La exponencial compleja

Bueno, para este fin de semana, nos vamos a centrar en la llamada ecuación de Euler. También se la conoce como la ecuación perfecta, la más bella o la fórmula de Dios.No podía ser obra de otro que del incansable Euler….

Ecuación de Euler

la ecuación más bella (dicen)

¿Por qué? Sencillamente porque reune los pilares fundamentales de la matemática. A saber, la base natural (e), la relación entre el diámetro y la longitud de una circunferencia (PI) que además es como el anterior un irracional trascendente, es decir, no es solución de ninguna ecuación polinómica de coeficientes racionales. Y junto a ellos el uno, y el cero e “i”. La unidad, base del resto de números por los axiomas de Peano, y el cero, cuya aparición permitió al hombre usar los sistemas de numeración modernos (a nadie le gusta multiplicar con número romanos) y la unidad imaginaria (raíz de -1).

Cualquier ingeniero de Teleco o cualquiera que esté acostumbrado a ver exponenciales imaginarias en todos lados sabe que su módulo es 1.

Bien, pues esa es la tarea. Demostrar que efectivamente la exponencial imaginaria tiene módulo 1 y de ahi trivialmente deducir la fórmula de Euler.

NOTA: evidentemente antes de usar trigonometría y la forma de seno y coseno de la exponencial, hay que deducir que efectivamente cae dentro de la circunferencia goniométrica. Porque si no, nanay….

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2 Respuestas a “La exponencial compleja

  1. Sabes que soy poco amigo de las demostraciones (para algo soy ingeniero y no matemático no?). Así que pregunto:
    Puedo hacerlo demostrando la relacción de Euler por Taylor por ejemplo? Y de ahí es inmediato sacar el módulo.
    Sé que no es la demostración geomñetrica que buscas, pero creo que sería válida no? S´came de mi error si no es así.

  2. efectivamente puedes hacerlo así. Pero es más fácil, anda que ir a meterte con series…buff. puedes separar la serie de la exp en parte real e imaginaria y luego ver que una es seno y la otra coseno. Sin embargo, la forma más cómoda es: Piensa en una exp. compleja genérica y aplica propiedades de potencias con su conjugada. Luego considera la relación que sale al multiplicar un complejo por su conjugado. De ahí sacas una relación que te permite situar la exp compleja en la circunferencia goniometrica.

    es que es curioso porque como telecos siempre damos como que es por que si que la exp compleja tiene módulo 1, pero es más sutil… XD

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