Puntitos en una esfera

Estoy disfrutando como un enano estos días repasando la probabilidad para el examen de oposición. Y hay algunos ejercicios que no me salen. Asi que aprovecho para relajarme releyendo el magífico libro “La Conquista del Azar” de Fernando Corbalán y Gerardo Sanz. Una delicia de librito, muy comprensible, escrito en un tono bastante ameno y con algún problemilla un poco más liadillo que ya iré colgando aquí algún día.

La cuestión de hoy está extraída de este texto y reza así: Imaginemos que seleccionamos tres ciudades al azar de la Tierra. ¿Qué probabilidad hay de que éstas pertenezcan a la misma semiesfera?

Como en muchos casos, una lectura detenida del enunciado nos librará de malas y peligrosas interpretaciones. Ánimo que es muy fácil. Aunque justificarlo con rigor puede no serlo tanto….

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SOLUCIÓN:

Evidentemente y como se decía en los comments del post, la probabilidad es 1.Hay un 100% de probabilidades de que 3 puntos dde una esfera (de su superficie) pertenezcan a la misma semiesfera. Demostrar esta cuestión es sencillo y sin cuentas (beej). Lo que sí que viene bien es tener papel y lápiz e ir dibujando los sucesivos pasos. Como ando corto de time esta vez, eso os lo dejo a vosotros. Pasito a paso os convenceréis. A ello vamos:

Primero: Tres puntos no alineados determinan un plano. Eso es evidente. Sólo un plano contiene a tres puntos de estas características.

Segundo: Si los puntos están sobre la superficie de una esfera, entonces el plano que generan cortará a la esfera. También evidente.

Tercero: El corte de un plano con una esfera es un bonito círculo (a no ser que el plano sea tangente, pero eso es imposible si el plano contiene a tres puntos de la esfera diferentes; por definición, para ser tangente sólo debería contener a un único punto).  Además ese círculo contendrá a los tres puntos seleccionados de la esfera.

Cuarto: Si el plano atraviesa el centro de la esfera (lo contiene, vamos) entonces ese círculo es el de máximo tamaño que se puede dibujar en esa esfera. Demostrar esto, bueno no tengo tiempo. Pero se ve fácilmente por inducción (o algo parecido). Dibujad una esfera, que sea la Tierra. Trazad un círculo cerca de uno de sus polos (el norte o el sur). Es un círculo pequeño. Si después trazáis círculos paralelos a éste pero más y más cercanos al Ecuador veréis que su radio aumenta, hasta llegar al caso límite, es decir , el círculo que contiene al centro de la esfera. Despúes, los sucesivos que se tracen se iran haciendo otra vez cada vez más pequeños.

Quinto: Un círculo máximo divide a la esfera en dos parte iguales, llamados semiesferas. Cualesquiera otros círculos menores dividen la esfera en cachos de diferente tamaño, no semiesferas.

Consecuencia: los tres puntos de la esfera dividen a ésta en dos trozos. Si los puntos generan un plano que corte a la esfera en dos semiesferas, es que los puntos pertenecen a un círculo máximo. Por tanto pertenecen a cualquiera de las dos semiesferas que generan.  En cualquier otro caso dividen a la esfera en dos cachos de diferente tamaño. Pero, y esta es la clave, el más pequeño de esos puede a su vez ser contenido en una semiesfera, porque siempre puedo dibujar otro círculo paralelo más abajo, conteniendo al centro de la esfera en cuestión.

En consecuencia siempre puedo decir que tres puntos de una esfera pertenecen a una misma semiesfera.

PD: Lamento mucho no haber puesto dibujitos que ilustren este rollo macabeo. Podéis probarlo en casita con papel y lápiz (no hace falta ser Rembrandt). O podéis colaborar enviándome los dibujines en paint o como queráis para luego colgarlos. See you!!!

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6 Respuestas a “Puntitos en una esfera

  1. O no entiendo el problema o esta vez te has pasado de fácil…
    1

    Demostrarlo? Dos puntos SIEMPRE están en la misma semiesfera incluso en el caso extremo de que se encuentren uno en las antípodas del otro. El tercer punto colócalo donde quieras que siempre podré elegir una semiesfera que contenga tal punto.

    Visualmente se ve muy bien en el caso más desfavorable, una ciudad con Papá Noel y otra con los pingüinos. Hay infinitas semiesferas que pasen por los dos Polos y por la tercera cuidad que elijas.

    Tal vez un caso más desfavorable aún serían tres ciudades coplanarias y que además formaran un triángulo equilátero en el espacio. Es el único caso en el que no existirían infinitas semiesferas que contuvieran las tres ciudades, sólo habría dos semiesferas.

  2. ya me has fastidiado la broma, hombre…. XD
    efectivamente, la probabilidad es del 100%. Sólo que hay que pulir un pelín una demostración, aunque sea cutrilla. Va por donde tu dices. Mañana la cuelgo y propongo otro….

    Hay gente incapaz de apreciar una buena broma…… XD

  3. Si para tu demostración vas a usar palabros como conjetura de Pointcaré, variedad cerrada, simplemente convexa o estrellada debo decir de antemano: “Que se lo lea Espinete!!”.

  4. que va. A ver…que soy ingenierito. Esas frikadas de ideales, anillos, cuerpos algebraicamente cerrados y otras fumadas como los espacios topológicos no son santo de mi devoción (y eso que no tiene nada que ver unos con otros…)
    La idea es basarse en que 3 puntos delimitan un plano, ese plano puede ser en la esfera un círculo máximo si contiene además al centro de ésta o no. Si es un círculo máximo, ya tá, pertenenece a cualquiera de los dos hemisferios que genera. Si el plano no contiene al centro genera un círculo con la esfera pero de radio menor, no máximo, así que estará también en algún hemisferio por fuerza ya que siempre puedo encontrar otra tríada de puntos que generen un circulo máximo en un plano paralelo al de ese circulín. Asi, a bote pronto, es una demostración….

    si, en la academia yo iba como tú. (y lo sigo haciendo por mi salud mental).A decir que estas cosas son jodidamente obvias. Pero ponían cara de extrañeza y decían “ein…NOOOOOO….”. Estos de exactas……

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