Posibilidades en las listas de ejército de Warhammer

¡Muy buenas, amantes de las matemáticas!

Últimamente tengo muy dejado el vicio de los wargames, pero no por ello vamos a dejar aparcadas las suculentas posibilidades de plantear enunciados divertidos al respecto. Vamos a ello.

Por si alguien no lo sabe, en el juego de batallas más importante, el Warhammer, cada jugador lleva una lista que contiene unidades de tropas siguiendo una baremación oficial, de tal forma que es más caro poner un cañón en la mesa que, por ejemplo, una pobrecillo con una espada oxidada y sin armadura. Esta mecánica es bastante habitual en los juegos de este tipo.

Las posibilidades a la hora de hacer listas (si dejamos al margen el espinoso tema de las combinaciones más útiles y usadas, cosa ya del ámbito de la competición más que de las matemáticas) este sistema es muy muy interesante para introducir en este foro el asuntillo de las ecuaciones con más de una incógnita e infinitas soluciones enteras: las ecuaciones diofánticas.

warhammer

Así que al tema:

Supongamos que el tito Erosfer tiene mañana una batalla de Warhammer. Él ha planeado llevar una lista formada por alabarderos y por espadachines. Según el manual cada alabardero cuesta 6 puntos y cada espadachín 7 puntos. Asimismo se especifica que cada regimiento que forme ha de estar compuesto por un número de miniaturas superior a 5 (es decir, no vale llevar 3 alabarderos por ejemplo). 

Suponiendo que debe gastar 500 puntos para presentar dos regimientos, uno de cada tipo de soldados. ¿Qué posibilidades tiene?

¿Y si sabemos además que sólo dispone en su colección de miniaturas de un máximo de 45 alabarderos y 50 espadachines?

Que se os dé bien!!!

No es la primera vez que el juego éste sale por aquí. Recordad por ejemplo el análisis de las probabilidades de los dados que tuvimos en la entrada sobre la magia, o el cañón matadragones definitivo.

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Solución:

Es una ecuación diofántica. Denominando “x” al número de alabarderos y a “y” al número de espadachines, nos queda que:

6x+7y = 500

Ecuación que tiene infinitas soluciones enteras para x e y siempre y cuando se cumpla que:

MCD(6,7)=divisor de 500

Como MCD(6,7) = 1  y la unidad es divisor de cualquier número (incluido el 500), la ecuación tiene solución. Esto ya lo veremos en post siguientes. El tema de este tipo de ecuaciones lo trataremos más a fondo más adelante en el blog.

Lo primero es averiguar una solución cualquiera de la ecuación. A veces sale a ojo, otras hay que currárselo. Vamos a currárnoslo un poco. Por el algoritmo de Euclides, (dividendo=divisor por cociente más resto) podemos ver que:

7=6\cdot 1+1\rightarrow 6\cdot(-1)+7=1

Y multiplicando todo por 500 queda que:

7\cdot (-500)+6\cdot 500=500

Así que una solución es que x=-500 y la y=500.

No obstante cualquier solución vale en este punto. Buscad alguna que a ojo veáis que cumple la ecuación. Así a ojo, podría ser x=25 e y=50, por poner un ejemplo.

Ahora saquemos el resto.  Se puede aplicar el método típico de las soluciones de una ecuación diofántica lineal corriente y moliente (que insisto, ya desarrollaremos en otra entrada), pero en su lugar vamos a pensar cómo sacarlas. El método será éste: en cada solución, lo haremos quitando una cantidad a -500 tal que se le pueda añadir después a la solución de la y (el 500 positivo).

La idea es que ese -500 está multiplicado en la ecuación por 6, es decir, al restar 1 a 500 eliminas 6 unidades en la ecuación. No puedo compensar el quitar 6 unidades en la “y” porque el valor de 500 está multiplicado por 7. Veámoslo en detalle: por ejemplo, si quitas uno a la x=-500 (quedaría -501) has restado -6 a la ecuación (porque la “x” va multiplicada por 6, entonces “6x” va dando saltos de 6 en 6). No puedes compensar esa substracción en la y=500 porque ésta va multiplicada por 7 y por tanto al incrementarla en 1 (quedaría y=501) habrías añadido 7 (porque el “7y” va saltando de 7 en 7).

Se ve bien en ésta tabla:

Si a x le quito 1 quito 6 unidades  añadir 1 a la y añado 7 unidades no compensan.

Si a x le quito 2 quito 12 unidades al añadir 2 a la y añado 14 unidadesno compensan.

Si a x le quito 3 quito 18 unidades al añadir 3 a la y añado 21 unidadesno compensan.

Si a x le quito 4 quito 24 unidades al añadir 4 a la y añado 28 unidadesno compensan.

Si a x le quito 5 quito 30 unidades al añadir 5 a la y añado 35 unidadesno compensan.

Si a x le quito 6 quito 36 unidades al añadir 6 a la y añado 42 unidades no compensan.

Si a x le quito 7 quito 42 unidades al añadir 7 a la y añado 48 unidadesàno compensan.

Pero ¡alto!. ¿Qué ocurre si quito a la “x” un 7 y compenso añadiendo a la “y” un 6? Pues que estaré restando 42 por un lado y sumando 42 por otro. ¡Hombre! Entonces la ecuación no variará y por tanto 6x+7y seguirá sumando 500. Se cumplirá la ecuación.

Se puede ver:

6\cdot (-500-7)+7\cdot (500+6)=-3042+3542=500

Y esto se cumplirá cada vez que restemos a la solución de la “x” un número de veces el 6 y añadamos a la “y” ese mismo número de veces el 7. Por ejemplo, si le quitamos 5 veces el 7 y añadimos 5 veces el 6 nos queda que:

6\cdot (-500-7-7-7-7-7)+7\cdot (500+6+6+6+6+6)=500

Por lo que cómodamente podemos escribir que la solución es:

Nº de alabarderos: x = -500 – 7K

Nº de espadachines: y = 500 + 6K

Evidentemente hace falta calibrar qué soluciones valen en este contexto. K puede ser positivo o negativo (comprobadlo vosotros mismos pero entero). En nuestro problema no podemos sacar un número negativo de miniaturas en la mesa de juego, así que hay que buscar aquellas soluciones que nos dan una “x” y una “y” ambas positivas.

Es fácil ver que los valores válidos de K para obtener un número X de alabarderos positivo y un número Y de espadachines positivo son: K = -72,-73,-74,-75,-76,-77,-78,-79,-80,-81,-82 y -83.

Para estos valores obtenemos un abanico de soluciones de X e Y que son:

K

X

Y

-72

4

68

-73

11

62

-74

18

56

-75

25

50

-76

32

44

-77

39

38

-78

46

32

-79

53

26

-80

60

20

-81

67

14

-82

74

8

-83

81

2

Estas serían las posibilidades. Sin embargo, si tomamos la limitación de tener sólo 45 miniaturas de alabarderos y 50 espadachines en nuestra colección, estaremos restringidos a solamente tres opciones:

K

Alabarderos

Espadachines

-75

25

50

-76

32

44

-77

39

38

Es decir podremos presentar en la batalla una de estas tres opciones:

  • Una unidad de 25 alabarderos y otra de 50 espadachines.
  • Una unidad de 32 alabarderos y otra de 44 espadachines.
  • Una unidad de 39 alabarderos y otra de 38 espadachines.

Cual elegir ya es algo que depende de cómo juguéis, no de las matemáticas. Yo suelo incluir la tercera opción. Dos bloques con pegada relativa y consistentes. (eliminar dos unidades de 39 es dificilillo.)

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