La puñetera mosca…

Bueno, este es un problema que puede ser resuelto de una manera más o menos sencilla:

chu-chu-chuuuli....Y TIENE DIBUJADO UN TREEEEEN......

“Dos trenes parten uno desde Valladolid y otro desde Madrid, ambos a la misma hora y a la misma velocidad, pongamos que de 50 Km/h, uno al encuentro del otro. En el primer tren hay una mosca posada sobre la locomotora que inmediatamente después de iniciarse la marcha arranca volando a 75 Km/h hacia el otro tren, de tal forma que al alcanzarle, da la vuelta inmediatamente sin perder tiempo, y vuelve a la locomotora inicial. Repite este proceso hasta que evidentemente ambos trenes se encuentren.”

La pregunta es: ¿Qué distancia habrá recorrido la mosca en su viaje?

Cualquier estudiante de bachillerato sabe resolverlo (o debería al menos). Si es avezado, se puede resolver en tercero de la ESO incluso.

Este problema, como otros muchos tiene su historia. Ya la contaremos…. pero tiene que ver con alguien a quien los estudiantes de teleco y especialmente los de informática debemos mucho.

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Solución: evidentemente sabemos que:

Es decir, que la velocidad es el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo que se tarda. Por ejemplo, si recorres 100 Km en 2 horas tu velocidad es de 100/2 = 50 Km/h, haces cincuenta kilómetros en una hora.

Nosotros sin embargo usaremos una variante, despejando el tiempo:

Y otra despejando el espacio:

El problema es que aquí hay dos cosas (bueno, tres, pero me quedo sólo con dos) que se están moviendo. La mosca que vuela y el tren hacia el cual vuela (sea el que sea en cada trayecto). El otro tren es irrelevante, porque queremos ver cuando la mosca llega a su destino (un tren determinado que se mueve) y entonces, desde que sale volando, el tren desde donde lo hace no influye.

Como son dos cosas moviéndose a la vez, el truco está en considerar que recorren el espacio que los separa entre los dos. Cada uno por su lado, pero ayudándose. Es como en la Dama y el Vagabundo, y la escena de los espaghettis. Acaban en un plis plas porque los dos comen, y claro, agotan la distancia entre ambos antes.

Como los dos comen, acaban antes. Sus velocidades se suman, se ayudan,

se añaden…como queráis verlo

Por ello, cuando la mosca parte de un tren A al otro B la ecuación que describe el espacio recorrido es:

Las velocidades de ambos se suman porque ese espacio de 200 Km se lo comen entre los dos, uno a 50 Km/h y otro a 75 Km/h. Sería análogo a un solo tren yendo a 125 Km/h a efectos del tiempo.

En el segundo recorrido nuestra viajera mosca vuelve del tren B al tren A. Pero entre B y A ya no hay 200 Km porque ambos han avanzado, cada uno a 50 Km/h uno hacia el otro durante las 1,6 horas del vuelo de mosca anterior. Entonces, se llega a la conclusión de que los trenes se han comido una distancia, mientras la mosca viajaba, de:

Recordad que como viaja uno hacia el otro sus velocidades se suman.

Por tanto la mosca al ir de B hacia A tardará:

Observa que ese 160 es el resultado de 100 por t1, el tiempo del viaje de la mosca. Esta es la clave.

De esta forma la mosca vuelve de B a A en 0.32 horas. Suponiendo que no está cansada (pobre) vuelve a salir desde A hasta B, en el tercer viaje. Y luego vuelta desde B hacia A. Y otra vez, y otra, y otra. Razonando como antes se llega a que irá tardando en cada trayecto:

Y así sucesivamente. Basta con ir calculando los tiempos e ir encadenándolos.

Pero entonces llegamos a que la mosca hace infinitos viajes (cada vez menos largos, eso si) y que el tiempo que tardará en total será la suma de toooooooooodos esos paseítos.

¿Y cómo sumo infinitas cosas?

Bueno, hay un truco. Normalmente sumar infinitas cosas es complicadillo. Pero en algunos casos, se puede. En este, en concreto, cada tiempo está relacionado con el anterior mediante un factor que siempre es el mismo. Observad los diferentes tiempos que hemos obtenido. Todos ellos son una quinta parte del inmediato anterior. Es decir, si los escribimos:

1.6-0.32-0.064-0.0128……

A esto se le llama progresión geométrica. Y en este caso, su razón es 1/5. Es decir, el 0.032 es una quinta parte del anterior que es 1.6. Y de igual forma ocurre entre los demás.

Como esta razón es más pequeña que 1 la consecuencia es que los sucesivos tiempos salen cada vez más pequeños (si multiplicas algo por 1/5 sucesivamente cada vez te sale más pequeño el resultado). En estas circunstancias estas concatenaciones de números, estas progresiones son sencillas de sumar siguiendo la fórmula propia que podéis encontrar en cualquier libro de ESO o en la santa Wikipedia.

En cualquier caso el resultado de sumar todos los tiempos es:

Es decir, todos los viajes que hace la mosca le llevan en total 2 horas todos juntos. Como vuela a 75 Km/h, pues en dos horas recorre 150 Kilómetros. No está mal como ejercicio, ¿no?.

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SOLUCIÓN 2:

Pues la idea es similar, pero yendo al grano directamente y no cacho a cacho. Los dos trenes viajan uno hacia el otro cada uno a 50 Km/h. Por tanto tardarán 2 horas en encontrarse. Cuando lo hagan la mosca dejará de viajar, y su epopeya habrá acabado. Con esta idea elegante hemos calculado cuánto tiempo ha estado el bicho volando ¡sin tener que considerarle para nada!

Sencillamente, hemos tenido en cuenta sus circunstancias, cuando empieza y cuando acaba. Darse cuenta de este detalle es raro, sobre todo por el aprtendizaje condicionado. Mis alumnos hace bastantes ejercicios de móviles (oh, sí, les fríen) y normalmente se meten hasta la cocina paso a paso como hemos desarrollado antes. Con esta argumentación sin embargo, de una tacada hemos obviado cualquier referencia a series geométricas y demás cosillas. Y el resultado coincide.

Por tanto, como tardan dos horas en encontrarse los trenes, dos horas está la mosca viajando entre ambos. Y como viaja a 75 Km/h, pues en total recorre los conocidos de antes 150 kilómetros.

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Anécdota.

Para los que no lo conozcan este es John Von Neumann:

Padre, entre otras muuuuchas cosillas de la arquitectura Von Neumann germen de las actuales arquitecturas de cualquier ordenador del mundo. Un genio que cualquier estudiante de teleco o de informática conoce, aunque sea de oídas. Y un genio matemático según sus cohetáneos. Se dice que matemáticos como Polya temblaban cuando Johnny cogía la tiza dispuesto a demostrar…lo que fuera que se le planteara. Hoy sería imposible, pero se le considera como el último capaz de contribuir a todas y cada una de las ramas de la matemática de su tiempo. Que fue anteayer como quien dice.

Para corroborar la fama que tenía Von Neumann, se cuenta que existía un criterio de clasificación de problemas matemáticos atendiendo a su dificultad. Así existían 10 niveles, entre los cuales se encontraban (y soy literal). Fuente: “La Vida Secreta de los Números”, de Joaquín Navarro.

  1. Grado 1: incluso mi madre puede entender.
  2. Grado 2: comprensibles para, digamos mi esposa (estoy citando y en esa época había cierto machismo)
  3. Grado 7: Problemas que yo (un matemático) puedo comprender.
  4. Grado 8: Problemas que sólo el conferenciante de turno y Von Neumann pueden comprender.
  5. Grado 9: Problemas que sólo Von Neumann comprende.
  6. Grado 10: Problemas que ni Von Neumann comprende….todavía.

¿Qué tiene que ver este tipo, sin embargo con la mosca y los trenes? Bueno, cuenta la leyenda que alguien planteó este mismo problema a Von Neumann. Y en un minuto, sin papel ni lápiz dió la respuesta. Quien lo propuso contestó. “Vaya. No te he pillado. Todo el mundo lo resuelve con una progresión geométrica.”

A lo que Von Neumann contestó extrañado:

“¿Y cómo te crees que lo he resuelto?”

Genio y figura…..

 

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9 Respuestas a “La puñetera mosca…

  1. De la forma que imagino que dices que es sencilla:
    De Madrid a Pucela hay 200 Km así a ojo, no? (Se te ha pasado ponerlo) Por tanto los trenes tardarán 2 horas en encontrarse. La mosca va a velocidad constante de 75 km/h… Pues eso, 150 km.

  2. La forma “jodida”.
    Una manera sería calculando el tiempo del primer viaje de la mosca, luego del segundo, etc. así los INFINITOS viajes que daría la jodía. Sumarlos todos y ver que da 2 horas.
    t1=(200)/125=1.6
    t2=(200-t1*100)/125=0.32
    t3=(200-t1*100-t2*100)/125=0.064
    t4=(200-t1*100-t2*100-t3*100)/125=0.0128

    Bueno, se entiende el concepto. Es una serie geométrica de razón 1/5. Luego, sumando la serie:
    Sa=1.6/(1-1/5)=2horas
    Como se había anunciado en el otro post. Ya sólo queda: 2h*75km/h=150km

  3. eres un ajqueroso que no sabe apreciar un problema con trampa y tener el detalle de caer en ella….. XD.

    la primera forma, corresta. La segunda también, evidentemente. Este es el famoso problema de la Mosca de Von Neumann. Ya contaré su historia. Anecdótico. Y algo del bueno de Von. Un genio

  4. Ya puestos, podías haber demostrado que realmente es una progresión geométrica. Diciendo que los 4 primeros tienen razón \frac{1}{5} no quiere decir que sea una serie geométrica.

    PD: A que soy tocahuevos?

  5. se supone que soporta LaTex. El que no lo soporta soy yo. Aún no me he puesto a mirar como hacerlo. Deberé de aprenderlo pronto porque me estoy cansando de tanta mierda recorta word, paint, etc…. queda feote y cansa.

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