Esas indeterminadas que no lo son….

Es muy, muy, pero que muy corriente (la última, esta misma tarde con un buen alumno de 2º de bachillerato) que el concepto de indeterminada se pierda en el proceloso mar del cálculo de límites y que se tienda a complicarse uno la vida por culpa de métodos aprendidos rápido y mal. Para entendernos, que muchas veces se aplica la regla que sea a huevo sin pensar más, vamos.

Consideremos este límite puesto por una profesora de mi lugar de residencia y que sin duda se ha querido echar unas risas a costa de los que estudian tarde, rápido y mal (o para localizar posibles malos aprendizajes, que también puede ser, oye…)

limite1

Contempladlo, amadlo, temedlo….

E intentad resolverlo. Es muy simple: la raíz primera tiende a infinito y la segunda también. Por tanto es un límite cuyo resultado es infinito más infinito, que da como resultado…. Pues evidentemente, infinito. Si sumas dos cantidades grandes de cosas, el resultado es otra cantidad grande. De cajón de madera de pino.

¿Qué a qué viene esto? Pues a que mi alumno lo ha intentado resolver como le sonaba de haberlo hecho en clase. Literalmente, ha multiplicado y dividido por el conjugado, quedándole:

limite2

Que es a su vez un límite mucho más feo y complicado, y con una pesadilla de indeterminada porque dependiendo de qué pase con el denominador tendremos una posible indeterminada u otra en la expresión. Si, se puede sacar a “ojímetro”, razonando que el minuendo del denominador tiende más rápido que el sustraendo (por el grado de X, más que nada) y que por tanto el límite global es infinito entre infinito; y que como el grado del numerador es mayor que el del denominador, el resultado global es infinito.

Sí, se puede hacer. Pero no por ello hay que obviar el hecho de que el fallo está en que se aprende con demasiado énfasis la mecánica en la resolución de límites. Que si L´Hopital (que en este límite tiene pinta de cómo que no, gracias…), que si equivalentes, que si métodos propios… pero en el fondo olvidan (olvidamos) siempre remarcar una sencilla regla.

EVALÚA EL LÍMITE SIEMPRE. Si no hay indeterminada, ya está hecho.

Si mi alumno se hubiera dado cuenta de que este límite NO es el clásico de radical MENOS radical, hubiera tardado cinco segundos en sacar la solución.

Subyace (creo) un problema que es que el alumno medio no comprende bien qué es una indeterminada. Una indeterminada es, coloquialmente, una expresión matemática que al evaluarla a ojo puede darnos dos soluciones diferentes y aparentemente lógicas. Esta no es una definición formal (de hecho, es una definición horrorosa) pero me vale para lo que quiero exponer en este post. En nuestro caso, no había indeterminada porque evidentemente:

∞+∞=∞

Pero si tenemos:

∞-∞=¿?

La cosa cambia porque al restar infinito menos infinito puede ocurrir que gane el minuendo, en cuyo caso el resultado es infinito, que gane el sustraendo, con lo que el resultado es menos infinito o que empaten, y quede la resta estancada en un valor numérico. Cuando digo ganar me refiero a que tienda más rápido a infinito que el otro infinito, y cuando digo empatar, es que tienden con el mismo ritmo.

Es fácil compararlo con una bañera que tiene un grifo que arroja infinita agua y un desagüe que deja salir infinita agua. ¿Cómo queda la bañera? Pues esto es una indeterminada. Con lógica podemos suponer que llena, porque entra infinita agua en ella, o vacía porque sale infinita agua en ella. También puede ocurrir que se compensen ambos y que la bañera siempre tenga una cantidad constante de agua. No podemos determinar fácilmente cuál de los tres razonamientos es el correcto así, a simple vista. Por ello decimos que no está determinado, que es lo que significa indeterminada.

El método de mi alumno hubiera sido acertado si el límite hubiera sido el clásico que siempre se pone en clase:

limite3

Que da infinito menos infinito. Y un método para romper esa situación de indeterminada es multiplicar y dividir por el conjugado, en este caso sí.

Así que ya sabéis. Cuidado con aplicar a lo loco los métodos de resolución de indeterminadas… sobre todo cercioraros primero de que tal indeterminación existe. Si no, pues….¿Pá qué?

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