OPOSICIÓN EN CANTABRIA 2012

Bueno, pues acá están. La lista de algunos de los ejercicios que han caído en esta convocatoria. Se trataban de cuestioncillas a resolver en 2 horas. Como siempre, los ingenieros llevamos la peor parte porque en cuanto aparece la palabra “demostrar” empiezan a caernos gotillas de sudor frío por la sien (por norma general). En fin, qué le vamos a hacer.

No voy a comentar cómo me salió el examen. Sencillamente diré que este años se convocan también en Castilla y León, La Rioja y Castilla la Mancha. Ejem….

Sin más dilación cuelgo algunos de los ejercicios.  Creo están bien porque no nos dejaban sacar copia y tuvimos que tirar de memorieta…

Faltan un par de ejercicios. Uno de ellos era algo de la trayectoria de una partícula sobre un disco que gira (no recuerdo la forma del disco en sí) se pedía que se demostrara que la trayectoria no era algebraica o algo parecido, no me acuerdo porque con los nervios lo leí, giré el papel de varias formas, pensé “de qué puñetas me está hablando) y pasé a otra cosa.

El otro que falta era algo de primero de carrera que me acordé del preoceso al salir de la prueba (la mente te juega unas  pasadas maravillosas bajo estrés). Dada una matriz 4×4 preciosa (con muchos 1 y -1 por ahí pululando) se pedía averiguar cuándo era diagonalizable. Asi que me atasqué en el preoceloso mar de |A-Lambda I|, autovalores y autovectores. Una lástima porque si hubiera estado más fino, podría haber apurado un puntito más. En fin… que le vamos a hacer.

Resolveré algunos más o menos como los hice yo. Pero con otros sigo atascado a base de bien. Asi que se aceptan sugerencias/ comentarios y esas cosillas. Cualquier tipo de ayuda es bienvenida.

¡¡A ello!!

————————————————————————————————————————————–

Ejercicio nº2:

Cuelgo aquí la demostración, creo que está bien.

Ejercicio nº3:

Solución:

Primero descomponemos f(x) en dos funciones g(x) y h(x), de tal forma que f(x)=g(x)h(x)

Buscamos representar estas funciones para a través de ellas llegar a la representación de f(x).

Viene a ser el numerador del enunciadoEl resto de la función...Multiplicando (se ve a ojo gráficamente, es muy muy fácil) g(x) por h(x) llegamos a que f(x), la función dada es sencillamente:

Hela la puñetera función.

La función pedida. Ahora hay que integrarla, o sea, sacar su área. Fácil, si nos olvidamos de integrar….

Analicemos f(x) ahora que ya la tenemos… no es tan fea como parecía a priori.

El problema es hallar el área de esta sucesión de triángulos decrecientes que la función dada representa entre 0 e infinito (aquí sólo lo he representado entre 0 y 5 por comodidad, para apreciar la pauta del ejercicio…)

Todos los triángulos tienen obviamente por venir de la parte entera de X una base de 1. Por tanto su área coincide con la mitad de su altura. Fácil, sencillo, para toda la familia.

Bastará con hallar la suma de las alturas de todos los triángulos de f(x), dividir el resultado entre dos, y asi obtener el área encerrada por f(x) pedida.

Observamos que las alturas de los triángulos son 1   0.5   0.25    0.125   etc…. es decir 1   1/2   1/4  1/8  1/16 ….. una bonita progresión geométrica de razón 1/2 y primer término 1. Como

la razón es menor que 1 se puede hacer la suma de los infinitos valores de dicha sucesión aplicando:

Como las áreas de los triángulos equivalían a la mitad de sus alturas, entonces el área encerrada es, si no he metido la gamba, 1. La integral propuesta por tanto vale 1.

Anuncios

17 Respuestas a “OPOSICIÓN EN CANTABRIA 2012

    • Hola, como estoy un poco insomne he visto ésto y te digo como enfoco el uno (no tengo en cuenta las raíces):
      Supongo que es cierto e Igualo el polinomio a k^2. Despejo el 1 y me queda suma por diferencia a la derecha del igual. Como dicha expresión es k^2-1 ello indica que es la suma por diferencia de dos números pares o impares consecutivos. Ello obliga a buscar la expresión de la derecha como el producto de dos números par o imp consecutivos. La combinación posible es x(x+3) (que es k-1) y (x+1)(x+2) (que es k+1); al ser cierta esta igualdad queda demostrada la equivalencia de partida.
      Espero te haya servido y te deseo mucha suerte.

      • la verdad es que no se me había ocurrido hacerlo así. Mi idea era igualarlo a un binomio al cuadrado, para desarrollar todo, que saliera un polinomio de grado cuatro en ambos lados y a correr.

        Cada vez gana más la postura de que el ejercicio NO tenía raíces.

        En cuanto pueda pongo como resolví algunos (el 2 y el 3)

        Gracias por colaborar!!!!

  1. Comment: El 2, 3 y 5 les tengo. (bueno, el 5 no tuve tiempo…lo dejé señalado en la hoja de sucio y cuando me di cuenta….tachán…..se me olvidó. Gnífico estuve….

    el problema es el nº 4. He intentado la integración por partes y la Regla de Barrow pero creo que me estoy dejando algo.

  2. Hombre, que no recuerdes en el problema 1 si llevaba la expresión que se pedía demostrar que fuera un cuadrado o no; una raíz o no; indica que te era indiferente que fuera una potencia 4 o una potencia 2; que equivale a asumir que vivimos en un universo de dimensión 2^n para todo n= 0,1,2,3,4… y no existiría la tercera dimensión, ni la quinta ni la sexta ni la séptima, ni tantas otras.

    • O yo soy muy ingenuo…o te estás colando.Vamos a ver. Podría ser alternativamente cualquiera de esos enunciados, con o sin raíz. No me acuerdo del enunciado, y bien podría ser un ejercicio en el que la demostración demostrara que no existe ningún cuadrado perfecto.

      Por otra parte, ten en cuenta que demostrar que un polinomio de grado 4 es un cuadrado perfecto, o que la raíz de un polinomio de grado cuatro es un cuadrado perfecto no niega en absoluto la existencia de varias dimensiones que no sean potencias de 2. Más aún, para todo n entero, X^n es una curva, una línea (vamos, con dos ejes vas que chutas para representarlo, el típico X e Y). Con n=1 es una recta, con n=2 una parábola etcétera. Si quieres más dimensiones, sólo tienes que considerar más variables independientes (Y, Z …) y ya está. Por ejemplo X^2+Y^2=K.

      No confundas por tanto dimensiones con el grado de un polinomio. El grado se relaciona con la curvatura de la curva, pero un polinomio de una sola variable es siempre una curva. Más dimensiones equivale a más grados de libertad (dicho a lo bruto), lo que conlleva que forzosamente debes incluir más “letras”.

      No obstante, gracias por el aporte.

  3. Me ha costado un poco. Un ingeniero no debe olvidar el principio universal de la inducción matemática. El problema es sin la raíz. Basta con demostrar que f(x) es un cuadrado para x=1, lo cual es cierto: f(1) = 5^2 y que si f(x) es un cuadrado, entonces f(x+1)= f(x) + 4*(x^3+6*x^2+11*x+6) = f(x) + 4*(x+1)*(x+2)*(x+3) lo es también. Pero justamente, operando, obtenemos que f(x+1) = (x+1)*(x+2)*(x+3)*(x+4)+1 que es un cuadrado obvio si f(x) lo es con sólo hacer la substitución trivial o cambio de variable de x por x+1. Queda demostrado que es un cuadrado perfecto para todo x. Problema muy bonito porque sencillo a la vez que profundo que muestra bien la belleza y potencia demostrativa de la matemática. Saludos cordiales. Yo nací en Bárcena de Pie de Concha, en la misma Cantabria. Los demás problemas, probablemente no los sabría resolver; no lo sé.

    • No veo ese paso obvio que dices. No es trivial suponer que el polinomio f(x+1) es un cuadrado perfecto. En el método de la inducción no vale con dar unos valores y decir “como parece que se cumple, se cumplirá siempre…”

      Hacerlo por inducción me parece un pelín denso. No lo he probado a fondo, pero hay un problema en el paso que tu dices que es obvio. A mi no me lo parece. Si puedes especificar la demostración un poco más, te lo agradezco…

  4. Añado que no soy ni matemático ni físico ni ingeniero ni químico. Sólo un amateur y además en paro, sin trabajo. No siempre se tiene suerte ni es justa o maja (fair en inglés) la vida.

  5. Sobre lo que me has comentado, que era un polinomio de grado 4; tienes razón, pero limitada. No estamos en el reino de los números reales, sino en el de los naturales, de los enteros. Y en ellos la raíz cuadrada de un polinomio de grado 4, no equivale para nada a reducir y simplificar el polinomio a un grado 2. Por otra parte es lícito el método experimental en estos casos y en todos los casos en que se tenga alguna duda: f(1)= 5^2; f(2) = 11^2; f(3)=19^2; f(4)= 29^2. Y ya esto no puede ser mera suerte; no puedo decir ahora mismo cual es la probabilidad que en un polinomio cualquiera de grado 4 o no, los 4 primeros valores enteros no nulos sean cuadrados perfectos, pero es probablemente muy débil. Dejo el cálculo de esta probabilidad como ejercicio para la próxima vez.

    PS: Es verdad que soy un amateur y que estoy en paro.

    • El método experimental tal cual lo defines en matemáticas sólo sirve para conjeturar, nunca nunca jamás para hacer afirmaciones/demostraciones. El método de inducción dice que se ha de cumplir para todo X y su siguiente. No vale decir “es muy difícil que coincidan los primeros como cuadrados, asi que debe ser cierto siempre”. Con eso sólo conjeturas.

      Un buen ejemplo de esto son los primos de Fermat: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Fermat

      en su época comprobó que para los primeros valores salían primos. Por ello CONJETURÓ que todos los números de esa forma eran primos. Luego Euler DEMOSTRÓ que no era así.

      de todas formas, gracias por el aporte y ánimo con el trabajo, verá como pronto mejora la cosa y nos colocamos.

  6. Me expliqué mal. Cuando hablé del método experimental,quería decir para salir de la duda esta que no sabías si había un raíz o no. En tal caso bastaba con tomar un solo ejemplo numérico y al ver que no era un cuadrado, desechar la raíz.. A esto me refería. Por supuesto lo experimental no demuestra nada, simplemente orienta ya veces incluso desorienta. Fermat; yo cero que lo que esperaba es que algún inglés le hiciera el trabajo duro de encontrar el siguiente de esos primos; trabajo durísimo a mano; o bien justamente encontrar sus factores. Experimentar a mano es muy duro: lo es incluso por ordenador, en que los estadounidenses con cientos de miles de ordenadores , tarbajando muchos de ellos 24 horas al día, tardan en torno a dos años en hallar un nuevo primo de Mersenne. Y eso que tienen algoritmos muy buenos y muy rápidos.

  7. Me equivoqué con lo de la inducción. Se me cruzaron los cables al operar y factorizar los polinomios por ordenador con Pari gp. Y no estoy acostumbrado; la demostración es incorrecta. Lo siento.

  8. Muchas gracias por el aporte. Respecto a lo de los algoritmos, no sabía ese dato. Muchisimas gracias por colaborar. Lamento que tarde tanto en aprobar los comments pero es que los fines de semana ando liadillo en diversos sitios y no me puedo conectar tanto como quisiera.

    Sigo pensando cómo demostrar el problema de marras. En el examen de la opo algunos compis me dijeron que habían igualado a una identidad notable y les salía un sistema con solución pero me sigo atascando…..

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s