El suelo del ascensor

Pues me pasó ayer mismo. Andaba rumiando algún problema así como curiosete para esta entrada y se me cayó una moneda de 1 € al suelo del ascensor cuando volvía del bar, después de comprar tabaco. Las vueltas, ya sabéis. Esas cosas pasan.

El caso es que me di cuenta de que el suelo del ascensor de mi casa es de goma, con bonitos circulitos antiadherentes tangentes más o menos entre sí. Y la moneda quedó ahí solita, en medio de cuatro de esos circulitos. Muy chula.

bonito suelo de ascensor

El enunciado de la cuestión es el siguiente. En una superficie adornada a base de círculos de goma, tangentes entre ellos (no exactamente como en el suelo del ascensor, sinoun pelín más juntitos), de radio R, se lanza una moneda del mismo tamaño. ¿Qué probabilidad hay de que caiga de tal forma que toque aunque sea tangencialmente a cuatro de esos círculos del suelo a la vez? 

y de extra, se me ocurre. Una moneda de radio r = KR con 0<K<1…. ¿Qué probabilidad tiene? ¿Se complica mucho el cálculo? ¿Qué valor límite tiene el radio de la moneda para poder tocar a cuatro círculos?

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SOLUCIÓN:

Ah….la rapidez de la gente…siempre la rapidez. Pensé que me daríais algo de cancha para poder preparar bien el ejercicio, dibujar la solución y esas cosas. Pero vista la velocidad de la peña, allá vamos.

Lo primero es pensar en donde puede caer la moneda para tocar a un círculo. Voy a desarrollarlo para el caso de moneda igual de grande que cada círculo. Para ello, debemos recuperar la vieja definición de circunferencia, esto es, los puntos que equidistan de otro llamado centro. Como la moneda tiene radio R y cada círculo también, es evidente que el centro de la moneda puede alejarse de cada círculo como mucho una distancia R, o 2R del centro del círculo en cuestión.

Eso nos da un arco de circunferencia que es el límite donde puede situarse una moneda para tocar a un círculo en cuestión. Una frontera, vamos, más allá de la cual la moneda no tocará como deseamos.

zona donde puede caer para tocar a un círculo

Repitiendo la misma idea para cada círculo vamos acotando en qué zona tocará a las cuatro. Será la zona en común a las regiones válidas de cada círculo en cuestión. Ha de quedar esto:

zona donde si cae el centro, la moneda tocará a los círculos

Ahora sólo resta aplicar la Regla de Laplace. La probabilidad de que se cumpla la cuestión propuesta es el número de casos favorables entre el número de casos totales. En este caso, se trata de áreas. El área válida entre el área total de la figura, que es un rectángulo de lado 2R.

CALCULEMOS EL ÁREA PUES

¡Es un rectángulo pero no es un rectángulo! ¡Los lados son arcos (beeej)! ¿No vale aproximarlo? No, espera…. Huele a integrales…. Mejor déjalo indicado….

Todas esas opciones son muy interesantes, pero el caso es que esta figura se puede calcular fácilmente con un poco de cuidado. Jugando con trozos, procurando evitar en lo posible, las zonas curvas.

Partamos de éste sector circular de radio 2R….

Si nos fijamos en el gráfico, se puede observar que la zona roja es una tercera parte de un cuarto de círculo. Es decir, tiene un área exactamente igual a una doceava parte de un círculo de radio 2R. Es decir:

¡PERO YO NO QUIERO ESO!

Evidentemente, pero es que el astuto proceso a seguir permite a partir de esta figura obtener un cuadrante del área del rectángulo inflado que quiero. La idea es la siguiente:

Proceso a seguir.

Y ahora los cálculos. No los desarrollo mucho, pero es geometría plana elemental de toda la vida: área del triángulo, teorema de Pitágoras, senos, cosenos y esas cosas:

En conclusión, echando unos sencillos números…

Mañana colocaré las cuentas para el caso límite y un diagrama sobre qué hacer si la moneda es más pequeña que los circulitos…. que ahora estoy cansado jeje

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12 Respuestas a “El suelo del ascensor

  1. Como siempre, pensaba que sería más sencillo. Gráficamente es facilote. Insisto. Tirar con la definición de circunferencia y poco más. Con números…. ando buscando como no tener que integrar…. XD

  2. Si haces que el radio de la moneda sea más pequeño es igual de sencillo, pero mucho más tedioso (ir arrastrando ks no mola).
    Sin embargo se puede hacer una aproximación razonable que simplifica mucho los cálculo (suponer que el área encerrada entre la cuerda y la circunferencia es despreciable).

    En ese caso la probabilidad quedaría: P=((sqrt(4k-1)-1)^2)/2

  3. La última pregunta (la del valor límite del radio de la moneda) se la dejo para LP o cualquier otro que se anime.
    Venga que eso es muy asequible!!

    Te ayudo. Halla la itersección de la recta y=x con la circunferencia x^2+(y-R)^2=R^2. Calcula la distancia hasta el origen de coordenadas y ya tienes el radio que buscas. Menores que ese podrían quedaría entre los 4 círculos.

  4. me vais a matar de currele jeje…confiaba en que el problemilla durara un par de días. Se puede hacer sin integrar, efectivamente, en el caso de radios iguales. En los otros no sé, no he tenido tiempo de plantearlo, pero supongo que también se puede evitar.
    En el caso de monedas más pequeñas, la idea que había tenido era aproximar por cuadrados con lados medios entre los del cuadrado inscrito y el circunscrito. Algo así como la relga del valor medio en cálculo.
    Por último decir que efectivamente, el valor exacto de la probabilidad cuando el tamaño de moneda y círculos del suelo es idéntico es exactamente 31.51%, esto es, una décima parte de PI (si obvias el %)
    El número Pi….dime algo para lo que no sirva (bueno, menos cuadrar un círculo….)

  5. mañana cuelgo la solución o pasado a más tardar (mañana tengo una tarde rica rica….) ánimo Lewis. ¡¡Aunque sea gráficamente!!
    Con autocad es mucho más sencillo que con paint hacer estas cosas. Te busca perpendiculares, acota, sombrea, raya, en fin…todo….
    lo malo son las cuentas….hasta que no encuentre tiempo para aprender a usar LaTex, debo usar el editor de Word de ecuaciones y pasarlo a paint….

  6. Pingback: Calculador de áreas con probabilidades | ertipodematematicas

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