¡¡Calculemos sin calculadora!!

Hoy en día hacer logaritmos, raíces qué sé yo, séptimas, senos hiperbólicos, potencias de complejos y demás cuentas no supone mayor problema porque contamos con las poderosas calculadoras.

Pero…¿Cómo podríamos calcular de forma exacta algo del pelaje de esto?

Y ahora a darle cera al asunto. Esta semana es sencillito. Ni espíritus ni gaitas. Calculitos de los buenos, bonitos y baratos. ¿Cómo lo podríamos hacer de manera exacta sin tener que recurrir a calculadoras?

Solución:

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Hemos tardado, pero ya viene: Muy mono.

Es muy posible que no lo visualicéis bien en la pantalla per se, asi que click en la foto de la demostración y os saldrá más mona, grandecita y tal….

La verdad es que resolviendo este ejercicio he vuelto a ver a mi vieja Casio con ojos de enamorado again… (no lo hacía desde que tenía exámenes de Carta de Smith y demás y me venía de coña para el cálculo de complejos XD)

Misterios en la IV Dimensión (uuuhhhh….)

Bueno, la verdad es que la idea de esta entrada viene de haber releído el magnífico libro de Raúl Ibañez “La Cuarta Dimensión. ¿Es nuestro Universo la sombra de otro?” de la colección El Mundo es Matemático, que desde aquí recomiendo.
También ha ayudado la mala uva que se me pone cuando veo a Iker Jiménez y cía perpretando estúpidas teorías en los debates del insustancial IV Milenio, malinterpretando los pilares del método científico y retorciendo la idea de “experimento” y “demostración”. (Ayer por ejemplo argüían como prueba de que el virus del VIH no existe el que no hayan fotos de él reales, cosa que es verdad pero que no demuestra nada). Todo ello eso sí, rodeado de un halo de metaciencia barata de librillo donde abundan los términos que suenan a científico (¿?) como casuística o fenomelogía. Que es como si me pongo a hablar de medicina y dejo caer términos como Vector de Poynting o impedancia reactiva ideal.

Pero en fin. Al post. La idea es contar una historia. Si, otra más. Esta vez de fantasmas.
Durante el siglo XIX, sobre todo a finales, se puso de moda la parapsicología y los espectáculos de médiums y demás gaitas. No penséis que eran cosa de gente iletrada porque personajes de la talla de Arthur Conan Doyle creían a pies juntillas en estas cosas. Y también científicos, por ejemplo Wilhem Weber, mentor de Riemman nada menos, el físico Thompson (el del modelo atómico y descubridor del electrón) o Lord Rayleigh.  Y algunos (bastantes) más. Sin embargo otras personalidades como el mago Houdini jamás cayeron en las peroratas de estos embaucadores, logrando incluso argumentaciones bastante lógicas en contra del espiritismo de la época.

Podemos preguntarnos ¿Y en qué se basaban estos ilustres prohombres para afirmar con vehemencia la existencia de fantasmas y espíritus? ¿Por qué científicos de prestigio prestaban atención a esas cosas? Pues porque consideraron la posibilidad de que esos seres fantasmales se alojaran en la IV dimensión (para entendernos, algo más allá de alto, largo y profundo. Otra dirección más en la que moverse). Argüían que ese hecho explicaría algunos fenómenos como el que los fantasmas pudieran atravesar paredes. Hay que tener en cuenta que en el siglo XIX la geometría euclídea se vio superada por otras donde las cosas no son como estamos acostumbrados y en otros campos, la posibilidad de múltiples dimensiones tuvo un gran aroma a novedad científica. Eran otros tiempos, o no, porque las teorías de cuerdas de hoy día se basan también en cosillas de más incluso que 4 dimensiones.

Asi que establecieron la hipótesis (y esto es real) de que los fantasmas eran seres de cuatro dimensiones o que podían moverse en una cuarta dimensión espacial (estamos en la época del tiempo absoluto en física, dejemos el espaciotiempo y la relatividad a un lado).

Y acá viene el reto. Planteemos una experiencia, un método, una prueba que corrobore esta afirmación o la desmienta. ¿Qué prueba debería superar un fastasma para corroborar que efectivamente está en la IV dimensión? o más bien ¿Con qué tipo de prueba podemos asegurar que no es tal esa hipótesis?. Hale. Espero ansioso ideas. No hace falta desarrollos matemáticos ni pepitorias en vinagre. Sólo ideas. Brainstorming. Las mates también son ingenio….¿no?

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SOLUCIÓN:

Bueno, antes de plantear el experimento analicemos de manera intuitiva a qué se refiere hablar de las 4 dimensiones.

Supongamos que estamos inmersos en un mundo de 1 sola dimensión. En ese caso seríamos puntos. Fijemos bien en un punto. Un habitante. Puede moverse en una sola dirección, por ejemplo, izquierda y derecha (que son dos sentidos pero una sola dirección).

Supongamos ahora un mundo de dos dimensiones. Nuestro valiente punto podrá moverse en dos direcciones, pongamos arriba y abajo e izquierda y derecha. Un mayor abanico de opciones aparece entonces. Un ser de este mundo podría ser un cuadrado, o un rombo, o un círculo. Cualquier cosa que tenga lados izquierdo/derecho y arriba/abajo.

Análogamente podemos imaginar un mundo de tres dimensiones como el nuestro donde el rango de movimientos es triple. Hay tres direcciones, las dos de antes y una nueva, pongamos que son hacia afuera y hacia adentro.

Por tanto podemos decir de una manera sencilla que las dimensiones añaden posibilidades de movimiento extra. A esto se le llaman “grados de libertad”. En una dimensión tienes un grado de libertad, en dos dimensiones tienes dos grados y en tres dimensiones como en nuestro mundo, tienes tres grados de libertad.

Avancemos un poco más en esta idea. Un ser de una dimensión, el punto, puede viajar a derecha e izquierda pero en el momento que se encuentre con otro punto ya  no podrá avanzar, porque adelantar implica subir o bajar, y eso no se puede en su mundo. Además, un tercer punto detrás del que obstaculiza a nuestro viajero será invisible para él. No podrá verlo. Tampoco podrá sacarlo de la zona donde está y traerlo a su lado. Su mundo está dividido por el punto obstáculo de en medio.

 

Supongamos que un viajero dimensional del mundo de las dos dimensiones llega a ese mundo de una sola dimensión. Ya no será un punto, será una figura con lados izquierdos y derechos y arriba y abajo. Este valiente viajero podría rescatar al punto atrapado moviéndolo a través de su dimensión de dos direcciones para rodear al obstáculo y reunir a los dos puntos, rojo y azul. Para los habitantes de este mundo de una sola dimensión, su percepción de lo sucedido habría sido ver cómo el punto azul desaparecía para reubicarse más tarde en otra posición, aparentemente por arte de magia, ya que habrían evitado el obstáculo.

Más aún, el punto azul podrá contarle al rojo que hay detrás del obstáculo. Qué puntos viven o cómo es aquello. Podría obtener información que a priori no podría haber averiguado por sí sólo.

Expongamos esta misma historia en dos dimensiones. Supongamos tres figuras que viven en un mundo bidimensional, con arriba y abajo e izquierda y derecha.

El pentágono rojo puede ver todo su mundo y por supuesto puede ver al malvado pentágono negro: sin embargo no puede ver al pentágono azul prisionero dentro del negro.

Un hipotético ser de tres dimensiones (como nosotros) podemos ver sin embargo el interior del pentágono negro y comunicar al rojo dónde está el pequeñín azul. Además, en teoría podríamos agarrarle y sacarle hacia afuera para depositarlo al lado del rojo. Se repetiría la misma situación de antes. Parecería magia.

Tras este preámbulo, vamos al asunto en sí. La idea es que se supone que los fantasmas son seres de cuatro dimensiones, es decir, se pueden mover arriba/abajo derecha/izquierda hacia fuera/hacia dentro y otro grado de libertad más que podemos definir como tris/tras, por ejemplo, ya que como somos seres tridimensionales no requerimos de palabras para esta forma de moverse.

A priori parece factible decir que sí, que como los fantasmas atraviesan paredes pues serán seres que como el tridimensional en el ejemplo de los pentágonos pueden hacer magia. Bueno, pongamos esta afirmación en duda a través de varias pruebas.

  1. Metamos un objeto dentro de una caja de plomo de varios milímetros de grosor. Sellémosla de alguna forma. Ahora pidamos al fantasma que identifique claramente qué hay en la caja. O de igual forma podemos pedirle que saque el objeto de la caja. Como se mueve en 4 direcciones, la caja limita el movimiento del objeto en arriba/abajo, izquierda/derecha y hacia adentro/hacia afuera, pero no en tris/tras. Así que podría extraerlo a través de esa dirección y depositarlo como por arte de magia fuera de ella. De igual forma podría verlo a través de esa dirección y contárnoslo después.
  2. Hay otros experimentos más sutiles, que aprovechan la misma idea. Por ejemplo, podemos pedirle que separe las argollas de una cadena:

En este caso sólo se puede hacer moviendo cada uno de los eslabones a través de la dirección tris/tras, para separarlos sin romper la cadena. Se puede hacer porque cada eslabón limita a sus contiguos de igual manera que la caja de plomo al objeto: sólo en tres grados de libertad. Queda otro por el que se pueden mover y separar.

Por ello, en el siglo XIX se plantearon experimentos como los descritos o variantes de ellos (sacar una argolla enganchada en la mesa del espiritista sin romperla).

Evidentemente ningún espíritu logró realizar estas proezas y los médiums dieron  excusas poco creíbles para justificar las limitaciones de los espíritus. Por ello se dedujo que no podían ser criaturas de cuatro dimensiones. No deberían tener problemas en evitar las barreras de tres dimensiones existentes, de igual forma que nosotros podemos ver qué hay dentro de un pentágono sin mayores dificultades.
PD.

1. Que aprenda Iker Jiménez a plantear experimentos a la hora de estudiar científicamente estas cosas. Y menos giliflauteces de psicofonías y demás.

2. Os pongo una imagen de un cubo en cuatro dimensiones (o más bien sus proyecciones en 3D, ya que no podemos ni siquiera imaginar algo en 4D).

 

La puñetera mosca…

Bueno, este es un problema que puede ser resuelto de una manera más o menos sencilla:

chu-chu-chuuuli....Y TIENE DIBUJADO UN TREEEEEN......

“Dos trenes parten uno desde Valladolid y otro desde Madrid, ambos a la misma hora y a la misma velocidad, pongamos que de 50 Km/h, uno al encuentro del otro. En el primer tren hay una mosca posada sobre la locomotora que inmediatamente después de iniciarse la marcha arranca volando a 75 Km/h hacia el otro tren, de tal forma que al alcanzarle, da la vuelta inmediatamente sin perder tiempo, y vuelve a la locomotora inicial. Repite este proceso hasta que evidentemente ambos trenes se encuentren.”

La pregunta es: ¿Qué distancia habrá recorrido la mosca en su viaje?

Cualquier estudiante de bachillerato sabe resolverlo (o debería al menos). Si es avezado, se puede resolver en tercero de la ESO incluso.

Este problema, como otros muchos tiene su historia. Ya la contaremos…. pero tiene que ver con alguien a quien los estudiantes de teleco y especialmente los de informática debemos mucho.

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Solución: evidentemente sabemos que:

Es decir, que la velocidad es el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo que se tarda. Por ejemplo, si recorres 100 Km en 2 horas tu velocidad es de 100/2 = 50 Km/h, haces cincuenta kilómetros en una hora.

Nosotros sin embargo usaremos una variante, despejando el tiempo:

Y otra despejando el espacio:

El problema es que aquí hay dos cosas (bueno, tres, pero me quedo sólo con dos) que se están moviendo. La mosca que vuela y el tren hacia el cual vuela (sea el que sea en cada trayecto). El otro tren es irrelevante, porque queremos ver cuando la mosca llega a su destino (un tren determinado que se mueve) y entonces, desde que sale volando, el tren desde donde lo hace no influye.

Como son dos cosas moviéndose a la vez, el truco está en considerar que recorren el espacio que los separa entre los dos. Cada uno por su lado, pero ayudándose. Es como en la Dama y el Vagabundo, y la escena de los espaghettis. Acaban en un plis plas porque los dos comen, y claro, agotan la distancia entre ambos antes.

Como los dos comen, acaban antes. Sus velocidades se suman, se ayudan,

se añaden…como queráis verlo

Por ello, cuando la mosca parte de un tren A al otro B la ecuación que describe el espacio recorrido es:

Las velocidades de ambos se suman porque ese espacio de 200 Km se lo comen entre los dos, uno a 50 Km/h y otro a 75 Km/h. Sería análogo a un solo tren yendo a 125 Km/h a efectos del tiempo.

En el segundo recorrido nuestra viajera mosca vuelve del tren B al tren A. Pero entre B y A ya no hay 200 Km porque ambos han avanzado, cada uno a 50 Km/h uno hacia el otro durante las 1,6 horas del vuelo de mosca anterior. Entonces, se llega a la conclusión de que los trenes se han comido una distancia, mientras la mosca viajaba, de:

Recordad que como viaja uno hacia el otro sus velocidades se suman.

Por tanto la mosca al ir de B hacia A tardará:

Observa que ese 160 es el resultado de 100 por t1, el tiempo del viaje de la mosca. Esta es la clave.

De esta forma la mosca vuelve de B a A en 0.32 horas. Suponiendo que no está cansada (pobre) vuelve a salir desde A hasta B, en el tercer viaje. Y luego vuelta desde B hacia A. Y otra vez, y otra, y otra. Razonando como antes se llega a que irá tardando en cada trayecto:

Y así sucesivamente. Basta con ir calculando los tiempos e ir encadenándolos.

Pero entonces llegamos a que la mosca hace infinitos viajes (cada vez menos largos, eso si) y que el tiempo que tardará en total será la suma de toooooooooodos esos paseítos.

¿Y cómo sumo infinitas cosas?

Bueno, hay un truco. Normalmente sumar infinitas cosas es complicadillo. Pero en algunos casos, se puede. En este, en concreto, cada tiempo está relacionado con el anterior mediante un factor que siempre es el mismo. Observad los diferentes tiempos que hemos obtenido. Todos ellos son una quinta parte del inmediato anterior. Es decir, si los escribimos:

1.6-0.32-0.064-0.0128……

A esto se le llama progresión geométrica. Y en este caso, su razón es 1/5. Es decir, el 0.032 es una quinta parte del anterior que es 1.6. Y de igual forma ocurre entre los demás.

Como esta razón es más pequeña que 1 la consecuencia es que los sucesivos tiempos salen cada vez más pequeños (si multiplicas algo por 1/5 sucesivamente cada vez te sale más pequeño el resultado). En estas circunstancias estas concatenaciones de números, estas progresiones son sencillas de sumar siguiendo la fórmula propia que podéis encontrar en cualquier libro de ESO o en la santa Wikipedia.

En cualquier caso el resultado de sumar todos los tiempos es:

Es decir, todos los viajes que hace la mosca le llevan en total 2 horas todos juntos. Como vuela a 75 Km/h, pues en dos horas recorre 150 Kilómetros. No está mal como ejercicio, ¿no?.

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SOLUCIÓN 2:

Pues la idea es similar, pero yendo al grano directamente y no cacho a cacho. Los dos trenes viajan uno hacia el otro cada uno a 50 Km/h. Por tanto tardarán 2 horas en encontrarse. Cuando lo hagan la mosca dejará de viajar, y su epopeya habrá acabado. Con esta idea elegante hemos calculado cuánto tiempo ha estado el bicho volando ¡sin tener que considerarle para nada!

Sencillamente, hemos tenido en cuenta sus circunstancias, cuando empieza y cuando acaba. Darse cuenta de este detalle es raro, sobre todo por el aprtendizaje condicionado. Mis alumnos hace bastantes ejercicios de móviles (oh, sí, les fríen) y normalmente se meten hasta la cocina paso a paso como hemos desarrollado antes. Con esta argumentación sin embargo, de una tacada hemos obviado cualquier referencia a series geométricas y demás cosillas. Y el resultado coincide.

Por tanto, como tardan dos horas en encontrarse los trenes, dos horas está la mosca viajando entre ambos. Y como viaja a 75 Km/h, pues en total recorre los conocidos de antes 150 kilómetros.

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Anécdota.

Para los que no lo conozcan este es John Von Neumann:

Padre, entre otras muuuuchas cosillas de la arquitectura Von Neumann germen de las actuales arquitecturas de cualquier ordenador del mundo. Un genio que cualquier estudiante de teleco o de informática conoce, aunque sea de oídas. Y un genio matemático según sus cohetáneos. Se dice que matemáticos como Polya temblaban cuando Johnny cogía la tiza dispuesto a demostrar…lo que fuera que se le planteara. Hoy sería imposible, pero se le considera como el último capaz de contribuir a todas y cada una de las ramas de la matemática de su tiempo. Que fue anteayer como quien dice.

Para corroborar la fama que tenía Von Neumann, se cuenta que existía un criterio de clasificación de problemas matemáticos atendiendo a su dificultad. Así existían 10 niveles, entre los cuales se encontraban (y soy literal). Fuente: “La Vida Secreta de los Números”, de Joaquín Navarro.

  1. Grado 1: incluso mi madre puede entender.
  2. Grado 2: comprensibles para, digamos mi esposa (estoy citando y en esa época había cierto machismo)
  3. Grado 7: Problemas que yo (un matemático) puedo comprender.
  4. Grado 8: Problemas que sólo el conferenciante de turno y Von Neumann pueden comprender.
  5. Grado 9: Problemas que sólo Von Neumann comprende.
  6. Grado 10: Problemas que ni Von Neumann comprende….todavía.

¿Qué tiene que ver este tipo, sin embargo con la mosca y los trenes? Bueno, cuenta la leyenda que alguien planteó este mismo problema a Von Neumann. Y en un minuto, sin papel ni lápiz dió la respuesta. Quien lo propuso contestó. “Vaya. No te he pillado. Todo el mundo lo resuelve con una progresión geométrica.”

A lo que Von Neumann contestó extrañado:

“¿Y cómo te crees que lo he resuelto?”

Genio y figura…..