El método de Descartes

Cómo le debía gustar la palabrita “método” a René Descartes, oigan….

Sigo con la oposición, centrándome estos días en la niña fea del temario. Aquellos que nadie se prepara nunca porque no gustan. ¿A nadie? No, qué va. A mí, de hecho, me encantan. Hablo de los temas de Historia de las Matemáticas.

Estos días estoy con la historia del cálculo diferencial e integral, es decir del Análisis desde que Euler los junta a ambos en una sola disciplina. Y me he topado con algún método curioso de esos que se usaron para hacer las cosas que hoy en día calculamos con derivadas o integrales.

Imaginaos que queréis calcular la ecuación de la tangente de una función en un punto. No de una función especialmente difícil ni rara. Un seno. Un logaritmo. Una función racional. Esas cosas.

Cualquier alumno avezado de bachillerato se irá corriendo a derivar la función y evaluarla en el punto de tangencia porque como todos sabemos, la pendiente de la tangente es realmente el valor de la derivada de la función en dicho punto. El resto es coser y cantar, sólo hay que completar la ecuación punto pendiente de la tangente con las coordenadas del punto y el valor de la pendiente (es decir, el de la derivada).

No obstante estas formas de actuar se las debemos a dos monstruos con mayúsculas de la ciencia. Leibniz y en menor medida, Newton. Ellos dos se rumiaron la idea de derivada e integral como entes relacionados (de acuerdo, incluiremos también a Barrow y a más gente) y alejaron definitivamente el análisis funcional del estrecho corsé de la Geometría, al que le habían sometido desde Arquímedes hasta Descartes, que es el prota de este post. (¿Os suena el Discurso del Método de clase de filosofía? Pues el tercer libro del Discurso se llama… Geometría. Deberían explicarlo en mates, ¡leñe!)

El caso es que antes de que Leibniz y Newton, Newton y Leibniz y sus sucesores  nos pusieran las herramientas actuales de trato con funciones en las manos, cada cual se creaba herramientas apropiadas para cada problema por separado. Uno de los problemas era el de calcular la tangente de una curva en un punto sin usar derivadas ya que… ¡bueno, no se conocían!. Y una de las soluciones es la de Descartes. He aquí:

Consideremos que queremos la tangente en P de una curva f(x). Tomemos una circunferencia auxiliar de centro (C,0) con C cualquiera y radio de C a P. Es de suponer que la circunferencia será secante a la función en dos puntos. Arrastremos el centro C hasta que logremos que la circunferencia sea tangente a la curva en P. Entonces, podemos trazar la tangente a la circunferencia en P (es sencillo, será perpendicular al radio CP) y a su vez será tangente a la curva en P.

 

Un original método que analíticamente consiste en considerar el sistema formado por la ecuación de la circunferencia y la propia función y forzar a que sólo tenga una solución, en P. Con eso ya se tiene la coordenada exacta de C y el radio. Y con el vector del radio, sacar el perpendicular (el de la recta tangente) es inmediato. ¡Y sin derivar!

Os dejo en Geogebra un applet con el que podéis practicar sintiéndoos como Descartes. Analíticamente el método no es  cómodo ni mucho menos (depende de la dificultad a la hora de forzar una solución única en el sistema) pero es muy curioso y muy ingenioso. Como siempre, pinchad o en la imagen o aquí:

metodo de descartes 1

Veamos analíticamente cómo funciona. Por ejemplo, hallar la tangente de:

metodo de descartes 2

en el punto P(2,2).

Se trata de solucionar el sistema formado por la circunferencia de centro C(C,0) y radio CP y la propia función, forzando que la solución sea únicamente en x=2 (coordenada de P).

Es decir:

metodo de descartes 3

El centro es C(3,0), el radio es el vector PC(1,-2), luego la pendiente de la recta del radio PC es  -2. Entonces la perpendicular tendrá pendiente 1/2 y pasará por P(2,2), luego será la recta       y-2=0.5(x-2), o lo que es lo mismo

Tangente es: Y=0.5X+1

 

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Tamaños del tetrabrik y un nombre equivocado… o no

Una de las cosas que más sorprenden a los chavales de la ESO es que se piensan que el mundo siempre ha sido así, y que todo ha existido de forma ininterrumpida desde hace muuucho tiempo hasta nuestros días. No es algo exclusivo de ellos, seguramente nosotros también pensábamos así cuando teníamos su edad, pero es curioso.

¿A qué viene esto? Pues a responder a una pregunta que me ha hecho un alumno hoy, a saber. ¿Por qué se llaman tetrabriks a las cajas de leche?

Es una pregunta muy interesante. Wikipediando, podéis encontrar la historia del recipiente que desplazó a los lecheros y sus botellas de cristal.

En resumen, el tetrabrik es un invento sueco (como IKEA) que en su inicio no presentaba la forma de hoy sino que era…. Un tetraedro. Y de tetraedro, tetrapak, viene la manera de llamarlo tetrabrik.  Brick es ladrillo en inglés, tetra es cuatro… muy simpáticos estos chicos con el marketing ¿verdad?.  ¿Por qué esa forma? Realmente, los construían así por limitaciones tecnológicas de la época. Resultaba tremendamente barato hacer recipientes así porque bastaba con coger una lámina de material, hacer un cilindro y doblarlo chafando sus bases como si fuera un sobre tridimensional. Ello compensó de alguna forma las desventajas que este tipo de formato tenía, como ahora veremos.

Fuente: desmotivaciones.es

Fuente: desmotivaciones.es (y sí, sabemos de dónde viene el nombre por las matemáticas y el griego)

¿Por qué se dejaron de fabricar con esta curiosa forma? Bueno, por una razón fundamental. La relación área-volumen de esta figura es mala. O eso he leído por ahí. Dicho más claramente, hace falta más material para construir un tetraedro que almacene un volumen de 1 litro, que para construir la opción lógica, un ortoedro. Así, si comparamos, para un litro (1 decímetro cúbico) haría falta un tetraedro regular de arista de 2 dm y por tanto un área de 7.20 decímetros cuadrados aproximadamente, por los 7 dm decímetros cuadrados de un tetrabrik normal de los de hoy en día o los 6 decímetros cuadrados necesarios si habláramos de un hexaedro.

pero espera…PARA UN MOMENTO. No hay tanta diferencia entre las áreas de un tetrabrik de hoy día con los tetraedros antiguos. Sí habría ahorro si los briks fuese hexaedros, es decir, igual de altos que anchos que profundos.

Lo que nos lleva a la pregunta… ¿Por qué son los tetrabrik del tamaño que son? ¿Es azar? ¿Es una conspiración?¿Es matemáticas?¿Es influencia Annunaki y de los elfos de las estrellas? Echémosle un ojo a todo esto.

Es verdad que la forma del ortoedro es superior en términos de almacenaje sobre la del tetraedro… aunque sólo sea porque permite apilar unidades de forma cómoda, cosa más peliaguda con el cuerpo de cuatro lados. Y no deja espacios entre diferentes briks. Pero eso sólo explica por qué hacerlos con esa forma. No dice nada de las dimensiones. Es más, si el ahorro de material es con el hexaedro… ¿Por qué no hacerlos con esa forma?

Yo no lo sé. Pero he trasteado un poco mareando unos pocos números, a ver qué descubría. Por tanto, lo que viene a continuación es pura especulación mía. Igual los hacen así porque le gustaban al director de ventas. Pero le he intentado buscar una cierta lógica, a ver si la tiene.

¿Os acordáis del número de oro? Aquella divina proporción que aparece en el márketing por doquier porque permite formas bellas. Nuestro amigo FI (del escultor Fidias, por cierto). La proporción áurea.

Pues aquí va a aparecer.

Imaginemos que queremos hacer un tetrabrik bello usando la divina proporción, que es, recordemos todos:

tetrabrik1

Que es la relación entre el lado y la diagonal del pentágono regular y una de los fiascos de los amigos de la secta pitagórica.

Bueno, pues queremos construir nuestro tetrabrik de dimensiones a x b x c siguiendo esto:

tetrabrik3

Es decir, con estas especificaciones:

tetrabrik4

Demos valores a estas expresiones a ver con qué valor de c (y por ende, de b y a) logramos tener un volumen de 1 litro (las dimensiones estarán por tanto en decímetros)

c b a Volumen
0.1 0.16 0.26 0.004
0.2 0.32 0.53 0.033
0.3 0.48 0.78 0.114
0.4 0.64 1.04 0.271
0.5 0.81 1.31 0.530
0.62 1.00 1.62 1.001
0.7 1.13 1.83 1.453

Con unas dimensiones de 0.62 x 1.00 x 1.62 dm logramos tener un litro. No merece la pena irse a 0.7 x 1.13 x 1.83 porque ahí el volumen ya es bastante más de un litro… casi casi estamos ya en el litro y medio.

Pues ya está, ¿no?. Los fabricantes quieren envases de 1 litro. Pues no. Los fabricantes quieren (o deberían querer) bonito, de 1 litro y barato. Y no hemos garantizado que nuestro brik sea barato ¿Qué debemos hacer? Pues relajar un poco las estrictas condiciones del problema, que es algo muy matemático. Ya tenemos que el lado pequeño ha de ser 0.62 dm, ¿no? Bueno, pues calculemos las dimensiones de los otros dos lados. Nos saldrán muy parecidas a las obtenidas aquí, porque queremos un volumen ligeramente mayor.

Alguien podrá decir, avispado él, que es una bobada dejar dos parámetros como b y a libres, porque nos complica el problema, y que sería más lógico dejar c y b fijos y aumentar un poco el tamaño de a. Bien, es una opción. Pero yo dejo los dos parámetros libres porque quiero imponer otra condición como fabricante. Ahora que ya sé cómo hacerlos bonitos usando la proporción aurea… quiero que usen la menor cantidad de material posible, aún a costa de que salgan un pelín más feotes. Quiero, por tanto, que su área sea mínima.

Lo que conlleva derivar el área buscando el punto donde es mínima.

Reescribimos la fórmula del área imponiendo que el volumen ha de ser 1 decímetro cúbico y que el lado c ha de ser 0.6 decímetros y queda:

tetrabrik5

Si derivamos e igualamos a cero obtenemos un mínimo en…

 

tetrabrik6

Entonces b=1.27 dm y a=1.27 dm

Lo que nos lleva a que las dimensiones serán de 1.27 x 1.27 x 0.62 decímetros. Qué lástima. No parece que la optimización del área a usar sea un criterio empleado…Comparémoslas con las de un tetrabrik normal y corriente real y con las medidas obtenidas para un brik áureo:

CASO DEL BRIK CON PROPORCIÓN ÁUREA

c b A Volumen
0.62 dm 1.00 dm  1.62 dm 1 litro exacto

 

CASO DEL BRIK OPTIMIZADO

C b a Volumen
0.62 dm 1.27 dm 1.27 dm = 1 litro exacto

 

CASO DEL BRIK REAL

c b A Volumen
0.62 dm 0.91 dm 1.93 dm > 1 litro (1.09 litros)

 

Conclusiones: Parece ser que el tamaño del brik está un poco más relacionado con la proporción áurea o el deseo sencillamente de hacer un embalaje bonito que en lograr la eficiencia en el área de material empleado. No obstante, tampoco hay tanta diferencia en este aspecto, ojo, que los suecos bobos no son. De hecho:

Brik áureo 6.51 dm cuadrados
Brik óptimo 6.37 dm cuadrados (mínimo)
Brik real 6.62 dm cuadrados

La diferencia es de sólo unos 0.25 decímetros cuadrados de material, es decir, aproximadamente 5 x 5 centímetros. Muy poco. A cambio, el brik real cumple ser más armonioso con el ideal del áureo. Es más bonito que el óptimo. Y tiene un volumen un poco mayor que 1 litro.

Por último, hay que tener en cuenta además que el brik real está sobredimensionado en su altura para proteger el contenido de apilamientos excesivos, golpes, que el brik se chafe o arrugue, (y esto por apilarlos suele ocurrir por arriba). Asimismo, para que no explote por cambios en el volumen de su contenido, que como todo líquido tiende a variar de volumen con cambios en la presión o la temperatura. (y si no, meted una botella de agua en el congelador, veréis que risa… )

Para que quede constancia de lo que digo, sería algo así:

CASO DEL BRIK REAL SIN ALTURA EXTRA DE SEGURIDAD

c b A Volumen
0.62 dm 0.91 dm 1.77 dm 1 litro exacto

Ello explica (en parte) que tenga ese valor de altura. Realmente da un volumen de 1.08  litros. Con 1.6 centímetros menos, saldría un volumen de 1 litro redondo. Pero eso nos sigue dejando unas dimensiones teóricas de 0.62 x 0.91 x 1.77 dm. Un valor bastante cercano al áureo aunque no idéntico.

En definitiva, no sé exactamente por qué los tetrabriks tienen estas dimensiones. Tiene que haber algún otro factor que no hayamos visto como el material que se pierde en los dobleces (quizás sea la clave de que quede más delgado, optimizar todo el material, incluyendo los dobleces que aquí he obviado), aunque está claro que su diseño es más una concesión a que quede bonito que al ahorro en sentido estricto del material. Si no fuera así, nuestros briks serían más anchos (1 cm) y más bajitos.

Por lo menos dejaron de fabricarlos con forma de dado de rol de 4 caras. Algo es algo.