Rebotes y más rebotes… en el billar.

Bueno, bueno…. después de cierto parón (no tengo remedio, es que soy un inconstante) hete aquí un nuevo problemilla para disfrutar.

Supongamos una mesa de billar (o cualquiera otra) de dimensiones enteras a por b.

Edito: a y b son enteros (si no, pues menudo lío, ¿no?)

Colocamos una bola en una esquina de la mesa, y la lanzamos con un ángulo de 45º con la horizontal. ¿Cuántos rebotes dará la bola hasta que logre entrar en alguna de las troneras de las esquinas?

mesica de billar

mesica de billar

Solución:

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Empecemos por alguna limitación sencillita.

Supongamos  que b es múltiplo de a. Por ejemplo, que a=1 y b=2 o a=3 y b=3 o a=8 y b=800. En ese caso, el número de rebotes se puede sacar de manera simple con generalizar algunos ejemplos:

billar0

Se puede ver que el número de rebotes en una mesa de 4×8 es el mismo que en una 1×2 o en una 2×4 o en una de 5×10. Es decir, que el número de rebotes depende de la proporción que sigan los valores de a y b. Y esto se cumple con cualquier valor de a y b que elijáis. Por ejemplo, yo he ido al extremo de una mesa de 12×36. Como 36/12 =3 me salen los mismos rebotes que en una mesa de 5×15 o una de 2×6. (Que guardan la misma proporción).

billar2

Por tanto resulta equivalente analizar una mesa de 12×36 que una de 5×15 que una de 2×6, que eventualmente una de 1×3. Quedaros con ésta idea que es clave. De hecho puedo dividir mi mesa de 12×36 en mesas más pequeñas, proporcionales a ella. Por ejemplo:

billar1

Si os fijáis se cumple la propiedad que hemos dicho antes. La mesa 12×36 tiene los mismos rebotes que la 6×18 que la 4×12 que la 2×6 y finalmente que la más chica de toda la serie, la mesa 1×3.

O sea que podemos reducir el estudio de todas las mesas al estudio de unas determinadas que representan el comportamiento de las demás. Esas mesas serán las más pequeñas posibles con esas propiedades. En nuestro ejemplo, la mesa 1×3.

En el caso de la mesa 1×3 el número de rebotes es de 2.

Si os planteáis otras mesas representativas (las más pequeñas posibles) como por ejemplo las mesas 1×2 o 1×5 o 1×4 llegamos a que el número de rebotes cumple que es equivalente a:

R=rebotes (a,b)=rebotes (m,n)= m+n-2

Siendo m, n las dimensiones de la mesa más pequeña posible que representa a la mesa mayor de dimensiones a,b.

Vale, bien…¿pero cómo obtengo m,n? ¿Cómo sé yo las dimensiones de la mesa más pequeña que se comporta igual (representa) a la mía de tamaño a,b? Es sencillo si miras la figura anterior. Para obtener las diferentes mesas que se comportaban análogas a la de 12×36 sencillamente hemos ido dividiendo a 12 y a 36 por números cada vez más grandes (buscando que saliera exacta la división) hasta que ya no hemos podido avanzar más. Llegamos así a 4 mesas de 6×18, nueve mesas de 4×12, 36 mesas de 2×6 y 144 mesas de 1×3.

En el fondo para llegar a la mesa menor hemos de dividir a y b entre el mayor número posible que pueda hacerlo de manera exacta a ambos. Esto es, hemos dividido entre el Máximo Común Divisor de a y b.

En efecto, MCD(a,b)=MCD(12,36)=12à entonces m = 12 / 12 = 1   n = 36 / 12 = 3.

De tal forma que habíamos dicho que:

R=rebotes (a,b)=rebotes (m,n)= m+n-2

Pero con la relación que hemos encontrado de mcon a y n con b podemos decir que:

billar7

 

¿Pero qué ocurre si elegimos mesas con lados que no son proporcionales, esto es, lados de tal forma que b/a no sale entero? Pues que en general el grafo de los rebotes se complica, pero podéis comprobar que la fórmula que hemos deducido se sigue cumpliendo:

billar3

Pongamos un ejemplo enrevesado, como por ejemplo una mesa de 40×28. Vamos a aplicar el método anteriormente descrito para que veáis que también funciona aunque a y b sean tales que b/a no sale entero al contrario de lo que ocurría antes. No pasa nada, ya que vamos a buscar la mínima mesa posible que se comporte igual que ésta y veremos como el número de rebotes se puede calcular de forma análoga a la anterior.

billar4

 

Pero esa mesa se puede dividir como mucho en 4 mesas de dimensiones 10 y 7 porque efectivamente el mayor número entre el que se puede dividir a 40 y 28 de manera exacta es 4.

billar5

En este caso ya tenemos m=10 y n=7

Y si analizamos la mesa representante de todas las de proporción 10/7, donde incluimos la dada de 40/28 encontramos que el número de rebotes en todas ellas es de:

billar6

Que efectivamente coincide con el de la mesa de 28×40. En este caso, podemos decir que se verifica la expresión:

billar8

Asi que la fórmula

billar7

Es la solución en cualquier caso.

La Suma de Riemann

Bueno, aquí está. Mi segundo (o tercero) proyecto de Geogebra. La verdad es que el programita me está encantando. Intenté hacerlo por las bravas (con lo que me metí en el mundo del JavaScript, beeej) hasta que, ay triste de mi, ay infelice, me dí cuenta de la CAN-TI-DAD de funciones que GeoGebra tiene implementadas así de serie. Entre ellas un trío muy interesante, a saber: SumaInferior, SumaSuperior e Integral. Después lo único que tuve que hacer fue añadir un par de controles y voilá.

El programita es muy sencillo. Podéis meterle cualquier función escrita en el lenguaje común de los programas matemáticos, es decir, sqrt() es raíz cuadrada, y ^n es elevar a n, por ejemplo. Esas cosas. Procurad, eso sí, que la función cumpla los requisitos exigibles para que la suma de Riemann no salga rara o se despendole. Básicamente, que metáis una función contínua entre A y B.

El resto de los parámetros son modificables. El número de intervalos que quéreis poner (el máximo lo podéis fijar y se pueden cambiar dinámicamente con el deslizador n). También es modificable el punto de inicio y de fin de la suma.  Incluso podéis seleccionar qué quéreis ver y que no.

Y recordad que el zoom y el movimiento por la hoja es similar al de las herramientas CAD (por si no conocéis muy bien GeoGebra, es apretar la ruleta del ratón y moverte)

Bueno, pues aquí está el link. Sencillamente pinchad aquí o en la foto y seguid los pasos. Un gran recurso si alguien tiene que explicar estos días algo de integrales.

suma de riemann

Simulación 3D Geogebra

Mi primera aproximación un pelín más en serio con este magnífico programa que da mucho juego en la labor de enseñar matemáticas.

En este caso es sencillamente un pequeño cubo en 3D usando un falso eje Z que puede ser orientable al azar.  Los controles están para que los uséis y veáis lo que se puede lograr con poco (pocas, pocas) horas de manejo.

Como el puñetero WordPress no deja subir plugins que permitan usar applets, pues lo he subido a GeoGebraTube y aquí pongo el link . Sólo pinchad en la foto de abajo.

Un saludete!!

Sin título

Iker, Campayo y la Telepatía

Bueno, he de confesar que tengo la manía de tragarme Cuarto Milenio todas las semanas. Es un ejercicio que recomiendo a toda persona que tenga un mínimo de sentido crítico. La factura técnica (las recreaciones que se hacen o el ambiente que logra el plató por ejemplo) son de una factura técnica muy buena, eso que vaya por delante.

iker jimenez

Y sin embargo, cuando lo veo acabo con ganas de tirarme por la ventana. En este programa, que no pasa de ser un espectáculo, un show como el de un mago como Tamariz o un ilusionista como Blake, se pretende presentar con una pátina de credibilidad científica. Vale, bien. Lo malo es que para lograrlo da cancha a ciertos personajes que defienden ciertas creencias que no es que sean difícilmente aceptables por la ciencia, sino que directamente la contradicen.

Alguien puede pensar que tampoco es para tanto. Pero sí que lo es. Porque es asombroso la cantidad de gente que se lo traga, de verdad. Que piensan que la ciencia es un dogma (en el peor sentido de la palabra) que los oprime. Así que quiero desde aquí dar un poco de luz a todo esto.

Esta semana tocaba la telepatía. Y este caso, como en el de la ouija (otro clásico) me toca  la fibra sensible ya que como ingeniero de telecomunicaciones sé más o menos alguna cosilla que otra sobre transmisión de información.

En fin, en el video que veis  (si es que aún sigue colgado) se muestra a Ramón Campayo adivinando los números en los que piensan los demás conterturlios. Las reglas son:

“Pensad en un número de dos dígitos, vamos a decir entre el diez  y el cincuenta, pero con la siguiente condición: que sean impares los números y distintos entre sí. Por ejemplo, el 11 no vale porque es 1 y 1”

Además Ramón dice, en alarde de precisión:

“Me voy a centrar especialmente en ti, Iker.”

El bueno de Ramón acierta en 2 de los 4 otros contertulios que le acompañan en la mesa. No está nada mal, ¿eh? Una prueba magnífica del poder de inducción de su mente en la de los demás. ¿o no?.

Consideremos las reglas. Los números entre el 10 y el 50 son:

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49.

Al aplicar las condiciones expuestas quedan:

13 15 17 19 31 35 37 39

Que ya no son tantos.

Ahora, hay que pensar que quien propone el juego ha de adivinar números de los cuatro jugadores (es decir, Campayo adivinó 2 de 4). Mucha gente cree en el momento que ha acertado 3 de 5 porque ven a 5 personas en la mesa. Mentira. Él no adivina su propio número. Adivina el del resto y actúa en consecuencia. Esto es importante. Acertar 3 de 5 es, coloquialmente,  más de la mitad. Acertar 2 de 4 es justo la mitad.

Echemos unas cuentas rápidas. La probabilidad de acertar 1, 2, 3 o los 4 números se pueden sacar analizando los diferentes caminos de la forma:

telepatia1

Que nos llevan a las fórmulas binomiales (aunque también se pueden hacer a puro huevo analizando cuántas ordenaciones diferentes de caminos de 1 acierto, de 2 , de 3 y de 4 aciertos hay.

En cualquier caso, obtenemos que:

telepatia2

Entonces la probabilidad de acertar “algo” a huevo, por pura chiripa sin telepatía ni gaitas es la suma de éstas, un nada desdeñable 0.413874, aproximadamente un 41.3874% si hay algún lector que prefiera dar los resultados de probabilidad en porcentajes (hay gente para todo).

Además habría una posibilidad de (1/8)=0.125 (12.5%) de acertar el número que Iker pensó. (cosa que por otra parte no hizo). Todo esto hubiera dado, en conjunto, una prueba (con mucho alarde) de telepatía.

Sin embargo eso nos deja una probabilidad del 0.586126 (58.26%) de fallara, de no dar ni una y quedar como un profesor Charles Xavier descafeinado.

Así que…. ¿dónde está el truco? ¿Por qué acertó? ¿Fue sólo suerte? ¿Se puede mejorar?

El truco viene explicado perfectamente en el libro “Los Engaños de la Mente” al cual he tenido acceso parcialmente gracias a la cooperación de Javier Rodríguez Escobar, al cual agradezco las molestias que se ha tomado. El truco en sí no es exactamente igual (varía en una condición) pero la idea es la misma. La sugestión, como ahora desarrollamos.

Pensemos en cómo se obtiene un número al azar. Como cualquier programador sabe, un ordenador no es capaz de inventar. No puede sacarse un número porque sí. Por eso cuando le pedimos un número al azar se parte de una semilla o seed. Un número que se obtiene por ejemplo, de la posición de memoria en la que esté el ordenador en ese instante, o la posición del ratón o el microsegundo del reloj del sistema. Es decir, el ordenador se basa en un número que no sabe a priori que valor tendrá para luego “calcular” (o elegir si tuviera consciencia) un número que llamamos aleatorio. En el fondo llamamos aleatorio en este proceso a algo que se elige en función a algo que no conocemos a priori. De esta forma el azar se transforma (se entiende como) desconocimiento. Es una medida de nuestro desconocimiento de determinados datos en los que nos basamos para en este caso, elegir.

Nuestra mente es parecida. Dila que escoja un número y buscará (sabiéndolo el sujeto o no) siguiendo unos patrones de preferencia. En consecuencia el cálculo que hemos hecho es erróneo porque parte de la premisa de que todos los números tienen la misma probabilidad de ser elegidos. Pero esto es falso. Es lo que coloquialmente la gente conoce como sugestión. De hecho, de ahí vienen las reglas que da quien propone el experimento. ¿Por qué si no esa limitación referente a cifras y números?

Si  por sugestión nuestra mente eliminara o considerara “sospechosos” a determinados números, será más fácil que los jugadores escogieran aquellos que son “fiables”. Si Campayo les alecciona inconscientemente a unos que él ya conoce de antemano…premio. Suben las posibilidades de acierto.

Consideremos un criterio de selección mental que purgue ciertos números de los que teníamos a priori para elegir, que eran:

13 15 17 19 31 35 37 39

Tal y como se propone en el juego, se nombran como erróneos aquellos impares con cifras iguales y se pone como ejemplo el 11. Supongamos que de esa forma se sugestiona a eliminar aquellos números con un 1 (o al menos, a considerarlos menos fiables, ya que la mente asume la premisa 1=erróneo), quedando como “válidos” a ojos de nuestra mente:

35 37 39

Lo que hace que en el caso de que fuéramos altamente sugestionables la probabilidad de acertar el número que hemos pensado fuera:

telepatia3Lo que hace que tuviera una probabilidad de 0.8023 de acertar algo. Más aún, la probabilidad de acertar el número de Iker (que se presupone más influenciable que el resto) es de 0.3333   (¡ un 33.33%! )

Naturalmente este criterio de criba de números puede ponerse en entredicho. Pero es igual. Propóngase la que se quiera, el hecho es que el enunciado se expone con la idea de purgar los números elegibles y se alcanzan al final estas probabilidades (si se logra reducir el conjunto elegible a tres posibles), o incluso más altas si la sugestión te hace eliminar más cifras “sospechosas”.

De igual manera, podríamos haber pensado en otro criterio, similar. Normalmente al pensar en un número impar, la gente piensa preferentemente en 3, 5 y 7. Muchas veces (lo he comprobado en clase con mis alumnos) lo mezclan sin querer con el concepto de primo y por ello descartan el 1 y el 9. Otros criterios pueden ser la superstición (la gente no suele elegir el 13, por ejemplo) o las ganas de ser original y no dar pistas (los números menores de 30 pueden recordarnos a datos nuestros como el día o el mes de nuestro cumpleaños, así que elegimos descartarlos.)

Así que de telepatía nada de nada. Simple maquinación. Lo cual sí que tiene su miga, pero claro, también mucho menos glamour parapsicológico)

Por último: ¿Qué ocurriría si Campayo hubiera podido influenciar a los jugadores para que eligieran preferentemente el número 37? Supongamos que el 37 tiene una probabilidad de ser elegido de, digamos, un 0,8. Queda un 0.2 a repartir entre los siete números restantes. Me saco estas posibilidades de la manga, suponiendo que el Sr. Campayo es un gran conocedor de la psique humana XD )

¿Qué probabilidad había de que al menos dos jugadores eligieran el 37?

telepatia4

O sea que encima acertó a poca gente para lo fácil que lo hubiera tenido de ser un buen suministrador de influencia (jeje). Téngase en cuenta que con esta posibilidad de “potenciar” un número lo realmente difícil no es acertar muchos, sin acertar uno sólo (por ejemplo, con estos datos acertar uno sólo ocurriría en un triste 2.7 % de las veces, aproximadamente). Es prácticamente seguro así acertar al menos dos (¡cerca de 0.98 de probabilidad!). Así que lo dicho…de telepatía, nada.

El truco de todas formas levantó cierto polvo en Internet. Por ejemplo, en algunos blogs se ha hecho un análisis parecido a éste mío.

Por último, algunas razones lejos de la matemática en contra de la existencia de la telepatía:

  • Desde el punto de vista de las telecomunicaciones si existe la telepatía estamos haciendo el canelo desde el albor de los tiempos, y especialmente desde el siglo XIX cuando se inventó el telégrafo. Qué decir de pagar a la operadora de móvil de turno….
  • Desde el punto de vista físico, el cerebro produce electricidad, si. Pero no es una antena y menos aún una antena “direccional”. El cerebro es una masa rodeada por un huevo de hueso, la capa de pelo, la capa de las meninges y la piel. ¿vosotros pondríais una antena encerrada entre tanta capa de cosas? Yo tampoco. Eso sin mencionar la reflexión que tendría que superar una hipotética onda al pasar por todos esos medios….
  • Desde el punto de vista biológico, si tenemos esa posibilidad estamos derrochándola hablando, escribiendo, relacionándonos por medios más, digamos, mundanos. Qué derroche, ¿no?.
  • Por la navaja de Ockham. Es de cajón. Si dos personas piensan una en la otra a la vez en un momento del día y una se sorprende cuando la otra le llama no es porque hayan tenido el mismo pensamiento telepáticamente. La explicación es que casi todas las personas de un mismo círculo social suelen tener hábitos diarios compatibles (en horarios, forma de vida…) Yo no llamaría a mi mejor amigo a las cuatro y media de la mañana un miércoles por más que hubiera soñado con él, pero sí le llamaría ese mismo día a la hora en la que la gente suele acabar de currar para tomar una birrita.