Rebotes y más rebotes… en el billar.

Bueno, bueno…. después de cierto parón (no tengo remedio, es que soy un inconstante) hete aquí un nuevo problemilla para disfrutar.

Supongamos una mesa de billar (o cualquiera otra) de dimensiones enteras a por b.

Edito: a y b son enteros (si no, pues menudo lío, ¿no?)

Colocamos una bola en una esquina de la mesa, y la lanzamos con un ángulo de 45º con la horizontal. ¿Cuántos rebotes dará la bola hasta que logre entrar en alguna de las troneras de las esquinas?

mesica de billar

mesica de billar

Solución:

——————————————————————————————————————————————–

Empecemos por alguna limitación sencillita.

Supongamos  que b es múltiplo de a. Por ejemplo, que a=1 y b=2 o a=3 y b=3 o a=8 y b=800. En ese caso, el número de rebotes se puede sacar de manera simple con generalizar algunos ejemplos:

billar0

Se puede ver que el número de rebotes en una mesa de 4×8 es el mismo que en una 1×2 o en una 2×4 o en una de 5×10. Es decir, que el número de rebotes depende de la proporción que sigan los valores de a y b. Y esto se cumple con cualquier valor de a y b que elijáis. Por ejemplo, yo he ido al extremo de una mesa de 12×36. Como 36/12 =3 me salen los mismos rebotes que en una mesa de 5×15 o una de 2×6. (Que guardan la misma proporción).

billar2

Por tanto resulta equivalente analizar una mesa de 12×36 que una de 5×15 que una de 2×6, que eventualmente una de 1×3. Quedaros con ésta idea que es clave. De hecho puedo dividir mi mesa de 12×36 en mesas más pequeñas, proporcionales a ella. Por ejemplo:

billar1

Si os fijáis se cumple la propiedad que hemos dicho antes. La mesa 12×36 tiene los mismos rebotes que la 6×18 que la 4×12 que la 2×6 y finalmente que la más chica de toda la serie, la mesa 1×3.

O sea que podemos reducir el estudio de todas las mesas al estudio de unas determinadas que representan el comportamiento de las demás. Esas mesas serán las más pequeñas posibles con esas propiedades. En nuestro ejemplo, la mesa 1×3.

En el caso de la mesa 1×3 el número de rebotes es de 2.

Si os planteáis otras mesas representativas (las más pequeñas posibles) como por ejemplo las mesas 1×2 o 1×5 o 1×4 llegamos a que el número de rebotes cumple que es equivalente a:

R=rebotes (a,b)=rebotes (m,n)= m+n-2

Siendo m, n las dimensiones de la mesa más pequeña posible que representa a la mesa mayor de dimensiones a,b.

Vale, bien…¿pero cómo obtengo m,n? ¿Cómo sé yo las dimensiones de la mesa más pequeña que se comporta igual (representa) a la mía de tamaño a,b? Es sencillo si miras la figura anterior. Para obtener las diferentes mesas que se comportaban análogas a la de 12×36 sencillamente hemos ido dividiendo a 12 y a 36 por números cada vez más grandes (buscando que saliera exacta la división) hasta que ya no hemos podido avanzar más. Llegamos así a 4 mesas de 6×18, nueve mesas de 4×12, 36 mesas de 2×6 y 144 mesas de 1×3.

En el fondo para llegar a la mesa menor hemos de dividir a y b entre el mayor número posible que pueda hacerlo de manera exacta a ambos. Esto es, hemos dividido entre el Máximo Común Divisor de a y b.

En efecto, MCD(a,b)=MCD(12,36)=12à entonces m = 12 / 12 = 1   n = 36 / 12 = 3.

De tal forma que habíamos dicho que:

R=rebotes (a,b)=rebotes (m,n)= m+n-2

Pero con la relación que hemos encontrado de mcon a y n con b podemos decir que:

billar7

 

¿Pero qué ocurre si elegimos mesas con lados que no son proporcionales, esto es, lados de tal forma que b/a no sale entero? Pues que en general el grafo de los rebotes se complica, pero podéis comprobar que la fórmula que hemos deducido se sigue cumpliendo:

billar3

Pongamos un ejemplo enrevesado, como por ejemplo una mesa de 40×28. Vamos a aplicar el método anteriormente descrito para que veáis que también funciona aunque a y b sean tales que b/a no sale entero al contrario de lo que ocurría antes. No pasa nada, ya que vamos a buscar la mínima mesa posible que se comporte igual que ésta y veremos como el número de rebotes se puede calcular de forma análoga a la anterior.

billar4

 

Pero esa mesa se puede dividir como mucho en 4 mesas de dimensiones 10 y 7 porque efectivamente el mayor número entre el que se puede dividir a 40 y 28 de manera exacta es 4.

billar5

En este caso ya tenemos m=10 y n=7

Y si analizamos la mesa representante de todas las de proporción 10/7, donde incluimos la dada de 40/28 encontramos que el número de rebotes en todas ellas es de:

billar6

Que efectivamente coincide con el de la mesa de 28×40. En este caso, podemos decir que se verifica la expresión:

billar8

Asi que la fórmula

billar7

Es la solución en cualquier caso.

Anuncios

10 Respuestas a “Rebotes y más rebotes… en el billar.

  1. a y b no tienen porqué ser enteros. Pero la relación entre ellos debe ser racional. En ese caso:

    (m/n)*a=b

    Y el numero de rebotes R totales será:

    R=m+n-2.

  2. humm…según el libro de mates el número de rebotes tendría que salirnos:
    R= [(a+b) / mcd(a,b)]-2

    ….no sé no sé…. algo no me cuadra. Ya te digo que me he atascado por emperrarme en verlo de una forma (el problema cuando con el rabillo del ojo miras la solución en el libro aunque realmente no quieras verla…)

    ais…. odio que me pasen estas cosas. Mañana a ver si después del inglés pruebo a ver….
    ¿Any suggest de cómo lo has enfocado? Yo lo hago encajando sucesivas mesas y mirando lo largo que sale la distancia.

  3. NAlgo no te cuadra? Pues a mí sí. Esa fórmula y la mía dan lo mismo para todos los números que he probado. Casualidad? No lo creo…

    Además, te obliga a que a y b sean enteros. Expresado así, R=m+n-2, no hace falta.

  4. De hecho si haces un par de cuentas verás que ambas expresiones son equivalentes si mcd(a,b)=b/m=a/n. Lo cual se cumple siempre que (m/n)*a=b.
    Besis

    • ya me contarás el método que has usado para sacarlo. Es por no poner aquí el mismo que he encontrado en libros y que es en general, un poco “feo”.
      Esperamos pues….

  5. ya tá. He estado pensando la manera mejor y más cómoda & intuitiva posible y me ha salido el post que ves.
    ¿qué opinas? ¿podría valer como ejercicio para algún curso de la ESO?…hum…..

  6. Para la ESO? Ni de coña. Y para bachiller si me apuras… Es de los típicos de canguro matemático, de conceptos fáciles pero que poca gente de bachillerato saca.

    De todas formas no me extraña que te hayas liado con esos dibujos. Si alargas la mesa hacia la derecha y separas rebotes con la vertical y la horizontal se simplifica bastante.

    Por cierto, m y n forman una fracción irreducible (primos entre sí). Si no la fórmula m+n-2 no sirve. Es lo que explicas al principio del post que yo he dado por sentado.

    • hombre, digo que m/n es el representante más pequeño de a/b. Entonces m y n han de ser a la fuerza primos entre sí (o dar de resultado un número entero)
      Sigo indagado con esa forma tuya. Esta tarde salgo pronto del curro (a las 20 horas) si quieres cafetear y discutirlo después, encantado. (invito yo) XD

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s