Pero… ¿Dónde llueve más? y esas cosas que dicen los hombres del tiempo…

¡Buenas a todos!

Hoy vamos a tratar un tema sencillo, de nivel E.S.O. pero a la vez muy interesante. La relativización de las medidas. Y lo vamos a hacer a través de un ejemplo muy sencillo, que todos hemos oído alguna vez en los pronósticos meteorológicos (o como dicen en mi casa, sencillamente, en “el tiempo”).  Me estoy refiriendo a la cantidad de precipitaciones y la unidad en que se miden habitualmente.

Fuente: La Vanguardia

Fuente: La Vanguardia

Para ello pongámonos en situación con esta pregunta: ¿Cómo puedo comparar cuánto llueve en Nueva York en un mes con lo que llueve en Madrid o lo que llueve en mi pueblo? Normalmente, acudir a los datos en bruto (es decir, averiguar cuántos litros han caído en cada una de las tres localidades) puede no ser una buena idea, ya que nos puede llevar a equívocos. Siguiendo con el ejemplo,  tirando de los datos que ofrece Wikipedia y tras unas cuantas cuentas, podemos encontrar que para un mes cualquiera, digamos Noviembre, las precipitaciones en Nueva York, Madrid, Santiago de Compostela y el pequeño pueblo de Navalmanzano (Segovia) son:

Nueva York

Madrid Santiago de Compostela Navalmanzano (Segovia)
133.540.000.000 litros 33.880.000.000 litros 44.000.000.000 litros 1.584.000.000 litros

¿Significa esto que las ciudades dónde más llueve son, por orden, éstas?

Nueva York, Santiago, Madrid, Navalmanzano

Rotundamente NO. Evidentemente, al tomar los datos en bruto estamos obviando un factor determinante: el tamaño de la ciudad. En Nueva York llueve mucho, vale, pero el valor obtenido es monstruoso comparado con el de Santiago (donde tampoco es que estén muy secos durante el año). Analizando los datos ¿Significa que en Nueva York llueve aproximadamente el doble de lo que llueve en la ciudad del botafumeiro? Pues deben pasarse la vida en canoa. Y comparando las otras dos ciudades… ¿significa que entre dos localidades separadas tan poco como un pueblo de Segovia y la capital madrileña hay una diferencia tan bestial de precipitaciones? ¿Es que las nubes emigran a la capital? ¿Se quedan atascadas en Guadarrama? ¿Se anclan al cielo (ya dicen que de Madrid….)? No. Sí. No sé. ¡Aighs, que agobio!

Pero tranquilos. Don’t panic! Tengamos en cuenta el tamaño de las ciudades.

Todos estamos de acuerdo con que NY es una gran ciudad. Enorme. Entonces no es descabellado pensar que si ha obtenido un número tan grande de litros es porque…. tiene mucho suelo donde puede llover. Por el contrario, el pueblo segoviano es bastante pequeñito, por lo que recoge poca agua… sencillamente porque ocupa poco.

¿Estamos de acuerdo? Visualicémoslo: imaginaos una tormenta, enorme. De esas que cubren hasta que la vista alcanza. Colocad un platito de postre y una paellera en el suelo, próximos. ¿Dónde caerá más agua? Todos estamos de acuerdo que en la paellera. Ahora bien; ¿Significa esto que llueve más en la paellera? La respuesta, como imagino que habréis pensado, es no. Sencillamente es más grande y ha recogido más agua que el platito de postre. Pero eso no significa que llueva más en una paellera.

Con las ciudades ocurre lo mismo.

Una vez llegamos a la conclusión de que los datos en bruto (absolutos que se suele decir) no nos valen para compararles con los de otras ciudades… ¿cómo podemos solventar esta dificultad y responder a la pregunta de dónde llueve más? Sencillo. Aquí es donde aparece la relativización de los datos. ¿Lo cualo (que dicen por ahí)? Relativización. Hacerlos relativos. Esto significa referenciarlos a algo, ponerlos dentro de un contexto, en el fondo ajustarlos siguiendo una regla que haga que sean comparables. Dejarán de ser datos absolutos (en bruto) y estarán referenciados a algo (dependerán de algo).

…y este concepto es algo que todos hemos oído alguna vez. ¿Quién no ha oído/leído/visto en la tele la expresión litros por metro cuadrado? Literalmente:

lluvia2

¿Qué significa esto? Bueno, los litros son los datos en bruto. Y los metros cuadrados son unidad de superficie. Es decir, que dividimos (repartimos) los litros que han caído en una localidad entre lo que ocupa esa localidad. Así averiguamos unos datos relativos, que no dependen del tamaño de cada ciudad porque son relativos o referentes a una misma superficie de 1 metro cuadrado.

Hemos sacado la cantidad de lluvia que cae en cada ciudad limitado, referenciado, relativo a un metro cuadrado de las mismas.

Obteniendo de Wikipedia las superficies de cada ciudad podemos decir que entonces:

Nueva York Madrid Santiago de Compostela Navalmanzano (Segovia)
Litros totales 133.540.000.000 litros 33.880.000.000 litros 44.000.000.000 litros 1.584.000.000 litros
superficie 1.214.000.000 m2 605.000.000 m2 220.000.000 m2 33.000.000 m2
Litros/m2 110 56 200 48

Esto nos da una visión totalmente diferente de cuánto llueve realmente en cada metro cuadrado de cada una de las ciudades. En un metro cuadrado de NY es previsible encontrar 110 litros, en uno de Madrid, 56, en uno de Santiago 200 litros y en Navalmanzano unos nada despreciables 48.

Entonces el orden de ciudades donde más llueve en Noviembre es:

Santiago, Nueva York, Madrid, Navalmanzano

Ahora sabemos que realmente llueve más en Santiago de Compostela que en Nueva York. Y además, hemos corregido errores de apreciación: fijaos que ahora la diferencia entre lo que llueve en Madrid y en el pueblo segoviano no es tan grande como los datos en bruto podían sugerir.

Este método de relativizar es muy útil y muy usual en la teoría de los errores; para comparar errores de diferentes magnitudes se suele usar el error relativo, única forma de responder a la pregunta inquietante de si es más grave equivocarse en 50 Kg al estimar el peso de un elefante o en medio gramos al estimar el peso de una mosca común. Con los datos en bruto, es peor la estimación del elefante. Pero eso no es verdad ya que hay que relativizarlo a los tamaños de los objetos medidos. No es lo mismo un elefante que una mosca.

Por último, y para acabar con el tema lluvia y litros por metro cuadrado, una puntualización. Este dato nos puede dar una idea de la altura que alcanzará el agua cuando llueva, ya que los litros son una unidad de volumen (base por altura si consideramos un cubo) y los metros cuadrados son unidades de superficie (la base de ese cubo). Así que los litros por metro cuadrado nos informan de qué altura alcanzará la lluvia caída en una superficie (evidentemente sin considerar filtraciones, evaporaciones, planos inclinados y demás cosillas). ¿En qué unidad? Es fácil si recordamos que un litro equivale a un decímetro cúbico. Entonces para por ejemplo los 200 litros por metro cuadrado de Santiago, equivale a una altura del agua en una calle plana de:

lluvia3

Lo pongo en milímetros porque así coinciden siempre los litros por metro cuadrado con el valor numérico de la altura. Y así es como se dan en los climogramas y demás tablas meteorológicas.

Tened en cuenta que este dato es lo que llueve en un mes. Por ello en la vida real no alcanzaría esa altura. Pero este dato puede darse durante una tromba repentina, un huracán, una gota fría o cualquier fenómeno similar. Y 200 mm de altura son 20 centímetros. Imaginaos que pasaría si en una tromba de 2 horas cayeran 200 litros por metro cuadrado cada hora.

La Teoría del TODO…se puede explicar con una conspiración

conspiracion

Como muchos sabéis, tengo una especie de ritual cada domingo que consiste en tragarme el programa Cuarto Milenio para pasarme las dos horas de show criticando muchos de los argumentos que se esgrimen en él. Bueno, podréis pensar que pa qué sufrir tanto, si no me lo creo y que si tal y que si cual. Que le hago el caldo gordo al maestro del misterio (así le llaman, no os riáis) nombrándole aquí y esas cosas. Tal vez tengáis razón. Pero qué queréis…. Masoca que es uno. (y más esta semana en la que un tal Enrique de Vicente, de profesión su revista Año Cero me ha llamado tonto útil a mí y a cualquiera que divulgue ciencia y racionalismo). Reconozco que eso me ha tocado la fibra.

El caso es que tengo una especial fijación por las tertulias que organiza Iker. Siempre defiendo que el programa es de una factura técnica envidiable, con recreaciones cuidadas y tal, y un ambiente muy logrado. Lo único que no trago, lo que me repatea, es que en cierta medida se quiera presentar como alternativa no ya a la ciencia oficial (según Iker, porque yo ni idea de lo que significa eso) sino a los conceptos más elementales de física, química, ingeniería o sentido común. Y como no, ahí entra la matemática. Asi que vamos a contestar. A apuntar algunas cosas.

NOTA: Al margen de lo risible que es sentar a personas cuya idea de estudiar un fenómeno es ir a ver qué pasa y volverse y ale ya está con auténticos científicos, hoy me voy a centrar en una postura muy frecuente en los debates. La teoría que lo explica todo, el Santo Grial de las certezas, la Religión de Enrique de Vicente… La Teoría de la Conspiración.

La base de este post es: NO SE PUEDEN USAR HECHOS A TORO PASADO ASÍ A LA LIGERA.

La Teoría de la Conspiración reza que cualquier hecho luctuoso, terrible, doloroso, impactante para la Historia y para la sociedad ha sido orquestado o consentido por un gobierno regional o mundial en la sombra o electo, sin que nos demos cuenta.

Toma ya. Y con pruebas y todo, yeah, les encanta enseñar documentos de los años anteriores al hecho en sí que prueban que el gobernante de turno sabía lo que iba a pasar. O casi.  Vayamos por partes, porque es, aunque no lo parezca, una falacia que se puede desmontar por pura lógica.

Desde los chemtrails al 11-S, cualquier hecho se puede explicar como una maniobra del gobierno secreto. Igual que los tratos con extraterrestres, las vacunas que alteran el comportamiento o el Yeti. Muy bien, elegid uno al azar  y pensemos:

  • Un ente poderoso (un gobierno) se gasta una cantidad de dinero alta en ocultar un hecho (el que sea). El gasto puede devenir en almacenaje, sobornos, espías, propaganda…
  • El hecho es de una relevancia extraordinaria, es decir, no hablamos de que un presidente tenga un amante o algo así. Hablamos de algo muy gordo, para entendernos.
  • Existe un reducido grupo de personas que no se lo cree y comienza a indagar y reúnen algunos documentos que prueban que el gobierno sabía que ocurriría el hecho en sí en fechas anteriores al mismo.
  • Esos personajes lo denuncian en Tv y sus explicaciones se convierten en leyenda urbana o se acaban creyendo.

CONSECUENCIA: El ente que intenta evitar el conocimiento es imbécil y un inútil. Porque por un módico precio puede eliminar al personaje que salta la liebre y aquí paz y después gloria. Es decir, si a mi alguien me dice que el gobierno de EEUU nos está intoxicando con las estelas de los aviones para probar armas secretas y dicho gobierno se ha gastado millones en evitar que se sepa… el mero hecho de que haya alguien tirando de la manta en un canal generalista en un programa de los más vistos y no pase nada… me huele a timo. Otra cosa sería que el soplón se pusiera un cartel de cartón anunciando el apocalipsis delante del Congreso.

PERO ESPERA…DIJISTE QUE APORTAN PRUEBAS ¿NO?

Siiiii….o casi. Veréis, lo que suelen esgrimir normalmente es un documento TOP-SECRET que indica que yo qué sé, que por ejemplo, en una reunión de seguridad del FBI en Agosto del 2001 se planteó un hipotético ataque con aviones contra Nueva York. Eso, indican, es síntoma de que se sabía que ocurriría. Bien. Mucha gente cree estas cosas, pero planteémoslo de esta otra forma, un poco más sutil:

  1. En una gran potencia con decenas de agencias de seguridad como EEUU se hacen decenas de reuniones de seguridad cada año.
  2. En esas reuniones se presentan múltiples alternativas de ataque, supuestos y demás contra la nación que no goza de muchos amigos que digamos.
  3. Normalmente muchas de estas opciones se descartan porque son consideradas poco realistas, demasiado osadas o simplemente, imposibles técnicamente.

Así que apliquemos la Navaja de Ockham: Si hay un papel del FBI fechado en Agosto que habla de ataques con aviones contra EEUU en Septiembre, ¿con qué opción te quedas?

  1. Un incomprendido agente preclaro y precognitivo vio lo que pasaría por poderes mágicos/información en sueños/los aliens/su abuela muerta/otros similares y sus jefes descartaron su informe. Mientras otros cientos de agentes se equivocaban en sus análisis de otro tipo de ataques o inexistencia de estos.
  2. El mismo agente pero sus jefes deliberadamente le cerraron la boca por órdenes de una conspiración secreta. Sus compañeros siguieron equivocándose. Nadie dice nada pero un periodista de una revista de OVNIS se entera y cuenta todo en prime time.
  3. El agente reúne información por cauces racionales y llega a un posible modelo de ataque, a la vez que sus cientos de compañeros llegan a otros igualmente hipotéticos. Sus jefes analizan y ponderando mal, deciden que no hay que preocuparse por algunos de éstos, en el que se incluye en suyo (por desgracia).

Y aclaro en la opción tercera que acertaron al descartar un ataque con barco bomba, o con globo bomba, o con misiles, o con armas bacteriológicas.

¿Veis la falacia? Obviando dar cierta información, el documento aparece como una hoja o informe único en su especie, que fue descartado sin que hubiera más opciones en la mesa. Así, el espectador piensa pues si había UNA amenaza y se obvió el protegerse de ella, es que algo huele mal, ¿no?” y ya tenemos a De Vicente encantado con su sagacidad y sus dotes de investigación.

Pero incluso si no existe tal papel, se las ingenian para que parezca que es por algo oscuro, En ese caso se cae en la llamada falacia del argumento ad ignorantiam. Cito a Wikipedia, que da un buen ejemplo:

  1. Wikileaks no ha demostrado nuestra teoría conspirativa sobre la verdadera autoría de los atentados del 11-S, 11-M y 7-J.
  2. Por tanto, Wikileaks forma parte de una campaña de desinformación orquestada por el gobierno estadounidense. Es una desclasificación controlada de documentos.

«Wikileaks forma parte de una campaña de desinformación orquestada por el gobierno estadounidense. Es una desclasificación controlada de documentos. Si de verdad fuese documentación importante, habría referencias sobre la verdadera autoría de los atentados del 11-S, 11-M y 7-J, y nos las hay. Por lo tanto, todo esto no es más que una maniobra de distracción».

Como he dicho en el título del post, con una teoría conspirativa como Dios manda es imposible que te queden cabos sueltos. Vale para un roto y para un descosido, es perfecta. Explica cualquier hecho que pueda aparecer.

Otra forma de verlo es que en el fondo esta postura es síntoma de manipulación de la probabilidad (o no saber usarla). Sigamos con el ejemplo del avión: Imaginemos que la probabilidad de que durante un ataque se usara un avión contra un edificio era de 0.1 (10%). Por poner. Es muy alta de hecho pero nos puede valer. Ello hace que nuestro amigo de las conspiraciones diga enseguida “¡un 10%! ¡Eso es mucho! ¡Tenían que haberlo visto venir! ¡Nos ocultan algo, porque no lo evitaron ADREDE!”

Ese razonamiento es falso, porque es a toro pasado (a posteriori), cuando ya sabemos que ha habido un ataque. Pero, planteémonos que la probabilidad de que atacaran NY era de un 1%. Entonces, la probabilidad de que hubieran atacado y que hubiera sido con aviones, habría sido mucho más pequeña, de 1/1000 es decir, de 0.1%. Si algunas otras amenazas hubieran tenido más “predisposición”, es normal que el documento del FBI relativo a los chicos del turbante diciendo “Alá Akbar y hasta luego Lucas” cayera en saco roto. O incluso que ni siquiera apareciera, dada su poca probabilidad de ocurrir.

Con esto no quiero demostrar que los gobiernos digan siempre la verdad. Sencillamente digo que pensar, razonar y analizar es arduo, es pesado, es difícil y muchas veces frustrante porque no siempre disponemos como ciudadanos de toda la información. Pero no hay que caer por ello en el camino fácil que se presenta en este programa donde semana tras semana hay un personaje (normalmente, siempre el mismo) emperrado en explicar (Y DEMOSTRAR, QUE ES LO GRACIOSO) que TODO, cualquier hecho, el que sea, se debe a una conspiración. Secreta,además añade….como si hubiera de otro tipo.

El Frinkaedro y otras curiosidades de los Simpsons

Los Simpson son, posiblemente, una de las fuentes de información más relevantes de finales del siglo XX y principios del XXI. Más de uno lo ha calificado como “la gran enciclopedia de nuestro tiempo” (bueno, sólo uno, en el trabajo realmente, pero es una muy buena frase).

¿Tienen los Simpson alguna influencia en las matemáticas? Sí, yo diría que sí. No hace mucho empecé a preguntar a mis alumnos de 3º ESO qué figuras geométricas tridimensionales conocían. Entonces aparecía la lista de cubo, pirámide, cono, tronco de cono y de pirámide, etcétera. Una colección hermosa a la que hay que añadir…. el Frinkaedro.

 

Para los que no sepan (si es que hay alguno), hay un capítulo en los Simpson donde Homer se esconde detrás de una estantería para no cenar con las odiosas hermanas de su mujer, y debido a esto acaba en un extraño mundo tridimensional plagado de referencias matemáticas. El caso es que en su ayuda aparece el reverendo Lovejoy, el doctor J. Hibbert y el excéntrico profesor Frink (el del logaritmo neperiano de los pepinillos) para tratar de sacarle. Como buen científico, el bueno de Frink sugiere que Homer se haya atrapado en un frinkaedro, una estructura ajena a su mundo.

pero…¿Qué es exactamente un frinkaedro?

 Frinkaedro es una figura que se obtiene  extendiendo un cuadrado mas allá de las dos dimensiones de su universo, a través de un hipótetico eje Z.

 

Vamos, que un frinkaedro es un hexaedro regular o cubo. Este tema ya se ha tratado mucho en foros y demás. La definición es calcada a la que da en la serie Frink, y la he copiado de la Frikipedia. Sin embargo…. ¿alguna vez habéis buscado en Wikipedia  el término Frinkaedro? Yo sí (en un alarde de afán investigador) y hemos obtenido ESTO:

frinkaedro 1

frinkaedro 2

 

Así que parece que sí, que los Simpson han llegado incluso al acervo popular de la matemática. ¡Quién sabe si dentro de 1.000 años se estudia con ese nombre y Frink aparece como un Pitágoras cualquiera, un matemático desconocido perdido en las brumas del tiempo!

 

Por último, indagad en foros y demás acerca de este capítulo, ya que está plagado de cosillas matemáticas y físicas aprovechando el hecho de disponer de 3 dimensiones para mostrar a Homer.

 

 

Una clave irracionalmente útil… o no.

Bueno, vamos allá.

Supongamos que un astuto encriptador decide crear un sistema de encriptación de clave privada (básicamente, los de toda la vida; a cada elemento o letra le haces una operación y lo transformas en otro). Para ello tiene un número irracional, llamado “a”.

encriptacion

El astuto encriptador decide  usar el siguiente mecanismo: dado un número “p” entero a encriptar, lo va a multiplicar por “a” y le va a restar su parte entera. Es decir:

  • p es el número en claro
  • ap-E(ap) será el número cifrado.

Suponemos que tenemos una potencia de cálculo tal que no nos preocuparemos de truncar operaciones ni nada (bastante irreal, de hecho este es el talón de Aquiles de estos sistemas…).

Se pide demostrar que este método es reversible, es decir, que a partir del texto cifrado podemos volver al claro.

Suerte!!!