El método de Descartes

Cómo le debía gustar la palabrita “método” a René Descartes, oigan….

Sigo con la oposición, centrándome estos días en la niña fea del temario. Aquellos que nadie se prepara nunca porque no gustan. ¿A nadie? No, qué va. A mí, de hecho, me encantan. Hablo de los temas de Historia de las Matemáticas.

Estos días estoy con la historia del cálculo diferencial e integral, es decir del Análisis desde que Euler los junta a ambos en una sola disciplina. Y me he topado con algún método curioso de esos que se usaron para hacer las cosas que hoy en día calculamos con derivadas o integrales.

Imaginaos que queréis calcular la ecuación de la tangente de una función en un punto. No de una función especialmente difícil ni rara. Un seno. Un logaritmo. Una función racional. Esas cosas.

Cualquier alumno avezado de bachillerato se irá corriendo a derivar la función y evaluarla en el punto de tangencia porque como todos sabemos, la pendiente de la tangente es realmente el valor de la derivada de la función en dicho punto. El resto es coser y cantar, sólo hay que completar la ecuación punto pendiente de la tangente con las coordenadas del punto y el valor de la pendiente (es decir, el de la derivada).

No obstante estas formas de actuar se las debemos a dos monstruos con mayúsculas de la ciencia. Leibniz y en menor medida, Newton. Ellos dos se rumiaron la idea de derivada e integral como entes relacionados (de acuerdo, incluiremos también a Barrow y a más gente) y alejaron definitivamente el análisis funcional del estrecho corsé de la Geometría, al que le habían sometido desde Arquímedes hasta Descartes, que es el prota de este post. (¿Os suena el Discurso del Método de clase de filosofía? Pues el tercer libro del Discurso se llama… Geometría. Deberían explicarlo en mates, ¡leñe!)

El caso es que antes de que Leibniz y Newton, Newton y Leibniz y sus sucesores  nos pusieran las herramientas actuales de trato con funciones en las manos, cada cual se creaba herramientas apropiadas para cada problema por separado. Uno de los problemas era el de calcular la tangente de una curva en un punto sin usar derivadas ya que… ¡bueno, no se conocían!. Y una de las soluciones es la de Descartes. He aquí:

Consideremos que queremos la tangente en P de una curva f(x). Tomemos una circunferencia auxiliar de centro (C,0) con C cualquiera y radio de C a P. Es de suponer que la circunferencia será secante a la función en dos puntos. Arrastremos el centro C hasta que logremos que la circunferencia sea tangente a la curva en P. Entonces, podemos trazar la tangente a la circunferencia en P (es sencillo, será perpendicular al radio CP) y a su vez será tangente a la curva en P.

 

Un original método que analíticamente consiste en considerar el sistema formado por la ecuación de la circunferencia y la propia función y forzar a que sólo tenga una solución, en P. Con eso ya se tiene la coordenada exacta de C y el radio. Y con el vector del radio, sacar el perpendicular (el de la recta tangente) es inmediato. ¡Y sin derivar!

Os dejo en Geogebra un applet con el que podéis practicar sintiéndoos como Descartes. Analíticamente el método no es  cómodo ni mucho menos (depende de la dificultad a la hora de forzar una solución única en el sistema) pero es muy curioso y muy ingenioso. Como siempre, pinchad o en la imagen o aquí:

metodo de descartes 1

Veamos analíticamente cómo funciona. Por ejemplo, hallar la tangente de:

metodo de descartes 2

en el punto P(2,2).

Se trata de solucionar el sistema formado por la circunferencia de centro C(C,0) y radio CP y la propia función, forzando que la solución sea únicamente en x=2 (coordenada de P).

Es decir:

metodo de descartes 3

El centro es C(3,0), el radio es el vector PC(1,-2), luego la pendiente de la recta del radio PC es  -2. Entonces la perpendicular tendrá pendiente 1/2 y pasará por P(2,2), luego será la recta       y-2=0.5(x-2), o lo que es lo mismo

Tangente es: Y=0.5X+1

 

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Expliquemos bien Bayes y su Teorema

Thomas Bayes fue un matemático británico del siglo XVIII que enunció un curioso teorema de esos que son feos formalmente pero realmente muy cómodos en su aplicación. Y se basa en el análisis de las probabilidades de las causas observando los efectos.

He aquí el archiconocido y sumamente mal interpretado a veces Teorema de Bayes:

Sea la terna (W,F,P) un espacio probabilístico. Sea A1,A2 …. An un sistema completo de sucesos, y sea el suceso B. La probabilidad de que ocurra un determinado Ak condicionado a que haya ocurrido B es:

teorema de bayes

 

 

Es un teorema de esos feos, feos en su enunciado pero muy simples, como vamos a analizar, en su uso. Para ello aclaremos algunos conceptos:

  • P(A/B) significa probabilidad de que ocurra A a condición de que haya ocurrido B. Y al revés, P(B/A) pues obviamente significa la probabilidad de que ocurra B a condición de que haya ocurrido A.
  • Un sistema completo de sucesos es un conjunto de sucesos que cumplen dos propiedades que se pueden resumir así: Si consideramos todos ellos no dejamos ningún caso fuera (es decir, todos agrupan el 100% de las probabilidades, todas las opciones) y no se pisan unos con otros, es decir, no hay manera de que dos o más sucesos ocurran a la vez. Por ejemplo un sistema completo de sucesos es  DIA y NOCHE, o en un dado de seis caras que salgan PAR y que salga IMPAR; cubrimos todas las posibilidades y no se solapan. No hay DÍA y NOCHE a la vez y no hay PAR e IMPAR a la vez. Obviamente no han de ser opuestos siempre, pero pasa muy a menudo.
  • El Teorema de Bayes sirve para analizar las probabilidades de las causas una vez ha ocurrido una determinada consecuencia. Dicho de otra forma, si ha ocurrido B, Bayes te dice qué posibilidad hay de que haya sido bajo efecto o influjo de A1 o A2 o un Ak cualquiera.
  • Interpretarlo es muy muy fácil. Tenemos que primero ocurren una colección de sucesos (Ak) y luego, después de cada uno de ellos puede ocurrir B o no ocurrir. Vamos a preguntarnos qué probabilidad hay de que si ha ocurrido B hhaya sido bajo influencia de A1. Veamos el diagrama de árbol:

bayes1

Apliquemos la regla de Laplace que todo el mundo conoce, ya sabéis, la probabilidad de que pase un suceso es el cociente entre casos favorables y casos totales.

La probabilidad P(A1/B) es la probabilidad de que pase A1 sabiendo que ha pasado B. Luego la rama a favor del árbol es claramente la marcada en el dibujo.

¿Cuáles son los casos totales? Sencillo. NO es todo el árbol, dado que sabemos de forma fehaciente que B ha ocurrido. Es por eso que los casos totales son la suma de todas las ramas del árbol que acaban en B, sólo y exclusivamente esos. Es decir, P(A1)P(A1/B)+ P(A2)P(A2/B)+…+ P(An)P(An/B). Viendo el diagramas, los caminos verdes marcados en el dibujo siguiente.

bayes2

Ahora comparad este razonamiento con la fórmula del Teorema de Bayes. Realmente, es aplicar la Regla de Laplace con mucha imaginación. Numerador es la rama roja (a favor) y denominador es la suma de todas las ramas verdes (casos totales). El teorema NO viene de la Ley de Laplace (más que nada porque y para pasmo de mucha gente, el bueno de Bayes es anterior unos 50 años al genio francés), sino que se deduce del Teorema de la Probabilidad Total y la propia definición de probabilidad condicionada. Pero no negaréis que así se ve mucho mejor que saberse de memoria la fórmula, ¿no?.

Y mucho ojo, porque este teorema permite analizar cosillas que si se toman a la ligera, rápidamente, pueden dar lugar a equívocos. Por ejemplo, supongamos que un fabricante de pruebas para corroborar si se tiene una enfermedad dice que “su test acierta en las pruebas realizadas a enfermos diagnosticados en el 95% de los casos”. Ahora pregunto….

¿Detecta realmente bien la presencia de enfermedad?

Si pensáis que sí, volved a leerlo detenidamente. ¿El truco? Muy sencillo: el fabricante asegura que acierta en el 95% de las pruebas con enfermos, pero…. ¿qué sabemos de las posibilidades de acertar al aplicarlo a alguien sano? Es decir, a mi no me gustaría que me dijeran que tengo una enfermedad cuando realmente no la tengo. Éste es un punto importante, clave. Para saber si el método es fiable no basta con saber cuántas veces acierta al aplicarlo a enfermos. También necesitamos saber cuándo acierta al aplicarlo a sanos.

Es decir, si queremos saber cuán fiable es, lo que queremos es saber qué probabilidad hay de que tengamos esa enfermedad cuándo el método dice que la tenemos y qué probabilidad hay de no tenerla cuándo el método dice que no la tenemos.

¿Vemos la implicación de Bayes? Supongamos:

  • A1 es el suceso “tener la enfermedad”. A2 es su opuesto, el suceso “No tener la enfermedad”. Forman un sistema completo de sucesos.
  • B es el suceso “el test dice que tengo la enfermedad”. Y su opuesto es “el test dice que no tengo la enfermedad”.
  • Como nos faltan datos, supongamos que el test acierta, por ser generosos, también en el 95% de las veces que dice que NO se sufre dicha enfermedad. Es decir, un 95% de las veces que se ha probado con sanos, ha deducido correctamente que efectivamente está sano.

Con estos datos, podemos formar un diagrama, dejando como X  de [0,1]la probabilidad de sufrir una determinada enfermedad:

bayes3

Lo que nos deja:

bayes5

 Representando en Geogebra estas dos funciones se ven que van a la contra, cuando una sube la otra baja y viceversa. Os dejo un gif que como todos los de Geogebra pesa lo suyo y el link a la hoja dinámica. Si el gif tarda id a la hoja pinchando aquí. La hoja, si no rula, probad a hacerla funcionar como HTML5. Está configurada para mostrarse en Java.

probabilidad bayesiana2

 

La gráfica azul es la probabilidad de tener la enfermedad cuando el test dice que la tienes y la roja la probabilidad de no tenerla si el test dice que no la tienes. La barra que se mueve es la probabilidad de tener la enfermedad. Obviamente oscila de 0 a 1.

Observamos que si la enfermedad es rara (con probabilidad x muy baja, del orden de 0.05) la probabilidad de tener la enfermedad cuando el test dice que la tienes es bastante pequeña, aunque es muy probable que no la tengas si el test dice que no la tienes. Como es una enfermedad rara, entonces el test tampoco es que sirva para mucho.

Más curioso es qué ocurre si es una enfermedad plaga (con una probabilidad de x=0.95, no sé si hay plagas así…). En ese caso los papeles se invierten. Si el test dice que la tienes, es muy probable que la tengas, pero si el test dice que no la tienes…. Es muy fácil que se haya equivocado. Tampoco sirve de gran ayuda en una epidemia un test que no sirve para decir quién está libre de la enfermedad (que es lo difícil en esos casos).

 

¿es entonces un buen test? Bueno, si la probabilidad de tener una enfermedad es de un 0.2 a un 0.8 entonces sí que acierta bastante (si es que un 80% de aciertos es suficientemente bueno, ya que pensad que vamos a realizar la prueba a millones de personas ansiosas de saber su estado), pero no sé hasta qué punto hay enfermedades tan proclives a ser sufridas….

Lo que está claro es que no funciona bien con enfermedades muy raras ni con enfermedades que causen pandemias.

Calculador de áreas con probabilidades

¡Bueno, volvemos a la carga! Nada como postear algo después de semanas de mudanza, asentamiento en nueva sede y trasiego variopinto. Ahora ya tengo un pelín de tiempo (hoy, concretamente XD) y puedo colgar algo que he estado puliendo estos días.

Se trata de calcular áreas con probabilidades. Casi nada al aparato.

La idea ya ha aparecido en este blog en diferentes entradas, como la del pescador y el lago o la moneda y el ascensor pero en sentido contrario. En esos casos se trataban de problemas de probabilidad que se resolvían usando una relación entre áreas, es decir, geometría pura y dura. Seguían la estela del problema pionero en estas lides, el de la aguja de Buffon. Sin embargo en esta entrada la idea es justo la contraria. Vamos a calcular un área usando la probabilidad.

 

El método no es nuevo. De hecho, es muy usado en computación. Imaginaros una función en un intervalo, a ser posible que reúna las condiciones de integración normales (ser continua y esas cosas) en el intervalo donde queremos integrarla. Sabemos que a integral nos da el área que encierra dicha función con el eje X. Bueno, entonces dibujamos un cuadrado que englobe a esa función en ese intervalo. Vale cualquiera, pero usamos el que más se le ajusta, es decir, que tiene de altura desde la cota mínima hasta la máxima de f(x) en ese intervalo.  Después pedimos al ordenador que simule puntos aleatorios dentro de ese cuadrado.

Aquellos que caigan entre la función y el eje X son parte del área. Los que no, pues no lo serán. Por último se calcula qué porcentaje de puntos han caído dentro y se aplica dicho porcentaje al área del cuadrado. Voilá. Ya tenemos la integral hecha.

 

¿os habéis enterado?¿si?¿no? no pasa nada. Probad el applet y luego volved a leerlo. Lo habréis pillado.

Os dejo el applet que he diseñado para este proceso. El tiempo que se tarda en alcanzar una solución depende del tipo de función. Para las más comunes he observado que con simular unos 8.000 puntos suele ser aceptable. Como siempre, podéis pinchar en la imagen o en este link a GeogebraTube dando después a aceptar en la ventana de precaución Java es peligrosísimo y mortal y tal. No tiene virus ninguno, creedme.

por cierto, leed las cuestiones de debajo antes de usarlo, para que no digáis que no funciona, o que tiene errores.

areas y probabilidad

 

Por cierto, unas cuantas cuestiones LEED ANTES DE USAR EL APPLET:

  • Me ha salido un applet un poco sordo. Esto quiere decir que cuando cambiéis de función posiblemente tengáis que dar a enter varias veces para que el cuadrado “se ajuste” a la función. Perdón. Cosas de programar a lo loco.
  • Por limitaciones de plataforma, si movéis la pantalla de la aplicación desplazando los ejes y tal pues…los puntos dibujados se borran. El cálculo sigue. No hay problema ahí. Sólo que la pantalla se refresca. Es que para ahorrar memoria sólo se deja dibujado el rastro del punto. Si movéis la pantalla, adiós rastro.
  • El zoom no sé por qué no funciona. Normalmente es con la ruleta del ratón. Podéis clickar y arrastrar para cambiar la escla de los ejes X e Y, que al cambio es más o menos lo mismo. Trataré de arreglarlo.
  • Como siempre, es una plataforma lenta. Mucho. En smartphones…. no sé cómo se comportará. Imagino que muy bien no….
  • No olvidéis de dar a reinicio antes de dar a Inicio, para borrar los datos acumulados de la simulación anterior. Si no, no funciona.

Demostración del Teorema de Pitágoras con Geogebra

Hay muchas demostraciones del dichoso Teorema en la red, en libros…. es como un hobby matemático. Encontrarlas.

Incluso aquí tratamos el tema mostrando una clásica, de un tratado chino antiguo, que es la que vuelvo a presentar aquí, en versión Geogebra animado.  Aparece en el tratado chino de matemáticas Chou Pei Suan Ching o más en cristiano que entendamos todos El Clásico de la Aritmética sobre el Gnomón y los Caminos Circulares del Cielo escrito en el siglo III A.C

La recordamos:

Demostración china geométrica

Bonita imaginativa oriental

Me encanta esta demostración porque para fines didácticos es mucho más clara que la de Euclides. Qué demonios, para mí es la más simple y sencilla de todas las que he visto. Y además, de regalo, demuestra una identidad notable. ¡Qué más se puede pedir para usarla en clases de la ESO!

Hela acá. Como siempre, tenéis el link, y si no, pinchad en la bonita foto siguiente.

pitagoras2

 

Espero que la disfrutéis y que os sea de uso!!!

 

Simulador de caídas libres en GeoGebra

Pues nada, que me ha picado el gusanillo de programar cosillas útiles para variar. Pensando en mis futuras clases online, he decidido poner mi (poca) maestría con la programación para sacarme de la manga recursos didácticos útiles. En este caso, un simulador de caídas libres. Parece que funciona bien.

Como siempre, lo he colgado en GeoGebra Tube. Para usarlo, sólo hay que pinchar en el link éste o en la bonita afoto de continuación:

geogebra 1

 

He intentado hacerlo en tiempo real. Para ello, tomo en dos instantes la lectura del reloj del sistema en microsegundos y después de ahí saco un ciclo de un segundo. El problema es que no es que sea la panacea de la exactitud (se nota en la simulación un pelín, por ejemplo, siempre sobra algún julio de energía que otro) pero nada importante para su utilidad (ESO y Bachillerato).

Espero que al haberlo subido al server de GeoGebra Tube este mecanismo no falle. Lo acabo de probar y parece que va bien.

¡¡Que lo disfrutéis y si queréis usarlo para clases…adelante!!