OPOSICIÓN EN CANTABRIA 2012

Bueno, pues acá están. La lista de algunos de los ejercicios que han caído en esta convocatoria. Se trataban de cuestioncillas a resolver en 2 horas. Como siempre, los ingenieros llevamos la peor parte porque en cuanto aparece la palabra “demostrar” empiezan a caernos gotillas de sudor frío por la sien (por norma general). En fin, qué le vamos a hacer.

No voy a comentar cómo me salió el examen. Sencillamente diré que este años se convocan también en Castilla y León, La Rioja y Castilla la Mancha. Ejem….

Sin más dilación cuelgo algunos de los ejercicios.  Creo están bien porque no nos dejaban sacar copia y tuvimos que tirar de memorieta…

Faltan un par de ejercicios. Uno de ellos era algo de la trayectoria de una partícula sobre un disco que gira (no recuerdo la forma del disco en sí) se pedía que se demostrara que la trayectoria no era algebraica o algo parecido, no me acuerdo porque con los nervios lo leí, giré el papel de varias formas, pensé “de qué puñetas me está hablando) y pasé a otra cosa.

El otro que falta era algo de primero de carrera que me acordé del preoceso al salir de la prueba (la mente te juega unas  pasadas maravillosas bajo estrés). Dada una matriz 4×4 preciosa (con muchos 1 y -1 por ahí pululando) se pedía averiguar cuándo era diagonalizable. Asi que me atasqué en el preoceloso mar de |A-Lambda I|, autovalores y autovectores. Una lástima porque si hubiera estado más fino, podría haber apurado un puntito más. En fin… que le vamos a hacer.

Resolveré algunos más o menos como los hice yo. Pero con otros sigo atascado a base de bien. Asi que se aceptan sugerencias/ comentarios y esas cosillas. Cualquier tipo de ayuda es bienvenida.

¡¡A ello!!

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Ejercicio nº2:

Cuelgo aquí la demostración, creo que está bien.

Ejercicio nº3:

Solución:

Primero descomponemos f(x) en dos funciones g(x) y h(x), de tal forma que f(x)=g(x)h(x)

Buscamos representar estas funciones para a través de ellas llegar a la representación de f(x).

Viene a ser el numerador del enunciadoEl resto de la función...Multiplicando (se ve a ojo gráficamente, es muy muy fácil) g(x) por h(x) llegamos a que f(x), la función dada es sencillamente:

Hela la puñetera función.

La función pedida. Ahora hay que integrarla, o sea, sacar su área. Fácil, si nos olvidamos de integrar….

Analicemos f(x) ahora que ya la tenemos… no es tan fea como parecía a priori.

El problema es hallar el área de esta sucesión de triángulos decrecientes que la función dada representa entre 0 e infinito (aquí sólo lo he representado entre 0 y 5 por comodidad, para apreciar la pauta del ejercicio…)

Todos los triángulos tienen obviamente por venir de la parte entera de X una base de 1. Por tanto su área coincide con la mitad de su altura. Fácil, sencillo, para toda la familia.

Bastará con hallar la suma de las alturas de todos los triángulos de f(x), dividir el resultado entre dos, y asi obtener el área encerrada por f(x) pedida.

Observamos que las alturas de los triángulos son 1   0.5   0.25    0.125   etc…. es decir 1   1/2   1/4  1/8  1/16 ….. una bonita progresión geométrica de razón 1/2 y primer término 1. Como

la razón es menor que 1 se puede hacer la suma de los infinitos valores de dicha sucesión aplicando:

Como las áreas de los triángulos equivalían a la mitad de sus alturas, entonces el área encerrada es, si no he metido la gamba, 1. La integral propuesta por tanto vale 1.