Bolzano y el Ascensor

Curiosa, curiosísima la foto que mi hermano me ha pasado por correo electrónico y que merece la pena postearse y comentar…

El famoso teorema de Bolzano niega la aformación del cartel

El famoso teorema de Bolzano niega la aformación del cartel

Bueno, es evidente que el cartel quería decir que el ascensor sube hasta el segundo piso, pero que no puede pararse en el primero. Sin embargo, tal y como se ha escrito….buffff… seguramente la contestación la ha puesto alguien con un poco más de idea sobre matemáticas y sobre lenguaje.

En fin, vamos allá. ¿Por qué lo firma Bolzano?

El Teorema del Valor Intermedio es muy conocido por los estudiantes de segundo de Bachillerato, ya que es uno de los más simples y elegantes resultados del análisis de funciones. Tirando de Wikipedia por ejemplo, lo podéis encontrar formulado:

“Intuitivamente, el resultado afirma que, si una función es continua en un intervalo, entonces toma todos los intermedios comprendidos entre los extremos del intervalo.”

Fue demostrado por Bolzano a principios del siglo XIX. En bachillerato se suele partir del Teorema de Bolzano para después demostrar el Teorema del Valor Intermedio por separado. El Teorema de Bolzano es una versión especial de éste, y reza:

“Intuitivamente, si una función tiene signos diferentes en los extremos de un intervalo donde es continua, entonces hay un valor dentro de ese intervalo donde la función es cero.”

Dicho de otra manera, lo que dice el teorema de Bolzano es que si el ascensor puede ir desde el sótano segundo por ejemplo (piso -2) hasta la sexta planta (piso 6), forzosamente ha de pasar por la planta baja, porque el ascensor sube/baja de manera continua (sin saltos mágicos de una planta a otra) . Así de simple.

De una manera similar, el Teorema del Valor Intermedio va a generalizar un poco más eliminando la necesidad de que los extremos sean sótanos (plantas negativas) y pisos (plantas superiores, positivas). Sencillamente afirma que si el ascensor va desde una planta Y hasta otra Y+K mayor, entonces el ascensor habrá pasado por todas las plantas que haya entre medias. (pararse o no ya es otra cosa).

¿Quién dice que las matemáticas no sirven, aunque sea para echarnos unas risas, en el mundo de hoy, eh?

 

Posibilidades en las listas de ejército de Warhammer

¡Muy buenas, amantes de las matemáticas!

Últimamente tengo muy dejado el vicio de los wargames, pero no por ello vamos a dejar aparcadas las suculentas posibilidades de plantear enunciados divertidos al respecto. Vamos a ello.

Por si alguien no lo sabe, en el juego de batallas más importante, el Warhammer, cada jugador lleva una lista que contiene unidades de tropas siguiendo una baremación oficial, de tal forma que es más caro poner un cañón en la mesa que, por ejemplo, una pobrecillo con una espada oxidada y sin armadura. Esta mecánica es bastante habitual en los juegos de este tipo.

Las posibilidades a la hora de hacer listas (si dejamos al margen el espinoso tema de las combinaciones más útiles y usadas, cosa ya del ámbito de la competición más que de las matemáticas) este sistema es muy muy interesante para introducir en este foro el asuntillo de las ecuaciones con más de una incógnita e infinitas soluciones enteras: las ecuaciones diofánticas.

warhammer

Así que al tema:

Supongamos que el tito Erosfer tiene mañana una batalla de Warhammer. Él ha planeado llevar una lista formada por alabarderos y por espadachines. Según el manual cada alabardero cuesta 6 puntos y cada espadachín 7 puntos. Asimismo se especifica que cada regimiento que forme ha de estar compuesto por un número de miniaturas superior a 5 (es decir, no vale llevar 3 alabarderos por ejemplo). 

Suponiendo que debe gastar 500 puntos para presentar dos regimientos, uno de cada tipo de soldados. ¿Qué posibilidades tiene?

¿Y si sabemos además que sólo dispone en su colección de miniaturas de un máximo de 45 alabarderos y 50 espadachines?

Que se os dé bien!!!

No es la primera vez que el juego éste sale por aquí. Recordad por ejemplo el análisis de las probabilidades de los dados que tuvimos en la entrada sobre la magia, o el cañón matadragones definitivo.

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Solución:

Es una ecuación diofántica. Denominando “x” al número de alabarderos y a “y” al número de espadachines, nos queda que:

6x+7y = 500

Ecuación que tiene infinitas soluciones enteras para x e y siempre y cuando se cumpla que:

MCD(6,7)=divisor de 500

Como MCD(6,7) = 1  y la unidad es divisor de cualquier número (incluido el 500), la ecuación tiene solución. Esto ya lo veremos en post siguientes. El tema de este tipo de ecuaciones lo trataremos más a fondo más adelante en el blog.

Lo primero es averiguar una solución cualquiera de la ecuación. A veces sale a ojo, otras hay que currárselo. Vamos a currárnoslo un poco. Por el algoritmo de Euclides, (dividendo=divisor por cociente más resto) podemos ver que:

7=6\cdot 1+1\rightarrow 6\cdot(-1)+7=1

Y multiplicando todo por 500 queda que:

7\cdot (-500)+6\cdot 500=500

Así que una solución es que x=-500 y la y=500.

No obstante cualquier solución vale en este punto. Buscad alguna que a ojo veáis que cumple la ecuación. Así a ojo, podría ser x=25 e y=50, por poner un ejemplo.

Ahora saquemos el resto.  Se puede aplicar el método típico de las soluciones de una ecuación diofántica lineal corriente y moliente (que insisto, ya desarrollaremos en otra entrada), pero en su lugar vamos a pensar cómo sacarlas. El método será éste: en cada solución, lo haremos quitando una cantidad a -500 tal que se le pueda añadir después a la solución de la y (el 500 positivo).

La idea es que ese -500 está multiplicado en la ecuación por 6, es decir, al restar 1 a 500 eliminas 6 unidades en la ecuación. No puedo compensar el quitar 6 unidades en la “y” porque el valor de 500 está multiplicado por 7. Veámoslo en detalle: por ejemplo, si quitas uno a la x=-500 (quedaría -501) has restado -6 a la ecuación (porque la “x” va multiplicada por 6, entonces “6x” va dando saltos de 6 en 6). No puedes compensar esa substracción en la y=500 porque ésta va multiplicada por 7 y por tanto al incrementarla en 1 (quedaría y=501) habrías añadido 7 (porque el “7y” va saltando de 7 en 7).

Se ve bien en ésta tabla:

Si a x le quito 1 quito 6 unidades  añadir 1 a la y añado 7 unidades no compensan.

Si a x le quito 2 quito 12 unidades al añadir 2 a la y añado 14 unidadesno compensan.

Si a x le quito 3 quito 18 unidades al añadir 3 a la y añado 21 unidadesno compensan.

Si a x le quito 4 quito 24 unidades al añadir 4 a la y añado 28 unidadesno compensan.

Si a x le quito 5 quito 30 unidades al añadir 5 a la y añado 35 unidadesno compensan.

Si a x le quito 6 quito 36 unidades al añadir 6 a la y añado 42 unidades no compensan.

Si a x le quito 7 quito 42 unidades al añadir 7 a la y añado 48 unidadesàno compensan.

Pero ¡alto!. ¿Qué ocurre si quito a la “x” un 7 y compenso añadiendo a la “y” un 6? Pues que estaré restando 42 por un lado y sumando 42 por otro. ¡Hombre! Entonces la ecuación no variará y por tanto 6x+7y seguirá sumando 500. Se cumplirá la ecuación.

Se puede ver:

6\cdot (-500-7)+7\cdot (500+6)=-3042+3542=500

Y esto se cumplirá cada vez que restemos a la solución de la “x” un número de veces el 6 y añadamos a la “y” ese mismo número de veces el 7. Por ejemplo, si le quitamos 5 veces el 7 y añadimos 5 veces el 6 nos queda que:

6\cdot (-500-7-7-7-7-7)+7\cdot (500+6+6+6+6+6)=500

Por lo que cómodamente podemos escribir que la solución es:

Nº de alabarderos: x = -500 – 7K

Nº de espadachines: y = 500 + 6K

Evidentemente hace falta calibrar qué soluciones valen en este contexto. K puede ser positivo o negativo (comprobadlo vosotros mismos pero entero). En nuestro problema no podemos sacar un número negativo de miniaturas en la mesa de juego, así que hay que buscar aquellas soluciones que nos dan una “x” y una “y” ambas positivas.

Es fácil ver que los valores válidos de K para obtener un número X de alabarderos positivo y un número Y de espadachines positivo son: K = -72,-73,-74,-75,-76,-77,-78,-79,-80,-81,-82 y -83.

Para estos valores obtenemos un abanico de soluciones de X e Y que son:

K

X

Y

-72

4

68

-73

11

62

-74

18

56

-75

25

50

-76

32

44

-77

39

38

-78

46

32

-79

53

26

-80

60

20

-81

67

14

-82

74

8

-83

81

2

Estas serían las posibilidades. Sin embargo, si tomamos la limitación de tener sólo 45 miniaturas de alabarderos y 50 espadachines en nuestra colección, estaremos restringidos a solamente tres opciones:

K

Alabarderos

Espadachines

-75

25

50

-76

32

44

-77

39

38

Es decir podremos presentar en la batalla una de estas tres opciones:

  • Una unidad de 25 alabarderos y otra de 50 espadachines.
  • Una unidad de 32 alabarderos y otra de 44 espadachines.
  • Una unidad de 39 alabarderos y otra de 38 espadachines.

Cual elegir ya es algo que depende de cómo juguéis, no de las matemáticas. Yo suelo incluir la tercera opción. Dos bloques con pegada relativa y consistentes. (eliminar dos unidades de 39 es dificilillo.)

Respuesta a Salvador Sostres (Insigne Columnista)

En respuesta a cierto artículo titulado “Estudiar Matemáticas” donde el polémico columnista Salvador Sostres afirma categórico que realmente es una disciplina que no sirve para nada.

El descubridor de la Verdad sobre la matemática

El descubridor de la Verdad sobre la matemática

Pues desde Ertipodematemáticas queremos darle a esta joya de la literatura contemporánea, heredera de Larra, Reverte, Campmany y otros tantos una humilde respuesta.

Allá vamos:

Querido columnista. Como profesor de matemáticas me gustaría invitarte a reflexionar sobre tu columna de hace pocos días, alegremente titulada “Estudiar Matemáticas no Sirve de Nada”. Vaya. Rotunda afirmación. Debes conocer la temática a fondo para asegurar que, efectivamente, ésta con la que me gano la vida es una disciplina vacua, carente de significado. “Son subcultura”, añades con tonillo de superioridad (no creas que no me doy cuenta), a la vez que resaltas el núcleo nuclear de la cosa en sí, dejándolo claro con la sentencia “no sirven para nada”.

Creo que podemos rebatir sobre todo esa última frase. Quitarte el resentimiento hacia esta disciplina. Verás que sí. Allá vamos.

Como sé que eres hombre de letras, aficionado a la Historia, te propongo un viaje temporal para conocer a fondo tus probabilidades de supervivencia sin la maravillosa herramienta que son las matemáticas. Vamos a ello. Observa, no obstante el astuto juego de palabras cuando acabo de emplear la palabra probabilidad en un contexto que versará de matemáticas. Canela en rama, oye. Ah, por cierto… toma apuntes si lo deseas.

Si hubieras nacido en el Paleolítico te hubiera venido bien saber algún concepto básico, como por ejemplo, el arte de contar. La génesis de las matemáticas es el recuento, que a su vez fue un mecanismo de selección natural entre quienes al ver digamos cuarenta pisadas de bisonte juntas sabían que no sólo había un único ejemplar al que enfrentarse. Muchos debieron morir por no llevarse una, estoy seguro.Tampoco te hubiera venido mal conocer el concepto de circunferencia y de radio, a la hora de rodear a la presa para darle caza. Cosillas simples que fueron tecnología punta en su época, fíjate.

En cualquier caso, podrías haber sobrevivido recolectando bayas y tal, con lo cual hubieras llegado al Neolítico, donde sin duda hubieras abandonado la vida de cazador-recolector para dedicarte de pleno a la vida sedentaria empleando las últimas técnicas de supervivencia de la época: la agricultura. Lamentablemente habrías necesitado a un hechicero, chamán o sacerdote de la época, quienes casualmente vivían de ver las estrellas y sabían cuándo sembrar y cuándo cosechar. Estamos ante unos privilegiados que escrutaron el concepto de calendario. Éste será pulido por las civilizaciones mesopotámicas y es  una idea tan afinada que ha llegado hasta nuestros días más o menos intacta. ¿Nunca te has preguntado por qué contamos minutos y segundos de cero a sesenta?  Te aseguro que la respuesta es apasionante.

Sin embargo no dejes de advertir que en esos tiempos el empleado habrías sido tú, y no el que escruta los cielos. Tu habrías sido el oscuro Cascó. Durante al menos unos cuantos milenios.

Pero seamos optimistas. Supongamos que hubieras sobrevivido como edecán de algún chamán que te dejara comer algún grano de trigo que otro. Y las bayas, no te olvides de ellas. Desde el Paleolítico habrías cogido maña en el asunto de recolectar.

Avancemos un poco más en este viaje mágico. Estoy seguro que vas pillando el quid de la cuestión, o sea, la clave del asunto, amigo mío; por tanto voy a meter la directa, que tampoco es plan de aburrirte. ¿Sabrías que habrías muerto de peste en Atenas por no saber interpretar las indicaciones del oráculo de Delfos?  La anécdota es muy conocida. Triplicar el volumen del altar de Apolo. Casi nada al aparato. Por otra parte Tales te hubiera mostrado cómo calcular la altura de la pirámide sin subirse a ella a medir y te hubiera ganado una hipotética apuesta (el de Mileto, un trile cualquiera). ¡Ah, y posiblemente hubieras llamado palurdo a Eratóstenes cuando logró medir el tamaño de la Tierra con un palo y contando!

Por último, decirte que tus posibilidades laborales de un estatus acorde a ti, amiguete, habrían estado en esta época un poco de capa caída. Pa qué decirte que no, si sí. De guerrero no te veo, francamente, pero tampoco de asesor del Tirano de Siracusa. Nunca habrías salido en pelotas de una bañera gritando Eureka. Pero tampoco habrías valido para propio tirano en sí. Niet. Cualquier orfebre te la habría dado con queso. Mucho oro te hubiera costado la corona.

Me vas a permitir que saltemos muy rápido en el tiempo, porque el espacio apremia. Tampoco das como para que te dedique una oda, estoy convencido de que lo comprendes. Saltemos a Hipatia, Ptolomeo, Apolonio y tantos otros, la época medieval y el Renacimiento. Newton y Leibniz seguro que no te perdonan, así que en el fondo te hago un favor. De nada. De otros asalariados ignorantes como Tartaglia, Cardano, Fermat, Bernoulli (todos) y demás panda mejor ni hablamos. Digamos que el viejo yayo inglés los representa en conjunto. Y a Gauss y Euler, mira, mejor no te los cito. No sea que el viaje acabe siendo accidentado, y no sólo por las paradas propias de milenios de dieta de bayas.

Avancemos hasta la época contemporánea, sólo daremos alguna pincelada al tuntún. ¿Seguro que no sirve de nada estudiar matemáticas? Mira tu ropa; es química pura. La química es leyes, leyes y más leyes. Proporciones. ¡Ley de las proporciones múltiples al rescate! Y es sólo un ejemplo. Claro que puedes usar un taparrabos. O mejor dos, por si acaso. Con esas pintas imagina que viajas a Nueva York. Reza para que la dinámica de fluidos (el aire es un fluido) tenga un repertorio de ecuaciones amplio y que haya gente con ganas de resolverlas. Algunos incluso se divierten con ello. No te rías, no son raros frikis. O rara avis, que seguro que estás más cómodo con la referencia a Horacio. Así que no te hagas cruces. Tú te diviertes escribiendo. Como ves muchas veces el resultado no dicta el motivo de la acción en sí.

Ahondando en esto, que sepas que sin ir más lejos yo te he leído porque George Boole, Charles Babbage, Ada Lovelace (hija de Lord Byron, no te creas que siempre hay una frontera letras/ciencias) y Alan Turing se empeñaron en investigar, muchas veces sin saber exactamente para qué, conceptos que sientan las bases de los modernos ordenadores. Con el que trabajas y con el que te leen.  Y no siempre fueron los matemáticos seres aburridos y sombríos. Paul Erdös te hubiera corrido a bastonazos al decir eso. Tampoco hubiera sido tan malo; quizás con eso tu número de Erdös hubiera crecido, no sé.

Ya enfilando el fin de esta réplica, como colofón, como te veo con ciertas hechuras propias de hombre de mundo, con cócteles, recepciones y premios literarios, en fin, que te imagino muy hecho a la vida social, me permito darte un consejo. Nunca te sorprendas si en esas fiestas alguien tiene la misma fecha de cumpleaños que tú. En serio. Si eres capaz, tu vete directo a los canapés. Por variar la dieta paleolítica.

En fin, que se me acaba el tiempo y el espacio. En estos medios digitales la gente lee muy rápido y hay que procurar no cansarles con rollos muy largos. Sabrás disculparme por el viajecito, que sé que ha sido un poco errático. Igual otro día con más detenimiento podemos recorrerlo más despacio. Yo trazo el itinerario, que para eso Euler inventó por hobby los grafos y de las provisiones te encargas tú. Casi 14.000 años que llevas recolectando bayas te tienen que haber dado una soltura magnífica en el asunto de las viandas.

Un cordial saludo etcétera…