Suma curiosa

Pues estudiando…. la distribución de Bernouilli para ser más exactos,mirando su función característica y su generatriz de momentos, me he encontrado con un sumatorio de números combinatorios, y me he picado.

¿Puede ser verdad que?

Lo he probado con n=5,6,7,8 y parece ser que sí. He intentado demostrarlo (más que nada por variar, estoy muy cansado de estar chapando todo el santo día) y no me ha salido.

No pido una demostración, sólo ideas a ver cómo se puede justificar de alguna forma más o menos este resultado. O si no, pues comentad, que es que me ha parecido un resultado muy curiosete. Desde luego, si encontráis algún contraejemplo que lo refute, pues también, encantado. Este post es algo que he tenido que postear porque me hecho mucha gracia.

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Solución:

Ya que la gente se ha picado… pues pongo la demostración. No es mía, sino de una antigua compañera de mis años mozos en las Agustinas de Valladolid. ¡Gracias, Sara!. Ella ha estudiado exactas y bueno, en estas cosillas superan a los pobres ingenieros que normalmente tiramos de Matlab y le decimos que lo pruebe hasta digamos 1000. Si se cumple, pues tiene pinta de ser verdad. Y si no, pues a otra cosa. Evidentemente esas estrategias no garantizan nada (recordemos los primos de Fermat, por ejemplo) pero suelen ayudar a aquellos que como yo dejan bastante que desear a la hora de resolver estas cuestiones.

El objetivo de este blog no ha sido ni lo será el meter demostraciones a saco de cada cosa, pero ya que se ha tomado la molestia de mandarme escaneada la solución, no sería educado postearla y hacer mención a su colaboración. Tampoco quiero echar a nadie atrás. ¡Mandad cosas, las que sean!. Son todas bienvenidas.

De nuevo gracias a mi compañera de colegio Sara Tejedor por su colaboración. Esta visto que Carmen nos enseñó bien mates ¿eh?

Demostración. Por inducción.

fumada, fumada, fumada....pero estas cosas pican un montón sacarlas

Para comprender bien la demostración hay que conocer (acordarse mejor dicho) de la regla de Pascal, que yo ni había considerado. Por eso me atascaba en un maremagnum de subíndices al intentar demostrarlo desarrollando los sumatorios. Una fumada que no recomiendo a nadie. Beeej. Con ella separas el sumatorio en dos, cada uno de ellos casi precisamente el del caso n-ésimo. Sólo queda ajustarlos para que se conviertan en ese que ya conocemos de la hipótesis de partida. Para ello se vuelve a añadir el caso k=0 a cada sumatorio y se compensa restando el equivalente.

PD: Aquellos que se pierdan. Anexo de propiedades de los números combinatorios aqui o consultando al sabihondo y nunca poco ponderado San Google.

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APORTE DE RAÚLFH (@raulf). (GRACIAS) (Ved los comments)

Se puede llegar a ver una especie de relación entre la suma de los números combinatorios y la potencia n-ésima de dos correspondiente. No es una demostración, pero es un razonamiento muy intuitivo que nace de la propia definición de número combinatorio.

No perdamos de vista que queremos justificar que:

Recordemos que la expresión:

Significa cuantos grupos de k elementos puedo formar con n elementos diferentes sin repetir ninguno y considerando que el orden no influye.

Por ejemplo, el número de jugadas de mus diferentes que se pueden tener es:

y el orden no influye. es decir, es la misma jugada un tío Perete (o Peterete) con 4,5,6,7 que tenerlo 5,7,6,4.

Con esta idea clara, consideremos el razonamiento de Raúlfh. Afirma, correctamente, que por ejemplo la expresión:

Representa exactamente los diferentes grupos de 0, 1, 2, 3, 4 y 5 elementos que se pueden formar a partir de 5 elementos (o ingredientes, o cartas) diferentes. He tomado 5 por no usar “n”, para que no nos liemos con letras y tal. Ejemplo clarinete. Claro que para que sea cierto he de considerar que el primer sumando es 1. ¿Cuantos grupos de ningún elemento puedo formar a partir de 5 diferentes? Uno sólo, el grupo “no tener ningún elemento”. O dicho de otra forma, con 40 cartas sólo puedes hacer un grupo de 0 cartas: el grupo llamado “tener 0 cartas”. Y además, en el orden que quieras.

El primer término de la igualdad está clarito. ¿Pero por qué eso es potencia de dos? Sencillo; Cada elemento puede estar o no dentro de un conjunto determinado. Imaginad que los 5 elementos de este ejemplo son Rey As Sota Caballo, Dos (diremos R, A, S, C, 2 para abreviar). Imaginad un conjunto de 0, 1 , 2, 3, 4. Por ejemplo R, A, S, C, uno de 4 cartas. Queda el 2 fuera. El 2 tiene la posibilidad de estar o no. Dos opciones.

Cada carta tiene dos opciones; estar en una combinación de cartas o no estarlo. Por tanto tenemos:

Conclusión; ambas operaciones describen un mismo fenómeno, asi que será evidente que el sumatorio será igual a la potencia de dos.

Hay algo que me chirría en esto, pero bueno, solo pedíamos una justificación vaga y esto lo supera. es un razonamiento. Podría ser una demostración formal a poco que se puliera un pelín de rana más, pero de sobra, vamos, para lo que es este blog XD. Además relaciona cosillas de la combinatoria. Obcecado por Pascal y demás me había olvidado por completo de explorar esta via.

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14 Respuestas a “Suma curiosa

  1. Contraejemplo: no funciona con n = 234234234235934678457359. Contradíceme!! xD

    No, en serio, luego si hay ganas lo pienso, que ya sabes que las demostraciones y yo estamos reñidos.

  2. mmm… lo estaba mirando… esto no es más que un caso específico de la regla de Pascal…

    Coges la regla de Pascal (no sé escribir ecuaciones por aquí, así que dejo un enlace a la regla: http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal#Regla_de_Pascal) sustituyes x e y ambos por 1 y listo.

    Si ahora me pides que te demuestre la regla de Pascal te mando subir a una bici sin sillín.

    PD: Estoy viendo que el sumatorio lleva arriba una k cuando debería ser una n, no? 😉

  3. Ah! y el exponente del 2 tb. O cambiarlo a k sobre n y que sea la n la que se incremente en el sumatorio no? Ains que poco me gustan estas cosas…

    • es muy sencillo Lewis. (n,k) que aqui no puedo escribirlo uno debajo de otro es un número combinatorio. Por ejemplo, para n=7 y k=3 se calcula como 7! dividido entre 3! y (7-3)!.
      El simbolo ! significa factorial. Es multiplicar el número por sus anteriores hasta el 1. Por ejemplo 7!=7x6x5x4x3x2x1.

      Lo que la fórmula dice es que si n es yo que sé, por ejemplo 7 y vamos tomando k=0,1,2,3,4,5,6,7 obtienes diferentes números (n,k) combinatorios que sumados todos ellos te va a dar 2 elevado a n precisamente.

      PD: tengo que aprender LaTex en cuanto pueda….

  4. oooopppsss…sipi. Las prisas. Malas consejeras. No pienso intentar ddemostrar esto ni lo pido en el blog, que está para otras cosas. Es que me apareció ayer, le eché un ojo dando un par de valores y me dije “tío, potencias de dos!!!” (sabes que los de teleco soñamos con ellas XD). Hoy ya me he dado cuenta que siendo números combinatorios el tito Pascal debía estar detrás de ellos. de hecho, es una de las propiedades curiosas del triángulo de Pascal (gracias por el aporte, pero esta vez ya me había adelantado). Cachis….pen´se que había descubierto algo (jajajaja….es broma, obviamente). Es que me hizo gracia y lo posteé.

    La demostración tendría su miga, imagino. Porque nada garantiza que la suma de n números tenga que ser potencia de dos. Y agrupándolos….tampoco logro nada, sólo agrupaciones o bien de números impares por dos + par o bien sin ese factor…

    ahora corrijo los subíndices.

  5. Una compañera de las agustinas, que ha estudiado exactas, me ha mandado una demostración de esto, con pelos y señales, con el rigor matemáticos que se necesita en estas cosas (los ingenieros nos lo solemos saltar por conveniencia, si algo está mal ya se verá cuando explote XD). En cuanto la compruebe la cuelgo. Es por inducción y así me sirve de ejemplo de esta forma de demostrar cosas. No la veo difícil pero algún paso se me escapa….. de momento

  6. con las prisas no me he dado cuenta de que al hacer foto al doc de word me salen los subrayados de lo que el word no entiende. Porque aki no ai faltá d´hortojráfia, leñe…. XD

  7. Hola, si intentas responder la pregunta: “cuántos subgrupos diferentes puedes hacer con n elementos?”
    Calculas los grupos de 0 elementos, de 1, de 2… Con los números combinatorios, claro.
    Luego lo sumas todo, y eso da 2^n

    ahora lo calculamos de otra manera:
    Para simplificar supongamos que tenemos 5 elementos
    O O O O O

    Y tratamos de elegir en mi subgrupo cojo ese elemento o no, 2 posibilidades para el primero por 2 para el segundo… 2^5

    • si pero la gracia está en que puedes hacer 5 grupos de 1 bola, 10 grupos de 2 bolas y 10 grupos de 3, 5 grupos de 4 bolas y 1 sólo grupo de 5 bolas.

      Nada te garantiza que los resultados parciales vayan a ser una potencia de 2. Si acaso se puede sacar trivialmente (no sé, lo acabo de pensar) que son pares, pero potencia…. con los diferentes resultados parciales….no lo veo. Expláyate un pelín más, a ver que podemos indagar en esa vía.

      PD: lamento que no haya salido el comment, he tenido que darle a aceptar. A ver si lo cambio en la configuración del blog.

    • Perdona la respuesta anterior la hice con el móvil, y fui demasiado breve.
      Me explico:
      Lo que intento es calcular el numero de subgrupos con 2 métodos, y luego igualar los resultados.
      Método 1: Calculando el numero de subgrupos de 0, de 1, de, .. n elementos, eso nos da los numeros combinatorios, y el numero total de subgrupos es la suma de todos estos. Con esto tenemos el lado izquierdo de la igualdad (el sumatorio de los binomios)

      Método 2:
      Para saber todos los subgrupos es equivalente a decidir si un elemento pertenece o no a mi subgrupo, es decir, tengo 2 elecciones para cada elemento, un total de 2^n elecciones. Esto nos da la parte derecha de la igualdad.

      No estoy diciendo que la relación sea directa de los numeros combinatorios con las potencias de 2, és mas, en un lado suman, y en el otro multiplican. Lo que digo es que és una demostración (nivel ESO-BACH) de que las cantidades coinciden.

  8. pues es una muy buena idea, la verdad. La verdad es que con la demostración ya me había chinado pero recordemos el post; sólo pedía una “justificación”. Nada más. Algo de nivel ESO. Muy buen aporte. Muchas gracias. Ahora mismo hago mención de ello.

    Gracias por el aporte!!!!

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