual que yo lo hubiera comprado el lunes, el martes o de madrugada insomne perdido. Tanto hubiera dado que nos hubieran reunido a todos los participantes en una nave industrial y nos hubieran dejado escoger entre todos (mi vendedor es de suponer que no lleva todos los posibles cupones encima). Por tanto en el mus, razoné, debería valer la misma lógica por raro que parezca. Las cartas dadas a los demás jugadores, y que yo obviamente no debo conocer, no deberían influir en mis probabilidades. Mis posibilidades de reyes hubieran sido las mismas si las hubiera recolocado en el mazo por atrás. Y esto era aplicable a todos los jugadores. Por tanto puedo rehacer el cálculo suponiendo que se dan cuatro cartas a cada jugador seguidas, lo que facilita el cálculo porque ya no es un árbol de posibilidades de 16 cartas sino uno sencillo de 4; el siguiente:

Ahora, libre de la tiranía que la probabilidad condicionada me imponía, me podía regodear en mi propia crapulencia (Simpsons dixit) y resover la cuestión aplicando la regla de Laplace a las ramas del árbol que contengan dos reyes, es decir.

Probabilidad de dos reyes:

Observamos que cualquier rama que contenga dos reyes mantiene las mismas fracciones de probabilidad pero en diferente orden. Como están multiplicando da lo mismo, por lo que es realmente 6 veces ese conjunto de fracciones (una vez por cada rama que nos sirve). Dicho de otra manera, la rama REY, REY, NO REY, NO REY tiene misma cadena de fracciones que por ejemplo NO REY, REY, NO REY, REY salvando el orden. Y hay seis. De ahí el factor 6.

ESO ESTÁ MUY BIEN PERO… ¿Y LA 31?

Para calcular la posibilidad de tener 31, hay que considerar la vieja máxima de los muslaris; si no tienes dos figuras olvídate de la treinta y una. A no ser que tengas tres sietes, claro. Se puede construir un árbol similar para obtener las probabilidades, pero es más cómodo razonar. Sólo se puede tener 31 si se tiene:

  1. FIGURA, FIGURA, FIGURA, AS
  2. 7 ,7, 7, FIGURA
  3. FIGURA, FIGURA, 7, 4
  4. FIGURA, FIGURA, 6, 5

Las probabilidades de cada una son:

Aparecen multiplicadas por 4 o 12 de acuerdo al número de posibles ordenaciones. En el caso primero por ejemplo, las cuatro son: FFFA, FFAF, FAFF, AFFF.

En total la probabilidad es la suma de las probabilidades, en total 1+2+3+4 = 0.09173 o sea 9,173 aprox.  Probabilidad de las 31 es de 9,173% en cada jugador.

CONCLUSIÓN: LA PROBABILIDAD CONDICIONADA ES ENGAÑOSA

Y lo es porque sólo influye cuando sabes algo extra como dato del problema. Si no, no influye. Por ejemplo, habría influido si supiéramos a ciencia cierta que el tercer jugador tenía un rey en su segunda carta, por ejemplo. Pero si no es así, si no se sabe, las demás cartas, las que no son tuyas sólo se han movido. Se han repartido igual que cada vendedor de la ONCE tiene unos décimos dados. Pero eso no afecta a la probabilidad del resto.

Así que ya sabéis amigos. Mucho ojo con Bayes y los problemas de probabilidad condicionada. Cuesta verlo, pero a veces no todo influye tanto como pensamos a priori….

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9 Respuestas a “Mus…mus…mus….¡no hay mus!

  1. Bien ,bien. Bonito.
    Bien pensado que sea todo en primera mano porque si no la probabilidad ya falla (cada jugador juega de una manera y se descarta de unas cartas con las que otro quizá se quedaría).
    Parece sencillote el problema, sobre todo la primera parte de los reyes.
    Mañana lo pienso.

    Una única duda (cómo me gusta tocar las narices). ¿Preguntas por la probabiidad de conseguir 2 y sólo 2 reyes? ¿O se incluye el poder tener más?

  2. Bueno, como se tardaba poco en ese caso, dejo la probabilidad de que te toquen 2 y sólo 2 reyes de mano: 0,1881934565984316

    Dime a ver si te coincide que la calculadora de windows es muy traicionera. Aunque parece que el resultado cuadra más o menos con la experiencia (un poco menos de una de cada 5 veces).

  3. Como me pico con estas cosas XD.
    Bueno, pues la probabilidad para 31 no era tan complicada como pensaba, muy parecida a la dificultad de 2 reyes la verdad.

    Me sale 0,0068808311. Pensaba que iba a ser un poco mayor…

    Ya me dirás.

  4. si te digo la verdad…aún no lo he pensado. Me imagino que me estás diciendo la probabilidad del jugador 1 (el mano) porque la de los demás depende de que les haya tocado algú n rey a alguno de sus anteriores….
    sinceramente, ayer lo planteé porque pensé que sería facilito, pero la verdad es que tiene su enjundia. El método de reparto me mata….

  5. echando mano de la combinatoria…….hum… oye, pues de trivial el problema tiene poco. Para la ESO se me ha ido la mano un poco (lo pillas….¿mano?¿mus?¿postre?….)

  6. Da igual que el jugador sea el mano o no nene, las cartas que se den al resto de jugadores no influyen porque TÚ NO LAS SABES. No es probabilidad condicionada.

    6 créditos de SAR te daba yo a tí para que digas que es difícil.

    Y no, no es problema de la ESO, pero de bachiller yo creo que sí.

    Yo tardé 20 minutos en el primero y como 15 en el segundo 😉 y más que nada porque las cuentas en la calcu de windows son engorrosas.

    • convencido de ello estoy. Ahora toca sacar tiempo para hacer el diagramilla y presentarlo en el foro apropiadamente. Es revelador eso de la no condición de la probabilidad… hum….

  7. La explicación de los boletos me ha gustado. Así se ve bien.
    La corrección de los dos reyes de acuerdo, creo que lo había hecho para dos reyes O MÁS.
    La corrección de 31 no la entiendo. Luego lo leo con más calma, pero no sé yo si influyen las posibles ordenaciones… Aunque el resuldo es más acorde con la experiencia que el mío…

    • El planteamiento es el mismo que en los dos reyes; hay 4 posibles “ramas” del árbol que contienen tres figuras y un as, asi que sería sumarlas. Como los numeradores y denominadores son los mismos en cada rama exceptuando su orden de aparición, se multiplican y listo. Si quieres hago el diagrama, pero creo que es así.

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