Los caballos del rey de Qi

Este problema está basado en una historia que aparece en “El Arte de la Guerra” de Sun-Tzu, que casualmente me he estado releyendo estos días. Sun Tzu incluye uno parecido (más simple) como un ejemplo de investigación operativa en la guerra. Es decir, en cristiano, cómo organizar y utilizar sabiamente tus recursos bélicos.

A ello vamos:

El soberano del reino de Qi realizaba carreras entre sus caballos y los de su general, Tien Ji. Éste estaba preocupado porque tomados unos por uno todos sus caballos eran peores que los del rey, y por tanto perdía. Dicho de otra manera, su mejor caballo era peor que el mejor del soberano de Qi pero mejor que el segundo mejor caballo de éste; alternativamente, el segundo de Tien Ji era peor que el segundo de Qi pero mejor que el tercero de éste y así sucesivamente con todos.

Las carreras se hacían de la siguiente forma. El rey elegía un caballo y se lo comunicaba a Tien Ji, quien emparejaba uno de los suyos para la carrera. Evidentemente ambos poseen el mismo número de equinos, digamos, n.

La mala racha de Tien Ji cambia cuando el sabio Sun Bin le ayuda a organizar sus recursos para ganar el mayor número de carreras al rey.

Y de aquí sacamos la cuestión de esta semana:

1) ¿Cómo debe organizar Sun Bin los caballos de Tien Ji para que gane el mayor número posible de carreras?

2) ¿Cuántas carreras podrá ganar como máximo el general Tien Ji?

3) Si Tien Ji elige sus caballos al azar… ¿Qué probabilidad tiene de ganar al rey de Qi el maximo número posible de batallas?

Pues hale, al tajo….

Magia en Warhammer

Bueno, mis amigos y conocidos saben de mi devoción por el wargame por excelencia, el Warhammer. Toneladas de dados y cientos de miniaturas comparten mis estanterías con los FanHunter, los mangas y la colección de Spiderman….

Quiero retomar el estudio matemático de este juego. Comenzaremos por la magia (uuuhhhh)

Normalmente en cada ejército, el tuyo y el rival hay magos, que se lanzan toñas variadas. Para representar el potencial mágico en cada turno el jugador al que le toque lanza dos dados. La suma de ambos es el número de dados de los que dispondrá para lanzar sus hechizos mientras que el resultado del dado más alto es el número de dados que tendrá el rival para intentar dispersar esos encantamientos.

De acuerdo, pero…¿Qué quieres exactamente?

Como un primer intento del estudio buscaremos obtener una tabla con los posibles resultados.

No obstante puede ser graciosos relacionar los dados que tenga un jugador con la ventaja que tendrá respecto al otro.

¿Qué función representaría la ventaja del lanzador de hechizos respecto del pobrecillo que intenta evitarlos? Defieniendo la ventaja como un número entre 0 y 1 siendo 0 ninguna ventaja y 1 máxima ventaja. ¿Cómo sería (si existe) esa función?

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SOLUCIÓN:

Cálculo de la ventaja del jugador 1 (lanza dos dados y se queda con tantos dados como la suma de los dos que ha lanzado) y el jugador 2 (que se queda con tantos dados como el mayor resultado de esos dos).

Llamemos “D” al resultado más grande que sale en uno de los dos dados lanzados y “d” al resultado menor.

Es fácil ver que:

Jugador 1: Se lleva (D + d) dados

Jugador 2: Se lleva D dados.

La ventaja del jugador 1 respecto del 2 es entonces la diferencia entre el número de dados que consigue cada uno. ¿Será una ventaja muy alta? ¿Muy baja? En definitiva, llamando V a la ventaja podemos decir que:

V = (D + d) – d = D + d – D = d

Sin embargo no podemos decir que la ventaja V sea una función con respecto a los dados que tanga el jugador 1, ya que puede haber varias posibilidades de que este jugador tenga, por ejemplo 10 dados y cada una de ellas conllevaría una ventaja diferente respecto al jugador 2.

Es decir, por ejemplo, si saca 6 y 4 en los dos dados (suman 10) el jugador 1 tendría 10 dados y el jugador 2 tendría 6 dados: una ventaja de 4 dados por tanto del jugador 1.

Sin embargo también podría ser que hubiera sacado 10 a partir de 5 y 5, y entonces la ventaja sería de 5 dados.

Es decir, no se cumple la definición básica de función: una aplicación en la que a partir de un valor de X se obtiene un solo valor de Y.

Por tanto NO podemos construir, en el sentido estricto de la definición, una función que relacione los dados que logra el jugador 1 con la ventaja que obtiene respecto al jugador 2.

Para ver esto más claro, acudamos a tablas y gráficos, que siempre viene bien:

Los posibles resultados al lanzar dos dados son:

  1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

 

Que nos lleva a las posibles ventajas:

 

  1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2
3 1 2 3 3 3 3
4 1 2 3 4 4 4
5 1 2 3 4 5 5
6 1 2 3 4 5 6

 

Que puesto en ejes cartesianos las ventajas en función de los resultados de los dos dados (es decir rellenar con pares formados por los elementos de dos casillas iguales de las dos tablas) se obtiene algo que ratifica que efectivamente no estamos delante de una función:

No es una función ya que para cada valor de X (dados del jugador 1) obtendrías más de un valor de Y (dados de ventaja sobre el jugador 2). Los colores rojo y azul tienen su significado. Por ejemplo, en el punto azul (3,1) indica al ser azul que es doble, es decir, representa a dos combinaciones que dan lugar a 3 dados para el jugador 1 y 1 de ventaja sobre el jugador 2 (que tendría por tanto 2 dados). Esas combinaciones serían en este ejemplo haber sacado 1 y 2 o 2 y 1. Por su parte los puntos rojos indican que sólo representan a una posible combinación. Por ejemplo, tener 12 dados y una ventaja de 6 dados con el rival sólo es posible sacando doble 6.

Sin embargo podemos buscar una función de ventaja/dados del jugador 1 atendiendo a la probabilidad de tener una ventaja dada.

Observemos que hay:

  • 11 combinaciones de 36 posibles de dados que permiten tener al jugador 1 UN dado de ventaja.
  •  9 combinaciones de 36 posibles de dados que permiten tener al jugador 1 DOS dados de ventaja.
  •  7 combinaciones de 36 posibles de dados que permiten tener al jugador 1 TRES dados de ventaja.
  •  5 combinaciones  de 36 posibles de dados que permiten tener al jugador 1 CUATRO dados de ventaja.
  •  3 combinaciones de  36 posibles de dados que permiten tener al jugador 1 CINCO dados de ventaja.
  •  1 combinación de 36 posibles de dados que permiten tener al jugador 1 SEIS dados de ventaja.

 

Por tanto las probabilidades de tener ventaja son:

Tener 1 dado de ventaja 11/36
Tener 2 dados de ventaja 9/36
Tener 3 dados de ventaja 7/36
Tener 4 dados de ventaja 5/36
Tener 5 dados de ventaja 3/36
Tener 6 dados de ventaja 1/36

 

Que corresponden con una recta, de ecuación:

Con lo que ya de paso pues deducimos una consecuencia muy interesante. Normalmente vas a tener solamente 1 o 2 dados de ventaja respecto al rival. Fíjate tú. Qué cosas.