El método de Descartes

Cómo le debía gustar la palabrita “método” a René Descartes, oigan….

Sigo con la oposición, centrándome estos días en la niña fea del temario. Aquellos que nadie se prepara nunca porque no gustan. ¿A nadie? No, qué va. A mí, de hecho, me encantan. Hablo de los temas de Historia de las Matemáticas.

Estos días estoy con la historia del cálculo diferencial e integral, es decir del Análisis desde que Euler los junta a ambos en una sola disciplina. Y me he topado con algún método curioso de esos que se usaron para hacer las cosas que hoy en día calculamos con derivadas o integrales.

Imaginaos que queréis calcular la ecuación de la tangente de una función en un punto. No de una función especialmente difícil ni rara. Un seno. Un logaritmo. Una función racional. Esas cosas.

Cualquier alumno avezado de bachillerato se irá corriendo a derivar la función y evaluarla en el punto de tangencia porque como todos sabemos, la pendiente de la tangente es realmente el valor de la derivada de la función en dicho punto. El resto es coser y cantar, sólo hay que completar la ecuación punto pendiente de la tangente con las coordenadas del punto y el valor de la pendiente (es decir, el de la derivada).

No obstante estas formas de actuar se las debemos a dos monstruos con mayúsculas de la ciencia. Leibniz y en menor medida, Newton. Ellos dos se rumiaron la idea de derivada e integral como entes relacionados (de acuerdo, incluiremos también a Barrow y a más gente) y alejaron definitivamente el análisis funcional del estrecho corsé de la Geometría, al que le habían sometido desde Arquímedes hasta Descartes, que es el prota de este post. (¿Os suena el Discurso del Método de clase de filosofía? Pues el tercer libro del Discurso se llama… Geometría. Deberían explicarlo en mates, ¡leñe!)

El caso es que antes de que Leibniz y Newton, Newton y Leibniz y sus sucesores  nos pusieran las herramientas actuales de trato con funciones en las manos, cada cual se creaba herramientas apropiadas para cada problema por separado. Uno de los problemas era el de calcular la tangente de una curva en un punto sin usar derivadas ya que… ¡bueno, no se conocían!. Y una de las soluciones es la de Descartes. He aquí:

Consideremos que queremos la tangente en P de una curva f(x). Tomemos una circunferencia auxiliar de centro (C,0) con C cualquiera y radio de C a P. Es de suponer que la circunferencia será secante a la función en dos puntos. Arrastremos el centro C hasta que logremos que la circunferencia sea tangente a la curva en P. Entonces, podemos trazar la tangente a la circunferencia en P (es sencillo, será perpendicular al radio CP) y a su vez será tangente a la curva en P.

 

Un original método que analíticamente consiste en considerar el sistema formado por la ecuación de la circunferencia y la propia función y forzar a que sólo tenga una solución, en P. Con eso ya se tiene la coordenada exacta de C y el radio. Y con el vector del radio, sacar el perpendicular (el de la recta tangente) es inmediato. ¡Y sin derivar!

Os dejo en Geogebra un applet con el que podéis practicar sintiéndoos como Descartes. Analíticamente el método no es  cómodo ni mucho menos (depende de la dificultad a la hora de forzar una solución única en el sistema) pero es muy curioso y muy ingenioso. Como siempre, pinchad o en la imagen o aquí:

metodo de descartes 1

Veamos analíticamente cómo funciona. Por ejemplo, hallar la tangente de:

metodo de descartes 2

en el punto P(2,2).

Se trata de solucionar el sistema formado por la circunferencia de centro C(C,0) y radio CP y la propia función, forzando que la solución sea únicamente en x=2 (coordenada de P).

Es decir:

metodo de descartes 3

El centro es C(3,0), el radio es el vector PC(1,-2), luego la pendiente de la recta del radio PC es  -2. Entonces la perpendicular tendrá pendiente 1/2 y pasará por P(2,2), luego será la recta       y-2=0.5(x-2), o lo que es lo mismo

Tangente es: Y=0.5X+1

 

Esas indeterminadas que no lo son….

Es muy, muy, pero que muy corriente (la última, esta misma tarde con un buen alumno de 2º de bachillerato) que el concepto de indeterminada se pierda en el proceloso mar del cálculo de límites y que se tienda a complicarse uno la vida por culpa de métodos aprendidos rápido y mal. Para entendernos, que muchas veces se aplica la regla que sea a huevo sin pensar más, vamos.

Consideremos este límite puesto por una profesora de mi lugar de residencia y que sin duda se ha querido echar unas risas a costa de los que estudian tarde, rápido y mal (o para localizar posibles malos aprendizajes, que también puede ser, oye…)

limite1

Contempladlo, amadlo, temedlo….

E intentad resolverlo. Es muy simple: la raíz primera tiende a infinito y la segunda también. Por tanto es un límite cuyo resultado es infinito más infinito, que da como resultado…. Pues evidentemente, infinito. Si sumas dos cantidades grandes de cosas, el resultado es otra cantidad grande. De cajón de madera de pino.

¿Qué a qué viene esto? Pues a que mi alumno lo ha intentado resolver como le sonaba de haberlo hecho en clase. Literalmente, ha multiplicado y dividido por el conjugado, quedándole:

limite2

Que es a su vez un límite mucho más feo y complicado, y con una pesadilla de indeterminada porque dependiendo de qué pase con el denominador tendremos una posible indeterminada u otra en la expresión. Si, se puede sacar a “ojímetro”, razonando que el minuendo del denominador tiende más rápido que el sustraendo (por el grado de X, más que nada) y que por tanto el límite global es infinito entre infinito; y que como el grado del numerador es mayor que el del denominador, el resultado global es infinito.

Sí, se puede hacer. Pero no por ello hay que obviar el hecho de que el fallo está en que se aprende con demasiado énfasis la mecánica en la resolución de límites. Que si L´Hopital (que en este límite tiene pinta de cómo que no, gracias…), que si equivalentes, que si métodos propios… pero en el fondo olvidan (olvidamos) siempre remarcar una sencilla regla.

EVALÚA EL LÍMITE SIEMPRE. Si no hay indeterminada, ya está hecho.

Si mi alumno se hubiera dado cuenta de que este límite NO es el clásico de radical MENOS radical, hubiera tardado cinco segundos en sacar la solución.

Subyace (creo) un problema que es que el alumno medio no comprende bien qué es una indeterminada. Una indeterminada es, coloquialmente, una expresión matemática que al evaluarla a ojo puede darnos dos soluciones diferentes y aparentemente lógicas. Esta no es una definición formal (de hecho, es una definición horrorosa) pero me vale para lo que quiero exponer en este post. En nuestro caso, no había indeterminada porque evidentemente:

∞+∞=∞

Pero si tenemos:

∞-∞=¿?

La cosa cambia porque al restar infinito menos infinito puede ocurrir que gane el minuendo, en cuyo caso el resultado es infinito, que gane el sustraendo, con lo que el resultado es menos infinito o que empaten, y quede la resta estancada en un valor numérico. Cuando digo ganar me refiero a que tienda más rápido a infinito que el otro infinito, y cuando digo empatar, es que tienden con el mismo ritmo.

Es fácil compararlo con una bañera que tiene un grifo que arroja infinita agua y un desagüe que deja salir infinita agua. ¿Cómo queda la bañera? Pues esto es una indeterminada. Con lógica podemos suponer que llena, porque entra infinita agua en ella, o vacía porque sale infinita agua en ella. También puede ocurrir que se compensen ambos y que la bañera siempre tenga una cantidad constante de agua. No podemos determinar fácilmente cuál de los tres razonamientos es el correcto así, a simple vista. Por ello decimos que no está determinado, que es lo que significa indeterminada.

El método de mi alumno hubiera sido acertado si el límite hubiera sido el clásico que siempre se pone en clase:

limite3

Que da infinito menos infinito. Y un método para romper esa situación de indeterminada es multiplicar y dividir por el conjugado, en este caso sí.

Así que ya sabéis. Cuidado con aplicar a lo loco los métodos de resolución de indeterminadas… sobre todo cercioraros primero de que tal indeterminación existe. Si no, pues….¿Pá qué?