….Y el Mundo Creció…

Pues eso. Lamentando mucho el no haber posteado nada estos días (la Semana Santa trastoca mis horarios habituales y me he permitido dejarme un poco) aquí estamos con una nueva entrada, apasionante y de cooperación (no sé yo si….) mientras miro a ver si saco tiempo para acabar la entrada de los Clacs, que está huerfanita y sin terminar.

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En este caso planteemos una pregunta sencilla, y a ver qué pasa. Que se os ocurre. Es algo que ya se ha tratado por filósofos y pensadores pero que, y esto tiene su gracia, decidí incluirlo en el blog porque me dí de bruces con el concepto leyendo el número 77 de “El Asombroso Spiderman”. Como fan de Spidey que soy, suelo prestar atención cada vez que se usa un recurso en el guión que tiene que ver con mates o ciencia.

La cuestión es: imaginad que de repente el Universo escalara su dimensiones, me explico. Que de repente el ancho, el largo y el profundo de todo objeto quedara multiplicado por un cierto valor (que lo aumentara o disminuyera). La pregunta es…. ¿Nos daríamos cuenta? ¿Por qué? y que propongáis algún ejemplo. 

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Solución:

Bueno, después del parón de puente, vacaciones y demás, y antes de que el primero de Mayo me pilla los dedos, vamos a aclarar la cuestión en sí, el qué pasaría si todo creciera de repente, tal y como habíamos especificado.

¿Nos daríamos cuenta? Pues la respuesta es… SÍ. Nos daríamos cuenta. Entre otras razones porque (y siempre dependiendo del factor por el cual creciera el Universo) ocurriría esto:

  • Los aviones podrían caerse al suelo.
  • Los cohetes espaciales no podrían despegar.
  • Se nos podrían partir las piernas y/o algún otro hueso que nos sustenta.
  • Las lámparas se caerían (y los jamones en los secaderos y las estanterías de las paredes, y posiblemente se pincharan las ruedas de los coches).
  • Los submarinos a una determinada profundidad serían aplastados vilmente por el agua.
  • Y hay otras muchas más razones aparte….

Este problema lo estudiaron entre otras mentes brillantes, Galileo. De hecho es una vieja ley conocida en el mundo de la física, especialmente en la aeronáutica. Hete aquí un link ilustrativo:  http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_cuadr%C3%A1tico-c%C3%BAbica

Esta ley explica porque no hay una proporción lineal (que mucha gente ve como lógica en cualquier caso, algún día nos dedicaremos a ello) entre el tamaño de un avión y el de sus alas.

Pero volvamos al tema que nos ocupa. La lista de razones por las que nos daríamos cuenta. ¿Cómo puede ser esto? Menudo apocalipsis. Vamos a contar un cuento para ilustrarlo. Un cuento matemático.

Supongamos un cohete. Tiene una masa (y por tanto, tiene un peso determinado). También tiene unas toberas. Las toberas son los impulsores, para entendernos. Evidentemente tiene que haber una relación entre el peso del cohete y la superficie de los impulsores.  Esto es, para subir tanto peso necesito tanta superficie de tobera, ya que si ésta es demasiado estrecha, los gases que expulse no harán suficiente empuje como para compensar al peso del cohete.

Con esa idea en mente supongamos que el cohete escala sus dimensiones de largo, alto y profundo por una constante K>1 (que puede ser cualquier número que queráis). De esta forma el cohete crece de tamaño. Si fuera una constante menor que 1 disminuiría. ¿Qué pasará? Analicemos que pasaría al volumen del cohete y a la superficie de las toberas de un hipotético cohete con forma cilíndrica.

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Y ahora echemos unas cuantas cuentecillas sobre estas dimensiones:

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Por lo que se puede ver cómo el volumen del cuerpo ha aumentado siguiendo una razón cúbica mientras que el área sólo ha aumentado siguiendo una razón cuadrada.

¿Qué importancia tiene esto? Pues que si recordamos que la masa es igual a la densidad por el volumen, nos encontraremos con que la masa del cohete queda multiplicada por k al cubo, pero la superficie de la tobera sólo queda aumentada en un factor k al cuadrado. Consecuencia directa de esto: la masa del cohete crece mucho más que el área de la tobera de escape de gases. Conclusión: es muy posible que el empuje de los gases de salida no sea capaz de impulsar hacia arriba la enorme masa que ha adquirido el cohete.

Es fácil de ver con ejemplos. Suponed K=5. En ese caso la tobera pasa a multiplicar su superficie por 25, pero es que la masa del cohete (y su volumen)…¡¡aumentan en 125 veces!!.

El resto de ejemplos de la lista se explican de manera similar. Nuestros huesos aumentarían de largo y grueso, por ejemplo, pero la superficie de su sección quedaría aumentada en k al cuadrado mientras que el peso del sujeto al que tienen que soportar quedaría aumentado en k al cubo. Eso implicaría que sería posible detectar si el Universo hace esta jugada simplemente mirando la tasa de fracturas de cadera entre las abuelitas.

Pues eso. Estas cuestioncillas suelen ser interesantes y es, en casos sencillos (figuras como cilindros o cubos) algo que normalmente planteo cuando se estudia el Teorema de Tales en figuras y cuerpos geométricos, allá en 4º de la ESO. Normalmente los chavales ven gracioso (y contra intuitivo) que almultiplicar el lado de un cubo por 3 su volumen quede multiplicado por 27. Pero no sólo ellos. Recordemos la anécdota clásica del templo de Apolo, que se encuentra aquí perfectamente explicada, y que resumimos:

“La duplicación del cubo tiene su propia leyenda: en tiempos de Pericles una epidemia de peste estaba diezmando la población. Los atenienses mandaron una delegación al oráculo de Delfos para preguntarle acerca de qué podían hacer para aplacar a los dioses. El Oráculo les contestó que debían duplicar en tamaño el altar cúbico dedicado a Apolo. Los griegos se pusieron a la faena y construyeron un altar cúbico con el doble de lado. Pero la peste no cesó. Y es que al doblar el lado habían multiplicado el volumen por ocho, y no es eso lo que se les pedía…”

Dicho sea de paso la resolución de este problema es imposible con regla y compás, y conlleva arrastrar un número irracional como aquel raíz de dos que tanto gustó (dicho con toda la sorna del mundo) a los antiguos griegos (especialmente a los pitagóricos….)

 

…pero como se suele decir, eso ya es otra historia.