los chapuzas y el bueno de Diofanto

Bueno, vamos para allá. Al lío. Supongamos que queremos explicar cómo resolver la ecuación:

chapuzas bonilla inicial

Buscando los x,y enteros que satisfacen ésta.

¿Lo qué? Bueno, vale… transformémoslo en un ejemplo. Supongamos que queremos embaldosar un suelo de área 154 y llamamos a dos chapuzas.

  • Chapuzas azul que coloca baldosas de tamaño 10
  • Chapuzas rojo que coloca baldosas de tamaño 6

Por separado se ve que la situación no es tan sencilla como parece….

chapuzas bonilla 1

chapuzas bonilla rojo

chapuzas bonilla azul

Ocurre que ambos chapuzas no pueden hacerlo sin tener que recurrir a usar trozos de sus baldosas, cosa que no queremos…. ¡son unos chapuzas! ¡Cualquiera les dejar colocando tercios o cuartos en vez de baldosas enteras!

Por tanto vamos a intentar que trabajen a la vez, de forma coordinada. Para ello, primero necesitamos que piensen no en baldosas de 10 y de 6, sino en baldosas de un número determinado, el mismo para los dos.

Ese número va a ser en este caso el número 2. Efectivamente, de esta forma el chapuzas rojo y el chapuzas azul van a empezar a pensar en sus baldosas de forma diferente.

  • El rojo va a empezar a ver sus baldosas de tamaño 6 como 3 de tamaño 2 juntas
  • El azul va a empezar a ver las suyas no como de tamaño 10 sino 5 de tamaño 2 juntas.

chapuzas bonilla juntos

Hemos elegido el valor 2 porque es el número más grande en que se pueden dividir el tamaño 10 y el tamaño 6 de manera exacta. Es por tanto nuestro viejo amigo de la secundaria…. El máximo común divisor.

¿Por qué lo hemos hecho así? Bueno, por dos buenas razones.

  • Podemos ver si es posible realizar la tarea poniendo a los dos chapuzas a trabajar de forma conjunta.
  • Y además sólo tendremos que pensar en divisiones del suelo de trozos de 2, no de 10 y de 6 a la vez. Es ahorro cooperativo.

Primero comprobemos que efectivamente se puede realizar la chapuza. Observa que el MCD de 10 y 6 es 2. Como nuestro suelo tiene un área de 154, que es múltiplo de ese número, sí que se puede encontrar una solución. ¡Nuestros chapuzas tienen trabajo por delante!

Si el área hubiera sido un número no múltiplo de 2, por ejemplo, 25, no hubiera sido posible hacer nada. Siempre hubiera sobrado un trocito de 1 de área, imposible de rellenar con baldosas hechas “juntando trozos de tamaño 2” como las de nuestros currelas.

chapuzas bonilla

En la figura vemos que en el primer dibujo sí que habrá solución. Lamentablemente en el segundo no será posible. Es imposible rellenar un hueco de tamaño 1 con baldosas hechas con retales de tamaño 2.

Bueno, visto esto, el siguiente paso es buscar una solución cualquiera que satisfaga la ecuación. Dicho de otra forma, hay que buscar  una combinación de baldosas rojas y azules que nos den 154 de área. Esto se puede sacar obviamente a ojímetro (por pura prueba) o aplicar un poco de lógica. La lógica de Euclides, la lógica de cómo repartir:

chapuzas bonilla 3

Entonces ya tenemos que una posible solución es x=-77 e y=154. Es decir, que el chapuzas rojo coloque 154 baldosas y el azul quite 77. (ése es el sentido de ese signo menos). Se ve en la figura:

CHAPUZAS BONILLA 2

Ésta es la forma elegante de obtener una solución de la ecuación. No sé, podríamos haberla sacado “por chiripa” e igualmente hubiera valido. Fijaos que también podría haber usado otras. Por ejemplo, que el chapuzas azul hubiera colocado 13 baldosas y el rojo hubiera colocado 4. En ese caso, hubiera quedado 10×13+6×4 = 154, también válido.

chapuzas bonilla 4

Si, bien, de acuerdo… esta es una de las soluciones. ¿Pero hay más? ¿cómo las saco? Nada más sencillo. Podemos pensar en que por ejemplo el chapuzas rojo podrá poner más baldosas de más. En ese caso el chapuzas azul tendrá que quitar más baldosas para que sólo queden las que han de quedar.  O bien podemos pensar que el rojo afine mejor y no coque tantas sobrantes. En ese caso el chapuzas azul habrá de retirar menos.

Para definir esto decimos que:

chapuzas bonilla 5

De esta forma estamos quitando un número de baldosas al rojo que representa un área que es rellenada por el chapuzas azul usando sus propias baldosas. Observa la expresión.  ¿no ves por qué esas fracciones? Quizás si lo escribimos en la ecuación…

chapuzas bonilla 6

Ahí está claro el por qué. Lo que añade el azul será al multiplicarse por 10 en la ecuación 60K/2, la misma cantidad que quita el rojo, que es por análoga razón -60K/2. Por tanto, podemos aplicar el viejo criterio matemático “las gallinas que entran por las que salen” o de otra forma, que el trabajo que evitamos a uno lo realiza el otro.

Alguien puede estar pensando: muy astutos, los chapuzas, pero esto también podría valer entonces…

chapuzas bonilla 7

Y efectivamente, tendría razón… aparentemente. Con esto se obtienen soluciones, si, pero menos que con la otra fórmula. La razón es que estás haciendo que el rojo quite baldosas de “10 en 10” y que el azul las añada de “6 en 6”. Por el contrario, en la expresión anterior habíamos dividido entre el mayor número común a los dos tamaños de baldosas, y garantizamos así que las quitas de rojo y los añadidos de azul son lo más finos posibles, ya que dividimos entre el mayor número que tienen 6 y 10 en común, en éste caso, 2. Así, no nos dejamos soluciones.

…si es que los chapuzas son la leche de finos…

Ésta es la visión intuitiva de la solución de las ecuaciones diofánticas lineales clásicas, cuya expresión es:

chapuzas bonilla 8

Anuncios

¿2+2=5?

Bueno, he de reconocer que posteo a trompicones. Ojalá fuera tan constante como Gaussianos u otras vacas sagradas (dicho con todo el respeto del mundo), pero qué le voy a hacer. El trabajo es el trabajo y esto es un hobby, bonito, divertido, pero…. un hobby. Lo lamento por los (pocos, pero selectos) seguidores del blog. ¡Qué le vamos a hacer!

Hoy traigo una curiosidad que he encontrado en Facebook, muy graciosa. Son muy comunes las deducciones de este tipo (la clásica es demostrar que 2 =1 pero hay más) y siempre pico por curiosidad a echarlas un ojo. Permiten localizar fallos que los alumnos pueden sopesar tener en cuenta…. normalmente el día del examen. Otras son, por contra, tremendamente ingeniosas.

En sí se trata de una demostración de que 2 + 2 son 5. Ea.

2+2=5

Como os podéis imaginar, tiene truco. Hay un paso que es erróneo. ¿sabéis cuál es? Pensadlo…..

En efecto, el fallo está en el paso en el que se eleva al cuadrado y para compensar se hace la raíz cuadrada. Este tipo de artificios suelen ser, con la división entre cero el talón de Aquiles de estas demostraciones. Recordad que una raíz tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa. Al elevar al cuadrado y luego hacer la raíz se introducen nuevas soluciones que no tienen nada que ver con la expresión inicial. Es algo similar a pasar de:

CodeCogsEqn

A ésto siguiente, elevando ambos términos al cuadrado. Al hacerlo, resolvemos otra ecuación, con dos soluciones. Una coincide con la de la ecuación anterior, pero, y esto es lo importante, la otra no.

CodeCogsEqn (1)

En este segundo ejemplo la solución de x=-3 es solución de la ecuación de segundo grado, pero no de la de primer grado original. En este ejemplo se ha hecho algo parecido, pero compensándolo con la raíz cuadrada, algo que ni de lejos funciona así, ya que la raíz tiene también sus dos propias soluciones, la positiva y la negativa. Lo vemos así:

CodeCogsEqn (2)

Si hacéis los cálculos con la solución positiva de 0.5 llegáis a que la expresión entera vale 5. Pero si tomáis la negativa, se llega a que vale 4. Evidentemente, la solución positiva la hemos metido con calzador al elevar y hacer la raíz y no es solución de la expresión original. Por tanto, queda demostrado que es una falacia.

Aún así, mola para poderte quedar con tus amigos un ratejo….