El pescador y el lago

Bueno, bueno. Tras un pequeño parón debido a la vagancia (pá qué digo que no, si sí), hete aquí un problemilla que se escapa del nivel ESO/bachillerato, por lo menos en teoría. Si tienes gente en clase con altas capacidades te puede resultar interesante que aproximen una solución. Yo mismo he tenido que recurrir al Matlab para sacarla al final, porque me atascaba con la &%$··· expresión que se obtiene al final.

Seguramente alguno me haga editar esto cuando comenten que se puede sacar de una manera sencilla (la maldita idea feliz, que tan campantemente nos estropea la vida jeje)

Al lío.

“Un pescador pesca en la orilla de un lago circular, de radio R. ¿Qué longitud debe tener el sedal (llamémoslo r) para que pueda pescar en una porción del lago que abarque la mitad de la superficie del mismo?”

lago circular

Que lo disfrutéis, mientras busco algún problema sobre el fin del mundo por aquello de la parida esta del 21/12/2012…

—————————————————————————————————————————————————

SOLUCIÓN:

PD: Lamento la tardanza, pero las navidades son muy muy puñeteras para estas cosas. De todas formas Leslok ya comentó en el post soluciones dadas en problemas similares en gaussianos y otras fuentes matemáticas.

Supongamos que estamos en el caso solución. Entonces nos encontramos con  la figura siguiente, donde la circunferencia negra es el lago y la zona a donde llega la caña del pescador es la circunferencia azul.

pescador y lago 1

Consideremos ahora con más detalle la zona formada por los sectores alfa, beta y el triángulo.

pescador y lago 2

El triángulo es isósceles lo que facilita calcular su área y  poder relacionar todos los ángulos del dibujo. Esto es clave en el proceso de resolución.

IDEA: Consideremos la figura 1. En el momento de alcanzar la solución podemos decir que el pescador abarca una superficie equivalente a un cuarto de lago (medio, si tomamos la parte de abajo simétrica) .  Entonces, en ese caso, existe una relación de igualdad entre los trozos que se muestran en la figura siguiente.

pescador y lago 3

Han de ser iguales porque se verifica que la suma del triángulo + sector alfa + sector beta de la figura 1 vale un cuarto del lago. Y precisamente en el caso de alcanzar la solución el pescador no llega a la zona roja superior de esta última figura mostrada, pero lo compensa porque llega a pescar en la de abajo (que equivale a lo que he llamado zona A en la figura 1)

Es decir, es hacer las gallinas que entran por las que salen. No llego a un trozo del sector beta, pero lo compenso porque abarco la zona A.

En consecuencia, puedo afirmar que en el caso de alcanzar la solución esas dos zonas se compensan y por tanto, mirando la figura 1 puedo afirmar que:

SECTOR BETA+SECTOR ALFA + TRIÁNGULO = UN CUARTO DE LAGO.

Ahora unas cuantas cuentecillas. Es tirar con trigonometría elemental, hasta llegar a una ecuación que me huelo que sólo se puede resolver por aproximación, no de manera exacta.

pescador y lago 4

NOTA: Recordad que es un triángulo isósceles, por ello tiene dos ángulos iguales y la altura del ángulo diferente le  separa en dos triángulos rectángulos iguales.

Entonces:

pescador y lago 4

Establecemos una relación entre R y r, radios del lago y del pescador: Denotemos por tanto:

r = KR con k>1

Sustituyendo la expresión anterior con esta relación podemos llegar a verificar que:

pescador y lago 4

Si buscamos una relación entre todos esos ángulos, tirando de la figura 2 y con un poco de trigonometría sencilla podemos llegar a que:

pescador y lago 4

Esto permite relacionar el ángulo d de la expresión anterior con K mediante el arcoseno.

Por tanto la expresión finalmente queda como:

pescador y lago 4

Ecuación que es un poco demasiado fumada de resolver. Así que toca aplicar métodos de aproximación o más cómodamente, en la mejor tradición de ingeniero, metérselo al Matlab y que calcule, que para eso le pagan.

De esa forma llegamos a que K es aproximadamente igual a 1,15877 lo que significa que el radio de la caña de pescar ha de ser aproximadamente igual a 1,15877 veces el radio del lago.

Podemos comprobarlo con un sencillo gif hecho con GeoGebra. Esta utilidad y yo vamos a pasar muy buenos ratejos juntos, me parece….

Para verla en acción (animada y todo, no creas…. oh, yeah!!!) pincha en ella y aparecerá más grande y mona.

pescador y lago

Anuncios

18 Respuestas a “El pescador y el lago

  1. Es probable que haya una solución de “idea feliz” pero yo no la veo. Al final tienes, como poco, que calcular la intersección de un círculo centrado con otro desplazado de distinto radio. A parte de las consabidas integrales para el cálculo del área (aunque eso sí se puede simplificar un poco con ecuaciones de áreas de arcos de círculo).

    Yo lo veo mil veces más sencillo haciéndolo con alguna herramienta matemática. Lo he hecho con MatLab y me da (salvo error de programación, que creo que no): r=1.3427*R.

    Profe, dime si te da igual o parecido y si quieres cuelgo el código.

    • hombre, un code matlab siempre es bien recibido. El día 26 colgaré la solución…en cuanto encuentre donde carajo he dejado el cuaderno donde anoto los problemas que se me van ocurriendo. También he perdido el de inglés de la academia. Empiezo bien las vacaciones jopé.

      a mi me da 1.1587, esto es justo la raíz de tu solución…hummmm

      • La idea feliz de la que parto es considerar que para que sea un cuarto de círculo entero el trocito que deja por arriba de mascar el burro ha de ser igual a un medio del trocito que se come sobrepasando el centro del campo. Es difícil explicarlo así, pero ese es mi método.
        No he integrado.

  2. Encontré el cuaderno donde lo tenía apuntado. Estaba en la tienda de Warhammer (don’t ask!)

    Expongo mi método. Es más matemático pero al final tuve que usar Matlab aunque más sencillamente que tú XD.

    Pasos:

    1) Consideramos por simetría un caso cómodo. Tomamos pues que el centro del círculo del pescador y del lago están en la misma horizontal. Trazamos además sendas verticales por cada centro, dividiendo los círculos en cuadrantes. Además llamamos A a la intersección de ambas circunferencias. Llamamos O y O’ a los centros de las circunferencias del lago y el pescador respectivamente, qu tendrán radios R y r.

    2) Calculamos en función de sus ángulos las áreas de los dos sectores circulares dados por A, O (y O’) y su respectivo eje vertical. (quesitos de cada circunferencia de ancho desde su vertical hasta A vamos…)

    3) Calculamos el área del triángulo de vértices O, O’ y A. Es un triángulo rectágulo de lados R, R y r.

    4) Imponiendo la condición que expones tú (y que también había considerado yo en otros intentos de resolución) puedo imponer que en ese caso la suma de las áreas de los sectores hallados más el del triángulo debe ser igual a un cuarto del círculo del pescador. Con un dibujo se ve estupendo. Los tres trozos calculados corresponden al área pedida si forzamos a que lo que sobra respecto a ésta ( un trocito del sector) sea igual al pedazo que nuestras áreas no incluyen (el saliente desde el centro del lago).

    5) entonces suma de áreas de los dos sectores + triángulo = (PI+r^4) / 4. Basta con tirar de trigonometría elemental para relacionar los ángulos de cada sector con r y R con la función arcoseno.

    6) Relacionas r=k*R siendo k un nº real desconocido y se obtiene una expresión bastante bastante asquerosa.

    algo así: 2*[k^2-2]*arcsin(k/2)+2*k*sqrt(1-(k^2)/4) – PI*(k^2) = – PI

    que evaluada con Matlab da un resultado de k = 1.15877 por lo que r=1.1588R

  3. Estamos finos eh??? jeje.
    Revisaré cuentas. De todas formas ahora que lo pienso…voy a simular mi fórmula con tu solución y a comprobar que no haya metido el cuezo. Pero aún así, ¿a que mola la forma de sacarlo, ein??? -___-

  4. ¡¡ hala!! como mola. Coinciden. Entoces lo mío ta bien ¿no? queda saber en qué está mal lo tuyo, porque es raro que tu solución sea el cuadrado justo de la mía. That´s suspicius. Pero he de decir a mi favor que me costó una semana pero llegué yo solito a la solución de 1.1587 jijiji…y eso me hace sentir orgulloso de pi pispio (un poquito)

    PD: cuelga el codigo matlab que aun no lo he visto.

  5. Pingback: Calculador de áreas con probabilidades | ertipodematematicas

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s