El pescador y el lago

Bueno, bueno. Tras un pequeño parón debido a la vagancia (pá qué digo que no, si sí), hete aquí un problemilla que se escapa del nivel ESO/bachillerato, por lo menos en teoría. Si tienes gente en clase con altas capacidades te puede resultar interesante que aproximen una solución. Yo mismo he tenido que recurrir al Matlab para sacarla al final, porque me atascaba con la &%$··· expresión que se obtiene al final.

Seguramente alguno me haga editar esto cuando comenten que se puede sacar de una manera sencilla (la maldita idea feliz, que tan campantemente nos estropea la vida jeje)

Al lío.

“Un pescador pesca en la orilla de un lago circular, de radio R. ¿Qué longitud debe tener el sedal (llamémoslo r) para que pueda pescar en una porción del lago que abarque la mitad de la superficie del mismo?”

lago circular

Que lo disfrutéis, mientras busco algún problema sobre el fin del mundo por aquello de la parida esta del 21/12/2012…

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SOLUCIÓN:

PD: Lamento la tardanza, pero las navidades son muy muy puñeteras para estas cosas. De todas formas Leslok ya comentó en el post soluciones dadas en problemas similares en gaussianos y otras fuentes matemáticas.

Supongamos que estamos en el caso solución. Entonces nos encontramos con  la figura siguiente, donde la circunferencia negra es el lago y la zona a donde llega la caña del pescador es la circunferencia azul.

pescador y lago 1

Consideremos ahora con más detalle la zona formada por los sectores alfa, beta y el triángulo.

pescador y lago 2

El triángulo es isósceles lo que facilita calcular su área y  poder relacionar todos los ángulos del dibujo. Esto es clave en el proceso de resolución.

IDEA: Consideremos la figura 1. En el momento de alcanzar la solución podemos decir que el pescador abarca una superficie equivalente a un cuarto de lago (medio, si tomamos la parte de abajo simétrica) .  Entonces, en ese caso, existe una relación de igualdad entre los trozos que se muestran en la figura siguiente.

pescador y lago 3

Han de ser iguales porque se verifica que la suma del triángulo + sector alfa + sector beta de la figura 1 vale un cuarto del lago. Y precisamente en el caso de alcanzar la solución el pescador no llega a la zona roja superior de esta última figura mostrada, pero lo compensa porque llega a pescar en la de abajo (que equivale a lo que he llamado zona A en la figura 1)

Es decir, es hacer las gallinas que entran por las que salen. No llego a un trozo del sector beta, pero lo compenso porque abarco la zona A.

En consecuencia, puedo afirmar que en el caso de alcanzar la solución esas dos zonas se compensan y por tanto, mirando la figura 1 puedo afirmar que:

SECTOR BETA+SECTOR ALFA + TRIÁNGULO = UN CUARTO DE LAGO.

Ahora unas cuantas cuentecillas. Es tirar con trigonometría elemental, hasta llegar a una ecuación que me huelo que sólo se puede resolver por aproximación, no de manera exacta.

pescador y lago 4

NOTA: Recordad que es un triángulo isósceles, por ello tiene dos ángulos iguales y la altura del ángulo diferente le  separa en dos triángulos rectángulos iguales.

Entonces:

pescador y lago 4

Establecemos una relación entre R y r, radios del lago y del pescador: Denotemos por tanto:

r = KR con k>1

Sustituyendo la expresión anterior con esta relación podemos llegar a verificar que:

pescador y lago 4

Si buscamos una relación entre todos esos ángulos, tirando de la figura 2 y con un poco de trigonometría sencilla podemos llegar a que:

pescador y lago 4

Esto permite relacionar el ángulo d de la expresión anterior con K mediante el arcoseno.

Por tanto la expresión finalmente queda como:

pescador y lago 4

Ecuación que es un poco demasiado fumada de resolver. Así que toca aplicar métodos de aproximación o más cómodamente, en la mejor tradición de ingeniero, metérselo al Matlab y que calcule, que para eso le pagan.

De esa forma llegamos a que K es aproximadamente igual a 1,15877 lo que significa que el radio de la caña de pescar ha de ser aproximadamente igual a 1,15877 veces el radio del lago.

Podemos comprobarlo con un sencillo gif hecho con GeoGebra. Esta utilidad y yo vamos a pasar muy buenos ratejos juntos, me parece….

Para verla en acción (animada y todo, no creas…. oh, yeah!!!) pincha en ella y aparecerá más grande y mona.

pescador y lago