La rejilla de hormigas

Bueno, volvemos al tajo en este 2013 en el que el mundo parece ser que no se ha acabado con este apasionante problema. Nuevamente se pasa un pelín del nivel de ESO aunque puede ser puesto en bachillerato por aquello de que te llamen de todo tus alumnos y de paso repasar combinatoria, algo de probabilidad… esas cosas.

En fin, al loro. Tenemos dos hormiguitas, que llamaremos roja y azul. Cada una está situada en en los extremos de una parrilla de 4×4 celda tal y como se muestra en la figura:

hormiguitas

Obviamente pueden caminar por las líneas negras, que representan el metal de la parrilla. Sin embargo, las hormigas tienen una peculiaridad al moverse. Cuando llegan a una intersección, tienen la misma probabilidad de:

  1. Moverse hacia abajo o hacia la derecha en el caso de la hormiga roja.
  2. Moverse hacia arriba o hacia la izquierda en el caso de la hormiga azul.

Además hay que considerar que:

  1. No pueden volver sobre sus pasos, es decir no pueden pasar dos veces por el mismo sitio (pero sí pasar por donde ya ha pasado la otra)
  2. Se mueven a la vez, en el mismo turno.

Es decir, que ante una bifurcación la roja por ejemplo tendrá un 0.5 de posibilidades de tirar hacia la derecha y un 0.5 de tirar hacia abajo, y nunca podrá volver sobre sus pasos.

Con todo esto, se plantea la siguiente cuestión. ¿Qué probabilidad tienen ambas hormigas de encontrarse?

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Solución:

El truco es considerar el enunciado detenidamente. Ambas hormigas se van a mover lo mismo, quiero decir el mismo número de pasos (porque se mueven a la vez) así que se van a tener que encontrarse (si es que lo hacen) al cabo de 4 movimientos, en alguno de los puntos de la diagonal de la rejilla. Con menos movimientos ambas están aún muy alejadas una de la otra como para encontrarse, y en más de 4 movimientos, si no se han encontrado, ya no podrán hacerlo porque se habrán rebasado la una a la otra y por el enunciado no tienen capacidad de volver sobre sus pasos (no pueden dar media vuelta, la azul no puede bajar y la roja no puede subir)

Entonces, suponiendo n como el número de pasitos de cada hormiga:

  • Probabilidad de encontrarse si n<4 es igual a CERO (aún están muy lejos una de la otra)
  • Probabilidad de encontrase si n>4 es igual a CERO 0 (se han rebasado la una a la otra)
  • Entonces de haber alguna probabilidad de encuentro, ésta será en n=4.

Es decir, gráficamente (podéis comprobarlo con algún ejemplo que hagáis en una hoja de papel)

hormiguitas1

Por tanto lo que vamos a hacer es calcular la probabilidad de que se encuentren al cabo de 4 movimientos, ya que con otro número de movimientos es imposible y las hormigas no pueden quedarse quietas.

Además, dado que es equiprobable que se muevan en horizontal que en vertical, no tenemos necesidad de tener en cuenta las probabilidades asociadas a estos caminos (ya que son todos igual de posibles)

Calculemos el número de caminos de 4 movimientos que tiene cada hormiga: para ello consideramos cada punto verde donde se pueden encontrar por separado.

  • Punto A: Hay 1 camino que lleva a una hormiga a ese punto.
  • Punto B: Hay 4 caminos que llevan a una hormiga a ese punto.
  • Punto C: Hay 6 camino que lleva a una hormiga a ese punto.
  • Punto D: Hay 4 caminos que llevan a una hormiga a ese punto.
  • Punto E: Hay 1 camino que llevan a una hormiga a ese punto.

¿Cómo se obtienen estos valores? Sencillo. Por ejemplo, al punto C se llega con cualquier ordenación de 2 movimientos en horizontal y 2 movimientos en vertical (por ejemplo, para la hormiga roja, cualquier movimiento que tenga 2 movimientos a la derecha y dos movimientos hacia abajo). Entonces es utilizar permutaciones de 4 elementos repetidos dos y dos, no tiene más.  Asimismo llegar a A conlleva cuatro movimientos verticales, llegar a B y D conlleva 1 vertical y 3 horizontales (o al revés) y llegar a E se logra haciendo cuatro movimientos horizontales.

Observamos que en total hay 16 caminos.

Con lo que podemos decir que aplicando la Regla de Laplace las probabilidades de que una hormiga esté al cabo de 4 movimientos en A, B, C, D, o E son exactamente de:

 P(A) = 1/16

P(B) = 4/16

P(C) = 6/16

P(D) = 4/16

P(E) = 1/16

 

Sin embargo, ahora hay que considerar que deben coincidir, esto es, si la hormiga roja se dirige hacia A, la azul deberá también ir hacia allí para encontrarse. Los caminos que tomen cada hormiga son sucesos aleatorios independientes (no tienen ninguna influencia uno sobre el otro, no lo confundáis con el concepto de compatible/incompatible, ojo). En estos casos, la probabilidad de que ocurran ambos a la vez equivale a la multiplicación de las probabilidades de cada uno.

Es decir, que la probabilidad de que se encuentren en el punto A por ejemplo es igual a la probabilidad de que la hormiga roja llegue ahí (1/16) multiplicada por la probabilidad de que la hormiga azul llegue (que también es 1/16).

Bueno, pues entonces ya está:

hormiguitas2En total: Probabilidad de encontrarse es igual a la probabilidad de encontrarse en 1 movimiento más la de encontrarse en 2 más la de encontrarse en 3 más la de hacerlo en 4,5,6,7 u 8 movimientos (ya que ninguna hormiga por el enunciado puede hacer una camino más largo de 8 movimientos, comprobadlo). No obstante, dichas posibilidades son 0 excepto en el caso de que hagan 4 movimientos, como ya hemos visto. Entonces la probabilidad de encontrarse es de:

X=Suceso encontrarse:  P(X)= 1/256 + 1/16 +9/64 +1/16 +1/256 = 35/128 = 0.2734

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