21%…. ¡y unas narices!

Estos días han estado promocionándose (por lo menos en Valladolid) campañas tipo “Día Sin IVA”. Últimamente se juega mucho con este concepto en publicidad. Recordemos, por ejemplo, la campaña de “Yo No Soy Tonto” de cierta compañía dedicada a vender productos electrónicos, que es muy, muy asidua a este tipo de campañas de cuando en cuando. Esta vez ha sido El Corte Inglés, pero vamos, que tanto da unos que otros.

¿Por qué? Pues porque hay truco. Oh, sí. Si no, no sería verdadera publicidad. Y si hay algo cierto en este mundo es que nadie da duros a pesetas.

¿De qué estoy hablando? Pues en seguida lo podréis ver bien claro. Seguidme la corriente.

Pensemos esta sencilla cadena de razonamientos: El IVA en España es, considerando el tipo general (el frecuente en productos que no sean de primera necesidad), del 21%. En consecuencia un producto se ve encarecido en ese porcentaje al aplicarle dicho impuesto. Por tanto, si deseamos abaratar ese producto eliminando ese sobrecoste, basta rebajarlo un 21% de su precio final.

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Si os habéis llevado las manos a la cabeza leyendo esto, enhorabuena. No sufrís de anumerismo. Si por el contrario os ha parecido de lo más razonable, deberíais prestar un pelín de atención a lo que viene a continuación. En serio. Que no te tomen por tonto, como dicen en la cadena esa de electrónica.

Cuando se aplica el IVA, se aplica a un precio pre-IVA. Es decir, el 21% es el 21% de ese precio ANTERIOR al añadido del impuesto. Esto que parece (es) una perogrullada, es el truco en el que se intenta hacer caer al consumidor. Porque, de la misma forma, el ahorro del 21% debería ser el 21% del precio CON IVA. Es decir, un 21% de una cantidad SUPERIOR.

Es decir, en consecuencia, si subes un producto un 21% y luego lo rebajas un 21%…te queda más barato de lo que estaba inicialmente, porque el segundo 21% es más grande que el primero, en valor nominal.

¿No está claro? Suena raro, pero es fácil (y una de las cosas con las que más me río con los de 1º y 2º de la ESO). Quizás con un esquema:

MARKT0

¿Aún no está claro? Veámoslo en profundidad. Al incrementar el precio se le añade el 21%, pero el 21% del precio inicial (el círculo azul). Sin embargo, al rebajarlo, se aplica un 21% de lo que se tiene en el momento de aplicar dicha rebaja, que es el circulo verde. Evidentemente, el 21% de una cosa es mayor que el 21% de una cosa más pequeña (el 21% de un elefante es mucho más que el 21% de una hormiga) ya que un porcentaje es como su nombre indica, el número de trozos que cogemos de algo cuando hemos dividido ese algo en 100 pedazos.

Por tanto lo hemos incrementado el 21% de lo azul (pequeño) y lo hemos rebajado el 21% de lo verde (algo más grande). En consecuencia, el círculo final (el rojo) es diferente al inicial (azul). Vamos, que no coinciden. Es una prueba de que un porcentaje NO se compensa (o se anula) con otro idéntico.

Bueno, y ¿Esto qué tiene que ver con los anuncios del día sin IVA? Pues muy simple. Las empresas no son idiotas (ni tontas) así que saben perfectamente lo que estamos aquí contando. Por eso, en las promociones en las que descuentan el IVA realmente NO te descuentan un 21% del producto, que sería el IVA y algo más, sino un porcentaje menor que corresponde con el 21% de Impuesto al Valor Añadido. Es decir, descuentan al círculo verde un porcentaje que haga que el rojo sea igual que el azul. Y ese porcentaje es más pequeño del 21%, estando en torno al 17,4%.

¿De donde sale ese 17.4%? Muy simple: Al aplicar el IVA a un producto que cuesta X euros, pasa a costar 1.21X euros. Luego para que vuelva a ser otra vez X habrá que multiplicar a 1.21X por la inversa de 1.21, que es 1/1.21 ( y así cancelar ambos números y que sobreviva la X). Pero 1/1.21 es 0.8264, que corresponde a un porcentaje de 82.64%. Es decir, hay que pagar sólo el 82.64% del producto para compensar esa subida del 21% anterior. Y he aquí por último que si he de pagar el 82.64%….¡¡ es que me rebajan un 100%-82.64% = 17.36%!!

Lo curioso es que realmente las compañías no mienten en los anuncios. Sencillamente dejan que el cliente establezca una relación errónea entre descuento ofertado y 21%. Pero en ningún momento dicen “ahorro del 21% del PVP” (Precio de Venta al Público). Al loro con estas imágenes:

markt1

Que dice realmente que te van a rebajar el 21%…. correspondiente al IVA. No aclaran en el mismo tamaño de letra el 21% de qué. Si del precio inicial antes del impuesto o al PVP. Muy astutos.

Porque son astutos, no tontos. Si nos fijamos en la letra pequeña del anuncio pone “claramente”:

markt2

Literalmente:

“Descuento equivalente al importe del IVA aplicable a cada producto. Todos los productos incluyen IVA (…). Ejemplo para un producto de 500 € el IVA aplicable a cada producto será de 86.78 €”

Fijaos que el 21% de 500 € NO es 86.78 €, sino 105 €. La cantidad a descontar es el 17.356% de 500 €.

El precio que tenía el producto antes de impuestos era de 500 – 86.78 = 413.22 €, cuyo 21% es, ahora sí, los 86.78 € (redondeando al céntimo de euro).

Asi que lo dicho. Que no os tomen por tontos. No mienten, pero dejan que nos creamos una mentirijilla. Dejan que relacionemos IVA = 21% con SIN IVA = -21%. Cosa que acabamos de ver, no es cierta.

¿El Último Teorema de Fermat solucionado por Homer Simpson?

Buenas y casi, casi, feliz año nuevo.

Resulta que estas navidades me han regalado un librito que condensa mi amor a las matemáticas con mi amor al frikismo en estado puro. En concreto, a un frikismo muy particular. Me refiero a Los Simpson, esa gran enciclopedia social del siglo XX (y XXI).

En concreto me ha regalado una joya titulada “Los Simpson y las Matemáticas” de Simon Singh. Apenas he comenzado un par de capítulos y ya puedo decir que mi anterior entrada relacionada con el Frinkaedro era sencillamente rascar en la capa de enjundia que tiene la temática en sí. Esta entrada es un homenaje al libro y una gamberrada con todas las de la ley. Asi que antes de nada, por favor, si no conocéis el teorema más famoso de Fermat, pinchad aquí antes de seguir. Gracias.

¿Qué tiene que ver Homer con dicho teorema? Pues que es una de las múltiples referencias matemáticas que plagan la serie, y encima en capítulos míticos, aquellos que tipejos como yo nos sabemos prácticamente de memoria, y no esos nuevos tan raros que han abandonado el espíritu original de la serie y perdido parte de su mordiente. Pero me estoy desviando, sin duda. Centremos el tema y el capítulo.

Según “Los Simpson y las Matemáticas”, en el capítulo en el que Homer intenta emular a Edison, en la pizarra que Homer escribe al intentar inventar algo, escribe esto:

homer y fermat

Centrémonos en esta expresión:

fermat 1

Muchos diréis: ¿y qué? Pues una igualdad como cualquier otra. Vale. Coged una calculadora. Haced la prueba. A ver qué os da.

A mí me da en mi vieja Casio: 6.397665635 exp 43 al hacer la suma de potencias y lo mismo al introducir el término de la derecha. O sea que coinciden. O si lo preferís haced la raíz doceava de la suma de la izquierda. Os dará irremisiblemente el 4472.

Posiblemente estéis pensando: “Pues vaya rollo las mates. Hemos hecho una cuenta”. Y de un número monstruoso, por cierto.

Y tendríais razón….. si no fuera porque….

…..Si no fuera porque Fermat enunció en el siglo XVII que no existen valores enteros para x,y,z que verifiquen para un n entero mayor que 2 la expresión:

fermat 2

Dicho a lo bruto, para que nos entendamos. ¿Recordáis el Teorema de Pitágoras? Bueno, pues si cambiamos el exponente de 2 de ese teorema a cualquier otro número natural mayor, no hay solución posible con enteros. Lo asombroso es que esto que parece tan trivial y tontorrón tardó más de 3 siglos en demostrarse. Concretamente lo demostró Andrew Wiles en 1995.

Pero volvamos a la pizarra de Homer… Hay algo que no cuadra entonces. ¿Han encontrado los guionistas de Los Simpson un contraejemplo que determina que Fermat se equivocaba? ¿Es el Teorema una patraña? ¿Está Homer en lo cierto?Parece que sí, pero…. En el fondo es que la calculadora nos engaña.

La expresión que Homer ha escrito no es verdad. Ambos términos no son iguales. Son sólo parecidos. Tan parecidos, que la calculadora no puede mostrar en su pequeña pantalla la diferencia entre ambos números y nos parecen iguales. El resultado que nos ha mostrado es 6.397665635 exp 43, que significa 6397665635 y 34 ceros detrás. Un número MUY grande. El otro término aparentemente sale igual, pero lo que ocurre es que en alguna cifra de las 34 que no caben en la pantalla ambos resultados difieren. Es como si tu calculadora trabajara mostrándote sólo a partir de la cifra de los millones. Entonces en esa calculadora la operación tres millones más noventa mil te daría lo mismo que tres millones más novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve.

Lo correcto sería que Homer hubiera escrito:

fermat 3

 Ya que sí, efectivamente, ambos términos son tremendamente parecidos. De hecho si lo hacemos con un ordenador y tomamos un número considerable de cifras significativas, se descubre el pastel: concretamente podéis comprobar que:

fermat 4

O sea, parecido…pero no igual. No exacto.  El honor de Fermat sigue intacto.

Es fácil aproximar soluciones al Teorema de Fermat con ayuda de un ordenador y paciencia. Yo por mi parte lo he hecho con un script de Geogebra trabajando con unas 15 cifras decimales y aunque no he apurado tanto (he usado una cota de error de 0.001 o similar en la mayor parte de los casos, para no tardar tanto), he obtenido también una serie de soluciones “casi casi” (que evidentemente NO son soluciones, puesto que NO son exactas). Por ejemplo:

X Y Z aproximada Z exacta N
2845 3478 3503 3502.9999 12
16281 18211 18566 18566.0092 12
4047 5475 5487 5486.9936 12
3134 2975 3248 3248.0058 12
1533 1122 1543 1542.999993 9
2774 4310 4319 4319.0005 9
3124 4403 4492 4492.000039 6
2176 1356 2339 2339.0091 3
1155 703 1236 1235.9990 3

Que si comprobáis con la calculadora comparando ambos términos del Teorema de Fermat son muy muy malas aproximaciones, ya que en la pantalla se llega a apreciar que dan resultados ligeramente diferentes. La solución de Homer no es tal (es imposible que lo sea) pero sí que es una muy muy muy muy buena aproximación. Mucho mejor que cualquiera de estas mías. De hecho, yo he obtenido las mías en pocos minutos de simulación, pero cuando he querido bajar la cota de error por debajo de las diezmilésimas, no ha habido forma en media hora de que el PC encontrara alguna en el rango entre 3 y 10000 para las bases y fijando el 6 (por ejemplo) como exponente. Imagino que el ordenador redondea y pierdo la posibilidad de apurar tanto como los guionistas de Los Simpson. Por tanto me he conformado con algunas peores que las de Homer. (También he evitado hacer trampa, descartando soluciones como 9990 elevado a la doce más 2 elevado a la doce, que evidentemente es una cuasi solución ya que ambos números son muy dispares entre sí. He buscado soluciones parecidas a las de la pizarra del capítulo.)

Evidentemente la gracia de los guionistas estaba en sacar una expresión que pudiera traer de cabeza a aquellos que la comprobaran con la calculadora sin tener en cuenta el grado de precisión de la misma. Que no es poco.

El resto de la pizarra tiene curiosidades referentes a la densidad del universo y la necesidad de que en base a ésta el Universo explosione o implosione (lo que lleva a sendas explosiones en el hogar de los Simpson y a que Homer cambie el > por un <, pero eso ya es otra historia. Otra historia que por cierto viene en el magnífico libro del que os hablaba al principio del post y que sinceramente, os recomiendo.

los chapuzas y el bueno de Diofanto

Bueno, vamos para allá. Al lío. Supongamos que queremos explicar cómo resolver la ecuación:

chapuzas bonilla inicial

Buscando los x,y enteros que satisfacen ésta.

¿Lo qué? Bueno, vale… transformémoslo en un ejemplo. Supongamos que queremos embaldosar un suelo de área 154 y llamamos a dos chapuzas.

  • Chapuzas azul que coloca baldosas de tamaño 10
  • Chapuzas rojo que coloca baldosas de tamaño 6

Por separado se ve que la situación no es tan sencilla como parece….

chapuzas bonilla 1

chapuzas bonilla rojo

chapuzas bonilla azul

Ocurre que ambos chapuzas no pueden hacerlo sin tener que recurrir a usar trozos de sus baldosas, cosa que no queremos…. ¡son unos chapuzas! ¡Cualquiera les dejar colocando tercios o cuartos en vez de baldosas enteras!

Por tanto vamos a intentar que trabajen a la vez, de forma coordinada. Para ello, primero necesitamos que piensen no en baldosas de 10 y de 6, sino en baldosas de un número determinado, el mismo para los dos.

Ese número va a ser en este caso el número 2. Efectivamente, de esta forma el chapuzas rojo y el chapuzas azul van a empezar a pensar en sus baldosas de forma diferente.

  • El rojo va a empezar a ver sus baldosas de tamaño 6 como 3 de tamaño 2 juntas
  • El azul va a empezar a ver las suyas no como de tamaño 10 sino 5 de tamaño 2 juntas.

chapuzas bonilla juntos

Hemos elegido el valor 2 porque es el número más grande en que se pueden dividir el tamaño 10 y el tamaño 6 de manera exacta. Es por tanto nuestro viejo amigo de la secundaria…. El máximo común divisor.

¿Por qué lo hemos hecho así? Bueno, por dos buenas razones.

  • Podemos ver si es posible realizar la tarea poniendo a los dos chapuzas a trabajar de forma conjunta.
  • Y además sólo tendremos que pensar en divisiones del suelo de trozos de 2, no de 10 y de 6 a la vez. Es ahorro cooperativo.

Primero comprobemos que efectivamente se puede realizar la chapuza. Observa que el MCD de 10 y 6 es 2. Como nuestro suelo tiene un área de 154, que es múltiplo de ese número, sí que se puede encontrar una solución. ¡Nuestros chapuzas tienen trabajo por delante!

Si el área hubiera sido un número no múltiplo de 2, por ejemplo, 25, no hubiera sido posible hacer nada. Siempre hubiera sobrado un trocito de 1 de área, imposible de rellenar con baldosas hechas “juntando trozos de tamaño 2” como las de nuestros currelas.

chapuzas bonilla

En la figura vemos que en el primer dibujo sí que habrá solución. Lamentablemente en el segundo no será posible. Es imposible rellenar un hueco de tamaño 1 con baldosas hechas con retales de tamaño 2.

Bueno, visto esto, el siguiente paso es buscar una solución cualquiera que satisfaga la ecuación. Dicho de otra forma, hay que buscar  una combinación de baldosas rojas y azules que nos den 154 de área. Esto se puede sacar obviamente a ojímetro (por pura prueba) o aplicar un poco de lógica. La lógica de Euclides, la lógica de cómo repartir:

chapuzas bonilla 3

Entonces ya tenemos que una posible solución es x=-77 e y=154. Es decir, que el chapuzas rojo coloque 154 baldosas y el azul quite 77. (ése es el sentido de ese signo menos). Se ve en la figura:

CHAPUZAS BONILLA 2

Ésta es la forma elegante de obtener una solución de la ecuación. No sé, podríamos haberla sacado “por chiripa” e igualmente hubiera valido. Fijaos que también podría haber usado otras. Por ejemplo, que el chapuzas azul hubiera colocado 13 baldosas y el rojo hubiera colocado 4. En ese caso, hubiera quedado 10×13+6×4 = 154, también válido.

chapuzas bonilla 4

Si, bien, de acuerdo… esta es una de las soluciones. ¿Pero hay más? ¿cómo las saco? Nada más sencillo. Podemos pensar en que por ejemplo el chapuzas rojo podrá poner más baldosas de más. En ese caso el chapuzas azul tendrá que quitar más baldosas para que sólo queden las que han de quedar.  O bien podemos pensar que el rojo afine mejor y no coque tantas sobrantes. En ese caso el chapuzas azul habrá de retirar menos.

Para definir esto decimos que:

chapuzas bonilla 5

De esta forma estamos quitando un número de baldosas al rojo que representa un área que es rellenada por el chapuzas azul usando sus propias baldosas. Observa la expresión.  ¿no ves por qué esas fracciones? Quizás si lo escribimos en la ecuación…

chapuzas bonilla 6

Ahí está claro el por qué. Lo que añade el azul será al multiplicarse por 10 en la ecuación 60K/2, la misma cantidad que quita el rojo, que es por análoga razón -60K/2. Por tanto, podemos aplicar el viejo criterio matemático “las gallinas que entran por las que salen” o de otra forma, que el trabajo que evitamos a uno lo realiza el otro.

Alguien puede estar pensando: muy astutos, los chapuzas, pero esto también podría valer entonces…

chapuzas bonilla 7

Y efectivamente, tendría razón… aparentemente. Con esto se obtienen soluciones, si, pero menos que con la otra fórmula. La razón es que estás haciendo que el rojo quite baldosas de “10 en 10” y que el azul las añada de “6 en 6”. Por el contrario, en la expresión anterior habíamos dividido entre el mayor número común a los dos tamaños de baldosas, y garantizamos así que las quitas de rojo y los añadidos de azul son lo más finos posibles, ya que dividimos entre el mayor número que tienen 6 y 10 en común, en éste caso, 2. Así, no nos dejamos soluciones.

…si es que los chapuzas son la leche de finos…

Ésta es la visión intuitiva de la solución de las ecuaciones diofánticas lineales clásicas, cuya expresión es:

chapuzas bonilla 8

¿2+2=5?

Bueno, he de reconocer que posteo a trompicones. Ojalá fuera tan constante como Gaussianos u otras vacas sagradas (dicho con todo el respeto del mundo), pero qué le voy a hacer. El trabajo es el trabajo y esto es un hobby, bonito, divertido, pero…. un hobby. Lo lamento por los (pocos, pero selectos) seguidores del blog. ¡Qué le vamos a hacer!

Hoy traigo una curiosidad que he encontrado en Facebook, muy graciosa. Son muy comunes las deducciones de este tipo (la clásica es demostrar que 2 =1 pero hay más) y siempre pico por curiosidad a echarlas un ojo. Permiten localizar fallos que los alumnos pueden sopesar tener en cuenta…. normalmente el día del examen. Otras son, por contra, tremendamente ingeniosas.

En sí se trata de una demostración de que 2 + 2 son 5. Ea.

2+2=5

Como os podéis imaginar, tiene truco. Hay un paso que es erróneo. ¿sabéis cuál es? Pensadlo…..

En efecto, el fallo está en el paso en el que se eleva al cuadrado y para compensar se hace la raíz cuadrada. Este tipo de artificios suelen ser, con la división entre cero el talón de Aquiles de estas demostraciones. Recordad que una raíz tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa. Al elevar al cuadrado y luego hacer la raíz se introducen nuevas soluciones que no tienen nada que ver con la expresión inicial. Es algo similar a pasar de:

CodeCogsEqn

A ésto siguiente, elevando ambos términos al cuadrado. Al hacerlo, resolvemos otra ecuación, con dos soluciones. Una coincide con la de la ecuación anterior, pero, y esto es lo importante, la otra no.

CodeCogsEqn (1)

En este segundo ejemplo la solución de x=-3 es solución de la ecuación de segundo grado, pero no de la de primer grado original. En este ejemplo se ha hecho algo parecido, pero compensándolo con la raíz cuadrada, algo que ni de lejos funciona así, ya que la raíz tiene también sus dos propias soluciones, la positiva y la negativa. Lo vemos así:

CodeCogsEqn (2)

Si hacéis los cálculos con la solución positiva de 0.5 llegáis a que la expresión entera vale 5. Pero si tomáis la negativa, se llega a que vale 4. Evidentemente, la solución positiva la hemos metido con calzador al elevar y hacer la raíz y no es solución de la expresión original. Por tanto, queda demostrado que es una falacia.

Aún así, mola para poderte quedar con tus amigos un ratejo….

Posibilidades en las listas de ejército de Warhammer

¡Muy buenas, amantes de las matemáticas!

Últimamente tengo muy dejado el vicio de los wargames, pero no por ello vamos a dejar aparcadas las suculentas posibilidades de plantear enunciados divertidos al respecto. Vamos a ello.

Por si alguien no lo sabe, en el juego de batallas más importante, el Warhammer, cada jugador lleva una lista que contiene unidades de tropas siguiendo una baremación oficial, de tal forma que es más caro poner un cañón en la mesa que, por ejemplo, una pobrecillo con una espada oxidada y sin armadura. Esta mecánica es bastante habitual en los juegos de este tipo.

Las posibilidades a la hora de hacer listas (si dejamos al margen el espinoso tema de las combinaciones más útiles y usadas, cosa ya del ámbito de la competición más que de las matemáticas) este sistema es muy muy interesante para introducir en este foro el asuntillo de las ecuaciones con más de una incógnita e infinitas soluciones enteras: las ecuaciones diofánticas.

warhammer

Así que al tema:

Supongamos que el tito Erosfer tiene mañana una batalla de Warhammer. Él ha planeado llevar una lista formada por alabarderos y por espadachines. Según el manual cada alabardero cuesta 6 puntos y cada espadachín 7 puntos. Asimismo se especifica que cada regimiento que forme ha de estar compuesto por un número de miniaturas superior a 5 (es decir, no vale llevar 3 alabarderos por ejemplo). 

Suponiendo que debe gastar 500 puntos para presentar dos regimientos, uno de cada tipo de soldados. ¿Qué posibilidades tiene?

¿Y si sabemos además que sólo dispone en su colección de miniaturas de un máximo de 45 alabarderos y 50 espadachines?

Que se os dé bien!!!

No es la primera vez que el juego éste sale por aquí. Recordad por ejemplo el análisis de las probabilidades de los dados que tuvimos en la entrada sobre la magia, o el cañón matadragones definitivo.

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Solución:

Es una ecuación diofántica. Denominando “x” al número de alabarderos y a “y” al número de espadachines, nos queda que:

6x+7y = 500

Ecuación que tiene infinitas soluciones enteras para x e y siempre y cuando se cumpla que:

MCD(6,7)=divisor de 500

Como MCD(6,7) = 1  y la unidad es divisor de cualquier número (incluido el 500), la ecuación tiene solución. Esto ya lo veremos en post siguientes. El tema de este tipo de ecuaciones lo trataremos más a fondo más adelante en el blog.

Lo primero es averiguar una solución cualquiera de la ecuación. A veces sale a ojo, otras hay que currárselo. Vamos a currárnoslo un poco. Por el algoritmo de Euclides, (dividendo=divisor por cociente más resto) podemos ver que:

7=6\cdot 1+1\rightarrow 6\cdot(-1)+7=1

Y multiplicando todo por 500 queda que:

7\cdot (-500)+6\cdot 500=500

Así que una solución es que x=-500 y la y=500.

No obstante cualquier solución vale en este punto. Buscad alguna que a ojo veáis que cumple la ecuación. Así a ojo, podría ser x=25 e y=50, por poner un ejemplo.

Ahora saquemos el resto.  Se puede aplicar el método típico de las soluciones de una ecuación diofántica lineal corriente y moliente (que insisto, ya desarrollaremos en otra entrada), pero en su lugar vamos a pensar cómo sacarlas. El método será éste: en cada solución, lo haremos quitando una cantidad a -500 tal que se le pueda añadir después a la solución de la y (el 500 positivo).

La idea es que ese -500 está multiplicado en la ecuación por 6, es decir, al restar 1 a 500 eliminas 6 unidades en la ecuación. No puedo compensar el quitar 6 unidades en la “y” porque el valor de 500 está multiplicado por 7. Veámoslo en detalle: por ejemplo, si quitas uno a la x=-500 (quedaría -501) has restado -6 a la ecuación (porque la “x” va multiplicada por 6, entonces “6x” va dando saltos de 6 en 6). No puedes compensar esa substracción en la y=500 porque ésta va multiplicada por 7 y por tanto al incrementarla en 1 (quedaría y=501) habrías añadido 7 (porque el “7y” va saltando de 7 en 7).

Se ve bien en ésta tabla:

Si a x le quito 1 quito 6 unidades  añadir 1 a la y añado 7 unidades no compensan.

Si a x le quito 2 quito 12 unidades al añadir 2 a la y añado 14 unidadesno compensan.

Si a x le quito 3 quito 18 unidades al añadir 3 a la y añado 21 unidadesno compensan.

Si a x le quito 4 quito 24 unidades al añadir 4 a la y añado 28 unidadesno compensan.

Si a x le quito 5 quito 30 unidades al añadir 5 a la y añado 35 unidadesno compensan.

Si a x le quito 6 quito 36 unidades al añadir 6 a la y añado 42 unidades no compensan.

Si a x le quito 7 quito 42 unidades al añadir 7 a la y añado 48 unidadesàno compensan.

Pero ¡alto!. ¿Qué ocurre si quito a la “x” un 7 y compenso añadiendo a la “y” un 6? Pues que estaré restando 42 por un lado y sumando 42 por otro. ¡Hombre! Entonces la ecuación no variará y por tanto 6x+7y seguirá sumando 500. Se cumplirá la ecuación.

Se puede ver:

6\cdot (-500-7)+7\cdot (500+6)=-3042+3542=500

Y esto se cumplirá cada vez que restemos a la solución de la “x” un número de veces el 6 y añadamos a la “y” ese mismo número de veces el 7. Por ejemplo, si le quitamos 5 veces el 7 y añadimos 5 veces el 6 nos queda que:

6\cdot (-500-7-7-7-7-7)+7\cdot (500+6+6+6+6+6)=500

Por lo que cómodamente podemos escribir que la solución es:

Nº de alabarderos: x = -500 – 7K

Nº de espadachines: y = 500 + 6K

Evidentemente hace falta calibrar qué soluciones valen en este contexto. K puede ser positivo o negativo (comprobadlo vosotros mismos pero entero). En nuestro problema no podemos sacar un número negativo de miniaturas en la mesa de juego, así que hay que buscar aquellas soluciones que nos dan una “x” y una “y” ambas positivas.

Es fácil ver que los valores válidos de K para obtener un número X de alabarderos positivo y un número Y de espadachines positivo son: K = -72,-73,-74,-75,-76,-77,-78,-79,-80,-81,-82 y -83.

Para estos valores obtenemos un abanico de soluciones de X e Y que son:

K

X

Y

-72

4

68

-73

11

62

-74

18

56

-75

25

50

-76

32

44

-77

39

38

-78

46

32

-79

53

26

-80

60

20

-81

67

14

-82

74

8

-83

81

2

Estas serían las posibilidades. Sin embargo, si tomamos la limitación de tener sólo 45 miniaturas de alabarderos y 50 espadachines en nuestra colección, estaremos restringidos a solamente tres opciones:

K

Alabarderos

Espadachines

-75

25

50

-76

32

44

-77

39

38

Es decir podremos presentar en la batalla una de estas tres opciones:

  • Una unidad de 25 alabarderos y otra de 50 espadachines.
  • Una unidad de 32 alabarderos y otra de 44 espadachines.
  • Una unidad de 39 alabarderos y otra de 38 espadachines.

Cual elegir ya es algo que depende de cómo juguéis, no de las matemáticas. Yo suelo incluir la tercera opción. Dos bloques con pegada relativa y consistentes. (eliminar dos unidades de 39 es dificilillo.)

….Y el Mundo Creció…

Pues eso. Lamentando mucho el no haber posteado nada estos días (la Semana Santa trastoca mis horarios habituales y me he permitido dejarme un poco) aquí estamos con una nueva entrada, apasionante y de cooperación (no sé yo si….) mientras miro a ver si saco tiempo para acabar la entrada de los Clacs, que está huerfanita y sin terminar.

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En este caso planteemos una pregunta sencilla, y a ver qué pasa. Que se os ocurre. Es algo que ya se ha tratado por filósofos y pensadores pero que, y esto tiene su gracia, decidí incluirlo en el blog porque me dí de bruces con el concepto leyendo el número 77 de “El Asombroso Spiderman”. Como fan de Spidey que soy, suelo prestar atención cada vez que se usa un recurso en el guión que tiene que ver con mates o ciencia.

La cuestión es: imaginad que de repente el Universo escalara su dimensiones, me explico. Que de repente el ancho, el largo y el profundo de todo objeto quedara multiplicado por un cierto valor (que lo aumentara o disminuyera). La pregunta es…. ¿Nos daríamos cuenta? ¿Por qué? y que propongáis algún ejemplo. 

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Solución:

Bueno, después del parón de puente, vacaciones y demás, y antes de que el primero de Mayo me pilla los dedos, vamos a aclarar la cuestión en sí, el qué pasaría si todo creciera de repente, tal y como habíamos especificado.

¿Nos daríamos cuenta? Pues la respuesta es… SÍ. Nos daríamos cuenta. Entre otras razones porque (y siempre dependiendo del factor por el cual creciera el Universo) ocurriría esto:

  • Los aviones podrían caerse al suelo.
  • Los cohetes espaciales no podrían despegar.
  • Se nos podrían partir las piernas y/o algún otro hueso que nos sustenta.
  • Las lámparas se caerían (y los jamones en los secaderos y las estanterías de las paredes, y posiblemente se pincharan las ruedas de los coches).
  • Los submarinos a una determinada profundidad serían aplastados vilmente por el agua.
  • Y hay otras muchas más razones aparte….

Este problema lo estudiaron entre otras mentes brillantes, Galileo. De hecho es una vieja ley conocida en el mundo de la física, especialmente en la aeronáutica. Hete aquí un link ilustrativo:  http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_cuadr%C3%A1tico-c%C3%BAbica

Esta ley explica porque no hay una proporción lineal (que mucha gente ve como lógica en cualquier caso, algún día nos dedicaremos a ello) entre el tamaño de un avión y el de sus alas.

Pero volvamos al tema que nos ocupa. La lista de razones por las que nos daríamos cuenta. ¿Cómo puede ser esto? Menudo apocalipsis. Vamos a contar un cuento para ilustrarlo. Un cuento matemático.

Supongamos un cohete. Tiene una masa (y por tanto, tiene un peso determinado). También tiene unas toberas. Las toberas son los impulsores, para entendernos. Evidentemente tiene que haber una relación entre el peso del cohete y la superficie de los impulsores.  Esto es, para subir tanto peso necesito tanta superficie de tobera, ya que si ésta es demasiado estrecha, los gases que expulse no harán suficiente empuje como para compensar al peso del cohete.

Con esa idea en mente supongamos que el cohete escala sus dimensiones de largo, alto y profundo por una constante K>1 (que puede ser cualquier número que queráis). De esta forma el cohete crece de tamaño. Si fuera una constante menor que 1 disminuiría. ¿Qué pasará? Analicemos que pasaría al volumen del cohete y a la superficie de las toberas de un hipotético cohete con forma cilíndrica.

cuadrado cubica1

Y ahora echemos unas cuantas cuentecillas sobre estas dimensiones:

cuadrado cubica2

Por lo que se puede ver cómo el volumen del cuerpo ha aumentado siguiendo una razón cúbica mientras que el área sólo ha aumentado siguiendo una razón cuadrada.

¿Qué importancia tiene esto? Pues que si recordamos que la masa es igual a la densidad por el volumen, nos encontraremos con que la masa del cohete queda multiplicada por k al cubo, pero la superficie de la tobera sólo queda aumentada en un factor k al cuadrado. Consecuencia directa de esto: la masa del cohete crece mucho más que el área de la tobera de escape de gases. Conclusión: es muy posible que el empuje de los gases de salida no sea capaz de impulsar hacia arriba la enorme masa que ha adquirido el cohete.

Es fácil de ver con ejemplos. Suponed K=5. En ese caso la tobera pasa a multiplicar su superficie por 25, pero es que la masa del cohete (y su volumen)…¡¡aumentan en 125 veces!!.

El resto de ejemplos de la lista se explican de manera similar. Nuestros huesos aumentarían de largo y grueso, por ejemplo, pero la superficie de su sección quedaría aumentada en k al cuadrado mientras que el peso del sujeto al que tienen que soportar quedaría aumentado en k al cubo. Eso implicaría que sería posible detectar si el Universo hace esta jugada simplemente mirando la tasa de fracturas de cadera entre las abuelitas.

Pues eso. Estas cuestioncillas suelen ser interesantes y es, en casos sencillos (figuras como cilindros o cubos) algo que normalmente planteo cuando se estudia el Teorema de Tales en figuras y cuerpos geométricos, allá en 4º de la ESO. Normalmente los chavales ven gracioso (y contra intuitivo) que almultiplicar el lado de un cubo por 3 su volumen quede multiplicado por 27. Pero no sólo ellos. Recordemos la anécdota clásica del templo de Apolo, que se encuentra aquí perfectamente explicada, y que resumimos:

“La duplicación del cubo tiene su propia leyenda: en tiempos de Pericles una epidemia de peste estaba diezmando la población. Los atenienses mandaron una delegación al oráculo de Delfos para preguntarle acerca de qué podían hacer para aplacar a los dioses. El Oráculo les contestó que debían duplicar en tamaño el altar cúbico dedicado a Apolo. Los griegos se pusieron a la faena y construyeron un altar cúbico con el doble de lado. Pero la peste no cesó. Y es que al doblar el lado habían multiplicado el volumen por ocho, y no es eso lo que se les pedía…”

Dicho sea de paso la resolución de este problema es imposible con regla y compás, y conlleva arrastrar un número irracional como aquel raíz de dos que tanto gustó (dicho con toda la sorna del mundo) a los antiguos griegos (especialmente a los pitagóricos….)

 

…pero como se suele decir, eso ya es otra historia.

Torres de clacs….CLAC, CLAC,CLAC….

Esta entrada nace de la lectura de una de las mejores novelas que Terry Pratchett ha escrito jamás, titulada ‘Going Postal‘ y maltraducida al español como “Cartas en el Asunto”. Existe una película sobre la novela, desternillante y de muy buena calidad que lamentablemente sólo se puede encontrar (que yo sepa) en inglés subtitulado al español.

Para los que no lo sepan, el Mundodisco es una saga de cerca de cuarenta novelas que narran las peripecias de un mundo entre la edad moderna y la contemporánea que es ligeramente diferente al nuestro. Para empezar es plano, no esférico. Y está sujeto por cuatro elefantes  que a su vez van a lomos de una tortuga gigante que viaja por el Multiverso. Ah, y no hay electricidad. En su lugar hay magia, con su propia partícula elemental, el taumo. Los magos son una disparatada parodia de los físicos. De hecho, en estos momentos algo deben estar tramando en el “Laboratorio de Magia Desaconsejadamente Aplicada” a este respecto.

En la novela que nos ocupa, un joven timador debe ponerse, por cosillas de la vida, a dirigir el ruinoso servicio de correos de la ciudad de Ahnk-Morpock. El problema es que la compañía de comunicaciones a distancia “Gran Tronco” está monopolizando el mercado con su servicio de torres de clacs.

“Gran Tronco” es, en el fondo, una satírica versión de las compañías de telecomunicaciones de nuestro mundo. El funcionamiento es muy muy simple. Se trata de colocar cada cierta distancia torreones con 16 lámparas que tienen su propia persiana cada una  De esta forma cada lámpara puede estar abierta o cerrada. Así, manejando dichas persianas se puede transmitir un código de una torre a otra. A estas estructuras se las denomina torres de clacs por el ruido que hacen. En cada una de ellas hay un par de operadores que con un sistema mecánico de cuerdas mueven dichas persianas cuando conviene.

La novela incluye alguna que otra referencia a cabeceras, tramas, códigos de transmisión y esas cosillas que tanto nos gustan a los telecos.

El joven director de correos deberá demostrar a sus ciudadanos que el servicio postal puede competir con la malvada (y muy cara, y muy mal gestionada) compañía de clacs.

El problema es muy simple, y puede servir como una perfecta visión introductoria de combinatoria, codificación o incluso criptografía. Se podría dar una clase de tecnología basándonos exclusivamente en los clacs, de hecho es un funcionamiento similar al que realmente tienen nuestros sistemas de comunicación, pero en este caso se ve mejor ¿lo pilláis?.

going postal

Al asunto:

Supongamos que transmitimos mensajes escritos con un alfabeto de 27  letras minúsculas, 27 mayúsculas y 10 números y se realiza de tal forma que se transmite cada símbolo de cada mensaje (letra o número) de uno en uno, uno detrás del otro. Es decir la frase “Hola Mundo” sería  “H” “o” “l” “a”…. una letra detrás de otra. No, no es una opción muy eficiente, pero bueno, por no liar. Evidentemente cada letra requiere así un código que la identifique.

¿Cuántos mensajes diferentes se pueden mandar a la vez sabiendo que la torre dispone de 16 lámparas con sus respectivas persianas? ¿se aprovecha bien la torre de 16 lámparas? ¿Para qué podría servir las lámparas que aparentemente no se usan?

Suponiendo que un operador tarda 3 segundos en leer las luces de la torre anterior y retransmitir ese código con su torre… ¿cuánto tardará un clac en llegar hasta la lejana Genua que está a unos 3.000 Km de Anhk Morpock? Terry no da información al respecto, pero pongamos una media de 2 kilómetros entre torre y torre.

En la novela un astuto ingeniero propone usar pantallas de colores para que las persianas no sólo tengan la opción de abierto/cerrado, sino que por ejemplo pueda tener cada lámpara de la torre la posibilidad abierto-blanco/abierto-verde/abierto-rojo/abierto-azul/cerrado.

Si usáramos 2,3,4,5,6 colores…. ¿Cómo se mejoraría la capacidad de la línea de clacs?

Que se os dé bien, esta semana es más fácil, y muy literato….