Integrales (aparentemente) mal hechas…

Una de las cosas que más se olvida es que si bien la derivada de una función es única (salvo formas de expresarla, como la de la tangente por ejemplo), una integral es una operación que tiene por resultado muchas, muchas, muuuchas soluciones. Tantas como valores podamos dar a una constante, de hecho. Una integral tiene infinitas soluciones.

Una visión intuitiva del asunto es que la integral es la operación contraria a la derivación  y que la derivada de una constante es cero. Por eso escribimos siempre la (olvidada) contante de integración al acabar de operar:

integralesA

Y la solución es F(x)+1, F(x)+3/4, F(x) + 1.000.000…. lo que queráis.

Esto conlleva que la integral de una función sea un abanico de funciones parecidas, pero no iguales. Funciones que se diferencian en el valor que pueda tomar la dichosa constante de integración (La C). Por ejemplo.

integralesB

Comprobamos que efectivamente si hacemos el proceso inverso, esto es, si derivamos, el valor de la C es irrelevante. Puede valer 15 o Pi o un millón de trillones. Al derivar se anula, y el resultado vuelve a ser la función que antes integramos:

integralesC

Esto es una perogrullada que no obstante a veces la gente olvida. A un compañero en carrera se le olvidó la constante de integración al final del ejercicio y a pesar de que el resto estaba bien desarrollado le pusieron un cero. La excusa del original” profesor era que le había dado una solución de las infinitas que había (pues infinitos valores toma la dichosa C que olvidó) y en correspondencia le ponía la parte proporcional de la nota.

Sin embargo, este tema está más que trillado ¿A qué viene esto? Bueno, pues a que tiene más importancia de la que parece. En funciones polinómicas, la  C es lo que diferencia una solución de la integral de otra, pero mantienen todas ellas la misma “forma”, el mismo “cuerpo”. Sin embargo, esto no siempre es así cuando nos alejamos un poco de ellos, y nos metemos con las integrales de funciones trigonométricas, por ejemplo. Y ahí es donde quiero ir a parar.

Consideremos este ejemplo:

integralesD

Esta integral se puede resolver de varias formas. Podemos aplicar un sencillo cambio de variables (seno y coseno son función y derivada respectivamente) o se puede resolver considerando que es casi la expresión del seno del ángulo doble:

Es decir:

Primera forma:

integralesE

Segunda forma:

integralesF

Y aquí es donde les empiezan a veces los problemas. Saber si está bien una solución, la otra o las dos, regado con el hecho de que a la gente se la taladra en clase con que NO se olvide la constante de integración. Y normalmente nadie lo hace… hasta que se acaba la integral y hay que usar la expresión resultante para algo.

Pero volvamos a la comprobación de si ambas expresiones son solución de la integral. Normalmente, un razonamiento que se tiene es caer en la idea de que si ambas soluciones lo son, entonces su resta ha de ser cero, ya que…. ¡son la misma cosa!

Pero entonces ocurre el chasco, ya que este razonamiento es erróneo. Enseguida destapamos la liebre, pero primero veamos qué pasa si seguimos adelante con él. Por tanto, restemos ambas soluciones, a ver qué pasa :

integralesG

La conclusión (errónea, insisto) que se extrae de ésto es que como ambas soluciones restadas NO dan cero, sino 1/4, es que hemos metido la pata en alguna de las soluciones y que una está mal. Comienza entonces una búsqueda del fallo…. En vano.

¿Dónde está el truco? Pues que las dos soluciones son perfectamente válidas PERO sus constantes de integración NO tienen por qué tomar el mismo valor en ambas a la vez. Por tanto, no se pueden simplificar alegremente una con la otra. Para empezar, no debería haberla llamado C en ambas expresiones, pero esa es una de las manías que más abundan en estos campos, que llevan a errores de este tipo.

De hecho, si las llamamos C y K, por ejemplo, y considerando que no es necesario que C=K, se llega a que:

integralesH

Es decir, ambas soluciones coinciden si observamos que la constante de una de ellas será un cuarto más que la constante de la otra. Pero ambas son soluciones de la misma integral.

Podemos verlo gráficamente:

integrales1

Cuando ambas constantes son iguales, cero en este caso, las soluciones se diferencian en una cantidad que es constante. ¿Adivináis cuánto es esa diferencia? Exacto, en este caso es 1/4.

Si corregimos este hecho queda que…

integrales2

Las dos gráficas coinciden cuando la constante de una y otra se llevan 1/4 entre sí. (La roja tiene de C=0 y la azul superpuesta C=1/4)

La roja no se ve, tapada por la azul.

Esto mismo ocurre con los polinomios y con cualquier integral, lo que pasa es que con las funciones trigonométricas es muy común que aparezcan soluciones aparentemente diferentes en forma pero que en el fondo sean la misma. La culpa la tienen la cantidad de formas que hay de resolverlas usando la trigonometría. Así que no os asustéis cuándo resolváis integrales de este tipo y vuestras soluciones no coincidan de forma clavada con las de vuestros compañeros…. ¡puede que hayáis seguido caminos alternativos!

Calculador de áreas con probabilidades

¡Bueno, volvemos a la carga! Nada como postear algo después de semanas de mudanza, asentamiento en nueva sede y trasiego variopinto. Ahora ya tengo un pelín de tiempo (hoy, concretamente XD) y puedo colgar algo que he estado puliendo estos días.

Se trata de calcular áreas con probabilidades. Casi nada al aparato.

La idea ya ha aparecido en este blog en diferentes entradas, como la del pescador y el lago o la moneda y el ascensor pero en sentido contrario. En esos casos se trataban de problemas de probabilidad que se resolvían usando una relación entre áreas, es decir, geometría pura y dura. Seguían la estela del problema pionero en estas lides, el de la aguja de Buffon. Sin embargo en esta entrada la idea es justo la contraria. Vamos a calcular un área usando la probabilidad.

 

El método no es nuevo. De hecho, es muy usado en computación. Imaginaros una función en un intervalo, a ser posible que reúna las condiciones de integración normales (ser continua y esas cosas) en el intervalo donde queremos integrarla. Sabemos que a integral nos da el área que encierra dicha función con el eje X. Bueno, entonces dibujamos un cuadrado que englobe a esa función en ese intervalo. Vale cualquiera, pero usamos el que más se le ajusta, es decir, que tiene de altura desde la cota mínima hasta la máxima de f(x) en ese intervalo.  Después pedimos al ordenador que simule puntos aleatorios dentro de ese cuadrado.

Aquellos que caigan entre la función y el eje X son parte del área. Los que no, pues no lo serán. Por último se calcula qué porcentaje de puntos han caído dentro y se aplica dicho porcentaje al área del cuadrado. Voilá. Ya tenemos la integral hecha.

 

¿os habéis enterado?¿si?¿no? no pasa nada. Probad el applet y luego volved a leerlo. Lo habréis pillado.

Os dejo el applet que he diseñado para este proceso. El tiempo que se tarda en alcanzar una solución depende del tipo de función. Para las más comunes he observado que con simular unos 8.000 puntos suele ser aceptable. Como siempre, podéis pinchar en la imagen o en este link a GeogebraTube dando después a aceptar en la ventana de precaución Java es peligrosísimo y mortal y tal. No tiene virus ninguno, creedme.

por cierto, leed las cuestiones de debajo antes de usarlo, para que no digáis que no funciona, o que tiene errores.

areas y probabilidad

 

Por cierto, unas cuantas cuestiones LEED ANTES DE USAR EL APPLET:

  • Me ha salido un applet un poco sordo. Esto quiere decir que cuando cambiéis de función posiblemente tengáis que dar a enter varias veces para que el cuadrado “se ajuste” a la función. Perdón. Cosas de programar a lo loco.
  • Por limitaciones de plataforma, si movéis la pantalla de la aplicación desplazando los ejes y tal pues…los puntos dibujados se borran. El cálculo sigue. No hay problema ahí. Sólo que la pantalla se refresca. Es que para ahorrar memoria sólo se deja dibujado el rastro del punto. Si movéis la pantalla, adiós rastro.
  • El zoom no sé por qué no funciona. Normalmente es con la ruleta del ratón. Podéis clickar y arrastrar para cambiar la escla de los ejes X e Y, que al cambio es más o menos lo mismo. Trataré de arreglarlo.
  • Como siempre, es una plataforma lenta. Mucho. En smartphones…. no sé cómo se comportará. Imagino que muy bien no….
  • No olvidéis de dar a reinicio antes de dar a Inicio, para borrar los datos acumulados de la simulación anterior. Si no, no funciona.

La Suma de Riemann

Bueno, aquí está. Mi segundo (o tercero) proyecto de Geogebra. La verdad es que el programita me está encantando. Intenté hacerlo por las bravas (con lo que me metí en el mundo del JavaScript, beeej) hasta que, ay triste de mi, ay infelice, me dí cuenta de la CAN-TI-DAD de funciones que GeoGebra tiene implementadas así de serie. Entre ellas un trío muy interesante, a saber: SumaInferior, SumaSuperior e Integral. Después lo único que tuve que hacer fue añadir un par de controles y voilá.

El programita es muy sencillo. Podéis meterle cualquier función escrita en el lenguaje común de los programas matemáticos, es decir, sqrt() es raíz cuadrada, y ^n es elevar a n, por ejemplo. Esas cosas. Procurad, eso sí, que la función cumpla los requisitos exigibles para que la suma de Riemann no salga rara o se despendole. Básicamente, que metáis una función contínua entre A y B.

El resto de los parámetros son modificables. El número de intervalos que quéreis poner (el máximo lo podéis fijar y se pueden cambiar dinámicamente con el deslizador n). También es modificable el punto de inicio y de fin de la suma.  Incluso podéis seleccionar qué quéreis ver y que no.

Y recordad que el zoom y el movimiento por la hoja es similar al de las herramientas CAD (por si no conocéis muy bien GeoGebra, es apretar la ruleta del ratón y moverte)

Bueno, pues aquí está el link. Sencillamente pinchad aquí o en la foto y seguid los pasos. Un gran recurso si alguien tiene que explicar estos días algo de integrales.

suma de riemann