Tirada de chapas

Las perras gordas que se lanzan en las chapas de semana santa

Las perras gordas que se lanzan en las chapas de semana santa

¡Hola a todos!

Volvemos a dar a esto de las matemáticas con una de las tradiciones más extrañas de la Semana Santa española, por lo menos en mi tierra de Castilla (aunque supongo que será más o menos igual en todas las comunidades): las chapas.

Siempre me intrigó este juego, pero de pequeño no recuerdo haber visto partidas en mi localidad natal, Aranda de Duero, pese a que mi padre insiste en que la gente apostaba (y ocasionalmente perdía) el coche o incluso la escritura de la casa. En Valladolid sé que se hacen, porque llegan estas fiestas y todo se llena de carteles anunciado partidas en bares y cafeterías, aunque nunca me había acercado. Sin embargo, este fin de semana, en el pueblo de mi novia, he podido ver partidas en los bares ya que Semana Santa es la única fecha donde las autoridades dan permisos especiales para organizar este juego tradicional (requiere de una licencia, tiene mala fama y está prohibido de forma normal).

Antes de meternos en harina con las matemáticas, diré a modo de apunte que indagando me he encontrado con que es una reminiscencia de la tradición de los soldados romanos de jugarse a los dados las pertenencias de un condenado a crucifixión. Lo digo porque imagino que muchos tendrán la misma duda que yo, a saber… ¿qué diantres tiene que ver un juego de azar con estas fechas? Pues ya lo sabéis.

En fin, para el que no lo conozca, las chapas es un juego de apuestas sobre cómo van a caer al suelo dos chapas (obvio), marcadas con caras y cruces (o lises). Hay dos clases de jugadores: uno hace de banca y apuesta una cantidad de dinero, y la segunda clase de jugadores apuesta contra ese banca. La banca gana si consigue doble cara, y sólo puede retirarse del juego si acumula tres dobles caras. En el momento en que saca doble cruz pierde (lo apostado y acumulado que llevara en esa partida) y si sale cara – cruz se repite el lanzamiento y nadie gana ni pierde.  Podéis encontrar una breve reseña en wikipedia aquí.

¿Es un juego fácil de ganar o no? Vamos a analizarlo desde el punto de vista de la banca. Para ello vamos a calcular la probabilidad de ganar en n tiradas de chapas (es decir, de ganar exactamente al cabo de 3, 4, 5 o 100 rondas).

Vamos a suponer que el jugador banca se retira del juego en el momento en que gana una partida (esto es, cuando alcanza las ansiadas tres dobles caras). Entonces tenemos:

  • n rondas con n mayor o igual que 3 (no tiene sentido tirar una sola vez o dos las chapas).
  • La probabilidad de ganar, sacar doble cara, es 1/4, la de perder (sacar cruz -cruz) es 1/4 y la de repetir o empatar en 1/2 (cara – cruz o alternativamente cruz – cara). Llamando G,E y F a ganar, empatar y fallar o perder, tenemos que P(G)=P(F)=1/4 y P(E)=1/2.
  • La última ronda que buscamos ha de ser ganada, que será cuando el jugador banca anuncie que se retira.

Entonces tenemos que lo que buscamos son las probabilidades de sacar:

chapas1

Entonces tenemos que la probabilidad buscada son todas las ramas del árbol que contengan (n-1) elementos, repartidos siendo 2 de ellos G (dos jugadas de doble cara) y el resto, (n-3), jugadas de empate llamadas E, ordenadas de cualquier forma, y que además acaben en una jugada G.

Es decir buscamos ramas de probabilidad:

chapas2

Siendo, efectivamente el primer multiplicando la probabilidad de sacar las dos jugadas de doble cara (las dos primeras G) , el segundo la probabilidad de los n-3 empates o repeticiones y la última la probabilidad de sacar la última y final jugada de doble cara.

Estas ramas del árbol aparecen en éste en un número igual al número de colocaciones de la secuencia de n-1 elementos G,E,E…. de las n-1 primeras tiradas (la última es fija y es G irremisiblemente). Se trata por tanto de permutaciones de estos (n-1) elementos con repetición, tomando las G dos veces y las E (n-3) veces.

Por tanto la probabilidad buscada son todas las ramas de esta forma, por lo que serán:

chapas3

Que es, efectivamente la probabilidad de ganar en la ronda n.

Si queremos calcular qué probabilidad hay acumulada de ganar en la ronda 3, 4,5,6  hasta la ronda infinita, es decir, qué probabilidad tengo de ganar una partida siendo banca si juego infinitas veces, hay que sumar el valor de esa expresión en n=3,n=4, n=5… hasta n=infinito.

Es decir:

 chapas4

Que no es algo trivial ni mucho menos. Es una progresión aritmético-geométrica de orden 2, ya que el numerador es una progresión aritmética de orden 2 y el denominador es una progresión geométrica normal y corriente. Resolverla es pesado pero no muy difícil. El truco está en desarrollar la serie tal cual y desarrollarla multiplicada por la razón de la geométrica (1/2 en este caso). Después se restan ambas y se agrupan por denominadores comunes. Quedan dos términos sin agrupar y el resto conforman una nueva progresión aritmético-geométrica de orden 1 (el numerador es de grado 1, vamos). Repetimos el proceso con ésta nueva y logramos obtener una progresión geométrica de la que calculamos su suma infinita. Sustituimos hacia atrás y voilá tenemos una expresión que si evaluamos en n tendiendo a infinito nos dará el valor de la serie original. ¿difícil? No, para nada. Veámoslo. Voy a calcular la suma sin arrastrar el 1/16 del principio para no enfangar el cálculo. Recordad que luego hay que añadirlo al final.

chapas5

Restando ambas expresiones obtenemos algo como:

chapas6

Repetimos el proceso para la subsuma que nos ha aparecido. Observad la iteración del proceso, en cada ronda aplicada el numerador baja un grado, de esta forma voy convirtiendo una aritmético-geométrica en una geométrica subyacente que sabemos resolver.

chapas7

Restando ambos y agrupando por denominadores comunes como antes llegamos a que:

chapas8

Ese último término entre paréntesis es una bonica progresión geométrica de razón 1/2, por lo que podemos calcular su suma infinita quedando:

chapas9

Entonces al llevarlo a infinito:

chapas10

Sustituyendo esto en la expresión de la suma y llevando la suma al infinito obtenemos que:

chapas11

Por lo que la expresión original es:

chapas12

Es decir, si juegas infinitamente, tendrás como banca 1/8 de posibilidades de ganar una vez la partida y retirarte con tus ganancias.

Como curiosidad os diré que si analizáis la expresión del principio veréis que ganar a la primera (tres veces seguidas GGG) es más difícil que ganar en 4 o 5 tiradas. De hecho, lo más probable si ganáis es que lo hagáis en la tirada 5 o 4. A partir de ahí las probabilidades de ganar la partida bajan cada vez más (por lo que la suma es convenientemente convergente).

Os dejo una gráfica con las posibilidades. Si hacéis de banca y pasáis de la quinta tirada sin haber sacado tres veces cara doble…comenzad a preocuparos….

chapasGrafico

doble cara…comenzad a preocuparos….

Esa vieja polémica de ciencias/letras

Leo en este artículo de El País de Jose Luis Pardo (filósofo), y que podéis encontrar aquí, una disertación sobre el “unánime consenso” acerca de la mayor dificultad de los estudios de ciencias (es decir, ingenierías varias, física, química y exactas por englobar algunas) sobre las de humanidades, vulgo letras, (filologías, derecho, periodismo, filosofía y letras). El autor pone en cuestión la existencia de esta diferencia de niveles. Siendo éste un blog de matemáticas y siendo un servidor ingeniero, me veo en la obligación de exponer a modo de réplica mi humilde punto de vista:

Naturalmente que las carreras de ciencias engloban más dificultad que las llamadas de letras. Y, naturalmente, ello no quita mérito ni a una ni a otras.

Y ahora, voy a argumentar.

El autor analiza la existencia de este consenso, y parte de la existencia de dos familias de razones; las cuantitativas y las cualitativas.  Normalmente, añade, los alumnos de ciencias tardan más en acabar sus estudios, y da tres posibles explicaciones a este sorprendente hecho:

  • Los alumnos de ciencias somos más torpes.
  • Los profesores de humanidades son más ignorantes y menos exigentes.
  • En ciencias se enseña peor que en humanidades.

Evidentemente, se deja en el tintero la que es la madre de las razones (pero no excluyente): las ciencias son más difíciles de asimilar y dominar que las letras. El análisis que Jose Luis Pardo hace de estas tres hipótesis que lanza son bastante buenas, si bien disiento un poco en calificar el bachillerato de humanidades como “el pelotón de los lerdos” donde van aquellos que no se tratan con las mates y la física; del mismo modo, digo yo, podríamos argumentar que a ciencias van aquellos que no se aclaren con la Historia o con la literatura, con sus metáforas y significados ocultos encerrados en sonetos. Esto, digo yo, no es cuestión de capacidad, es cuestión de habilidades y gustos. Y me extraña que el autor vea esta elección como un menosprecio, como un segundo plato. Es más, denota a mi juicio una infravaloración  de su propia rama del saber.

No obstante, son en las razones cualitativas donde el autor y un humilde servidor más diferimos. Se insiste, desde el artículo, que determinados conceptos filosóficos son, en esencia, tan dificultosos y complejos como la teoría de la relatividad u otros conceptos de carácter físico. De hecho, reta a demostrar este argumento. Yo creo poder exponer varios contraejemplos, pero primero prefiero exponer algunas cosillas:

Primero, el nivel de muchas licenciaturas de letras es sencillamente ridículo. Ojo, no digo que sean per se más fáciles, de momento. Digo lo que digo. Esto no es un consenso, es un hecho que apreciamos todos los estudiantes. Ciertas carreras como periodismo o filología hispánica son la chufla no sólo de ingenierías (que sí, que a veces tenemos demasiado autobombo), sino también de otras licenciaturas afines como clásicas, y esto es una revelación de primera mano de gente que ha cursado ambas ramas de filología. Y curiosamente, estos dos ejemplos agrupan a un amplio porcentaje de los alumnos de humanidades. En general, el nivel medio es bajísimo en estos campos ¿No os habéis dado cuenta nunca del gran número de erratas, falta de expresión y faltas ortográficas que hay en los medios de comunicación? En Europa los ingenieros, matemáticos, médicos, enfermeras y físicos españoles son bastante solicitados. No parece ocurrir lo mismo con periodistas o filólogos por lo que he visto en anuncios de demanda de empleo. No obstante, evidentemente la chufla del currículo y el nivel de conocimientos no son, ni por asomo, equivalentes a los de la gran estafa universitaria de España; la carrera de magisterio, a cuyos alumnos he dado clase, con los que he estudiado (en Valladolid teleco y magisterio están pegadas) y cuyas asignaturas he cursado (en libre configuración y donde vi por cierto a chicas de 19 años que no sabían sumar fracciones con diferente denominador). No obstante, y en justicia, no sé en qué paquete insertar el grado de magisterio, si en letras o en ciencias, asi que lo dejaré correr.

De vuelta al artículo de El País, debo decir que la gran diferencia que hace a la matemática más difícil que la filosofía por poner un ejemplo es que una es exacta y ha evolucionado, teniendo todavía milenios de desarrollo. Es un edificio que nunca acabará. Sin embargo, ¿qué es la filosofía? Inútil no, desde luego. Pero tampoco difícil. Es terriblemente poco precisa, laxa, simplona para los estándares científicos actuales. Cualquiera con conocimientos de física puede entender sin muchas dificultades conceptos como los juicios de Kant o las diatribas de Hume con la causalidad. No es tan complicado. Ahora, reto yo, probemos al revés. A ver qué pasa cuando un filósofo tenga que explicarme detenidamente y con precisión matemática la solución de la paradoja de Aquiles y la Tortuga. O el Hotel de Hilbert. O Topología. Y no hablo de vaguedades, sino de una explicación rigurosa. El afán que tuvo la primigenia filosofía de abarcar todo aspecto del saber (fue de hecho, madre de las ciencias) es su propia tumba. Privada por la física de su posición para explicar el mundo, la filosofía ha devenido reducida a la ética a lo largo de este último siglo. Y ahí los conceptos por norma general son sencillos de entender (otra cosa es resolver, si se puede, las paradojas éticas).

Por último no quiero dejar en el tintero la razón clave de la mayor dificultad de las ramas científicas y técnicas; tenemos que ser rigurosos, hemos de saber y entender, pero también tenemos que resolver y/o demostrar. La intuición necesaria para ello se puede guiar y desarrollar, pero no adquirir sólo por memorizar conceptos o relacionarlos. En matemáticas existen las ideas felices (Arquímedes y su Eureka, esas cosas…), y llegar a eso conlleva, normalmente, más tiempo que empollarte el Derecho Romano o qué pensaba Kant sobre la filosofía de Descartes. Por cierto…¿Cuántos filósofos pueden entender el tercer libro del Discurso del Método dedicado a la Geometría?.

No quiero subestimar la importancia de las Humanidades hoy en día (son muy muy muy necesarias), ni poner en plano superior a los alumnos de ciencias sobre los de letras. Pero, y esto es importante, de la misma forma que no es igual de fácil conducir un camión con dos remolques que un utilitario, no todos los estudios poseen de base la misma dificultad. Niet. Nein. No. Y al igual que los coches y los camiones, eso no significa que uno de ellos tenga que tener más derechos o estima por parte de la sociedad en la carretera.

 

ni Mu ni Teta ni nada de eso

Los ingenieros (sobre todo) y en menor medida, matemáticos y físicos, tienen (tenemos) la fea costumbre de llamar a las letras griegas sin orden ni concierto. Eso es un hecho. ¿Quién no ha acabado llamando igual a Fi (Φ, φ) y a Psi (Ψ, ψ), o ha bautizado como Chi (que no existe) a Ji (Χ χ) (recordad a ver cuántas veces un profesor os ha escrito método de Chi-Cuadrado, por ejemplo). Eso sin contar con aberraciones que yo he usado y sigo usando, como llamar borrego o churrito por su maldita grafía a Xi (Ξ, ξ) cuando aparece en minúscula, un habitual en la electromagnética (es el vector de Poynting, creo recordar).

Y qué decir de la manía de usar este convenio no escrito por profesionales de ciencias (y repito, me incluyo): Si no sabes qué letra griega es, llámala Teta, Zeda, o Theta o cualquier nombre parecido, que seguro que cuela.

¿A santo de qué viene ésto? Bueno, es una polémica que tengo con cierta persona de filología clásica desde hace años, cuando vio que en el Código Técnico de la Edificación (biblia de aparejadores, arquitectos e ingenieros de obras públicas y demás) aparecía la letra (Μ, μ) con el nombre que le damos todos los que hemos estudiado física desde el bachillerato, es decir, MU.

No os podéis imaginar lo que se enfadó. Y mucho. De hecho, hoy en día se lo cuenta a sus alumnos de bachillerato, los cuales se ríen mucho con la anécdota. No quiero ni pensar qué hubiera pasado si hubiera echado un ojo a mis apuntes de campos electromagnéticos, por ejemplo, donde en todas las fórmulas se llama a la dichosa letrita así.

Me sorprendió descubrir este error. Y señoras y señores, tenemos que admitirlo. Tooooooooodas estas cosas:

  • Unidades de medida
    • El prefijo micro, carácter micro o símbolo micro del SI, que representa una millonésima, o 10-6 parte de otra unidad.
    • El micrón, una antigua unidad correspondiente al micrómetro (μm).
  • Física
    • En Dinámica, el coeficiente de rozamiento
    • En Electromagnetismo, la Permeabilidad magnética
    • En Mecánica de fluidos, la Viscosidad dinámica.
    • En Física de partículas, La partícula elemental muon.
    • La masa reducida en el problema de dos cuerpos.
  • Termodinámica
    • El potencial químico de un sistema.
  • Matemáticas
    • En teoría de números, la Función de Möbius
    • En probabilidad y estadística, la media o valor esperado de una distribución.
    • En Teoría de la medida, una medición.

Representadas por la letra griega (Μ, μ) NO se llaman MU, sino…. MI.

Comparto con vosotros el correo que me ha mandado a título de cachondeo ante mi negativa (vencida ya) de no llamar a mi vieja MU como es debido, o sea, MI:

mu es mi

Así que ya sabéis. Ni Teta, que no existe (lo siento por la combinación de Seno de Teta, que con la unión PN de electrónica ha dado para muchos chistes fáciles), ni MU porque no somos vacas. Así que a cambiar el chip toca.

 

Ya sólo me queda descubrir la vieja polémica que teníamos en la Politécnica…. ¿se dice Ohmios u Ohmnios? Espero respuestas, si alguien lo sabe…

Tamaños del tetrabrik y un nombre equivocado… o no

Una de las cosas que más sorprenden a los chavales de la ESO es que se piensan que el mundo siempre ha sido así, y que todo ha existido de forma ininterrumpida desde hace muuucho tiempo hasta nuestros días. No es algo exclusivo de ellos, seguramente nosotros también pensábamos así cuando teníamos su edad, pero es curioso.

¿A qué viene esto? Pues a responder a una pregunta que me ha hecho un alumno hoy, a saber. ¿Por qué se llaman tetrabriks a las cajas de leche?

Es una pregunta muy interesante. Wikipediando, podéis encontrar la historia del recipiente que desplazó a los lecheros y sus botellas de cristal.

En resumen, el tetrabrik es un invento sueco (como IKEA) que en su inicio no presentaba la forma de hoy sino que era…. Un tetraedro. Y de tetraedro, tetrapak, viene la manera de llamarlo tetrabrik.  Brick es ladrillo en inglés, tetra es cuatro… muy simpáticos estos chicos con el marketing ¿verdad?.  ¿Por qué esa forma? Realmente, los construían así por limitaciones tecnológicas de la época. Resultaba tremendamente barato hacer recipientes así porque bastaba con coger una lámina de material, hacer un cilindro y doblarlo chafando sus bases como si fuera un sobre tridimensional. Ello compensó de alguna forma las desventajas que este tipo de formato tenía, como ahora veremos.

Fuente: desmotivaciones.es

Fuente: desmotivaciones.es (y sí, sabemos de dónde viene el nombre por las matemáticas y el griego)

¿Por qué se dejaron de fabricar con esta curiosa forma? Bueno, por una razón fundamental. La relación área-volumen de esta figura es mala. O eso he leído por ahí. Dicho más claramente, hace falta más material para construir un tetraedro que almacene un volumen de 1 litro, que para construir la opción lógica, un ortoedro. Así, si comparamos, para un litro (1 decímetro cúbico) haría falta un tetraedro regular de arista de 2 dm y por tanto un área de 7.20 decímetros cuadrados aproximadamente, por los 7 dm decímetros cuadrados de un tetrabrik normal de los de hoy en día o los 6 decímetros cuadrados necesarios si habláramos de un hexaedro.

pero espera…PARA UN MOMENTO. No hay tanta diferencia entre las áreas de un tetrabrik de hoy día con los tetraedros antiguos. Sí habría ahorro si los briks fuese hexaedros, es decir, igual de altos que anchos que profundos.

Lo que nos lleva a la pregunta… ¿Por qué son los tetrabrik del tamaño que son? ¿Es azar? ¿Es una conspiración?¿Es matemáticas?¿Es influencia Annunaki y de los elfos de las estrellas? Echémosle un ojo a todo esto.

Es verdad que la forma del ortoedro es superior en términos de almacenaje sobre la del tetraedro… aunque sólo sea porque permite apilar unidades de forma cómoda, cosa más peliaguda con el cuerpo de cuatro lados. Y no deja espacios entre diferentes briks. Pero eso sólo explica por qué hacerlos con esa forma. No dice nada de las dimensiones. Es más, si el ahorro de material es con el hexaedro… ¿Por qué no hacerlos con esa forma?

Yo no lo sé. Pero he trasteado un poco mareando unos pocos números, a ver qué descubría. Por tanto, lo que viene a continuación es pura especulación mía. Igual los hacen así porque le gustaban al director de ventas. Pero le he intentado buscar una cierta lógica, a ver si la tiene.

¿Os acordáis del número de oro? Aquella divina proporción que aparece en el márketing por doquier porque permite formas bellas. Nuestro amigo FI (del escultor Fidias, por cierto). La proporción áurea.

Pues aquí va a aparecer.

Imaginemos que queremos hacer un tetrabrik bello usando la divina proporción, que es, recordemos todos:

tetrabrik1

Que es la relación entre el lado y la diagonal del pentágono regular y una de los fiascos de los amigos de la secta pitagórica.

Bueno, pues queremos construir nuestro tetrabrik de dimensiones a x b x c siguiendo esto:

tetrabrik3

Es decir, con estas especificaciones:

tetrabrik4

Demos valores a estas expresiones a ver con qué valor de c (y por ende, de b y a) logramos tener un volumen de 1 litro (las dimensiones estarán por tanto en decímetros)

c b a Volumen
0.1 0.16 0.26 0.004
0.2 0.32 0.53 0.033
0.3 0.48 0.78 0.114
0.4 0.64 1.04 0.271
0.5 0.81 1.31 0.530
0.62 1.00 1.62 1.001
0.7 1.13 1.83 1.453

Con unas dimensiones de 0.62 x 1.00 x 1.62 dm logramos tener un litro. No merece la pena irse a 0.7 x 1.13 x 1.83 porque ahí el volumen ya es bastante más de un litro… casi casi estamos ya en el litro y medio.

Pues ya está, ¿no?. Los fabricantes quieren envases de 1 litro. Pues no. Los fabricantes quieren (o deberían querer) bonito, de 1 litro y barato. Y no hemos garantizado que nuestro brik sea barato ¿Qué debemos hacer? Pues relajar un poco las estrictas condiciones del problema, que es algo muy matemático. Ya tenemos que el lado pequeño ha de ser 0.62 dm, ¿no? Bueno, pues calculemos las dimensiones de los otros dos lados. Nos saldrán muy parecidas a las obtenidas aquí, porque queremos un volumen ligeramente mayor.

Alguien podrá decir, avispado él, que es una bobada dejar dos parámetros como b y a libres, porque nos complica el problema, y que sería más lógico dejar c y b fijos y aumentar un poco el tamaño de a. Bien, es una opción. Pero yo dejo los dos parámetros libres porque quiero imponer otra condición como fabricante. Ahora que ya sé cómo hacerlos bonitos usando la proporción aurea… quiero que usen la menor cantidad de material posible, aún a costa de que salgan un pelín más feotes. Quiero, por tanto, que su área sea mínima.

Lo que conlleva derivar el área buscando el punto donde es mínima.

Reescribimos la fórmula del área imponiendo que el volumen ha de ser 1 decímetro cúbico y que el lado c ha de ser 0.6 decímetros y queda:

tetrabrik5

Si derivamos e igualamos a cero obtenemos un mínimo en…

 

tetrabrik6

Entonces b=1.27 dm y a=1.27 dm

Lo que nos lleva a que las dimensiones serán de 1.27 x 1.27 x 0.62 decímetros. Qué lástima. No parece que la optimización del área a usar sea un criterio empleado…Comparémoslas con las de un tetrabrik normal y corriente real y con las medidas obtenidas para un brik áureo:

CASO DEL BRIK CON PROPORCIÓN ÁUREA

c b A Volumen
0.62 dm 1.00 dm  1.62 dm 1 litro exacto

 

CASO DEL BRIK OPTIMIZADO

C b a Volumen
0.62 dm 1.27 dm 1.27 dm = 1 litro exacto

 

CASO DEL BRIK REAL

c b A Volumen
0.62 dm 0.91 dm 1.93 dm > 1 litro (1.09 litros)

 

Conclusiones: Parece ser que el tamaño del brik está un poco más relacionado con la proporción áurea o el deseo sencillamente de hacer un embalaje bonito que en lograr la eficiencia en el área de material empleado. No obstante, tampoco hay tanta diferencia en este aspecto, ojo, que los suecos bobos no son. De hecho:

Brik áureo 6.51 dm cuadrados
Brik óptimo 6.37 dm cuadrados (mínimo)
Brik real 6.62 dm cuadrados

La diferencia es de sólo unos 0.25 decímetros cuadrados de material, es decir, aproximadamente 5 x 5 centímetros. Muy poco. A cambio, el brik real cumple ser más armonioso con el ideal del áureo. Es más bonito que el óptimo. Y tiene un volumen un poco mayor que 1 litro.

Por último, hay que tener en cuenta además que el brik real está sobredimensionado en su altura para proteger el contenido de apilamientos excesivos, golpes, que el brik se chafe o arrugue, (y esto por apilarlos suele ocurrir por arriba). Asimismo, para que no explote por cambios en el volumen de su contenido, que como todo líquido tiende a variar de volumen con cambios en la presión o la temperatura. (y si no, meted una botella de agua en el congelador, veréis que risa… )

Para que quede constancia de lo que digo, sería algo así:

CASO DEL BRIK REAL SIN ALTURA EXTRA DE SEGURIDAD

c b A Volumen
0.62 dm 0.91 dm 1.77 dm 1 litro exacto

Ello explica (en parte) que tenga ese valor de altura. Realmente da un volumen de 1.08  litros. Con 1.6 centímetros menos, saldría un volumen de 1 litro redondo. Pero eso nos sigue dejando unas dimensiones teóricas de 0.62 x 0.91 x 1.77 dm. Un valor bastante cercano al áureo aunque no idéntico.

En definitiva, no sé exactamente por qué los tetrabriks tienen estas dimensiones. Tiene que haber algún otro factor que no hayamos visto como el material que se pierde en los dobleces (quizás sea la clave de que quede más delgado, optimizar todo el material, incluyendo los dobleces que aquí he obviado), aunque está claro que su diseño es más una concesión a que quede bonito que al ahorro en sentido estricto del material. Si no fuera así, nuestros briks serían más anchos (1 cm) y más bajitos.

Por lo menos dejaron de fabricarlos con forma de dado de rol de 4 caras. Algo es algo.

Consuelo matemático para solitarios en San Valentín ( o no…)

Proposición para animar a aquellos que no tienen pareja o que se sienten tristes en San Valentín (¿de verdad hay gente así?). En fin.

Sea P el conjunto de las personas del mundo. Sea ♡ una aplicación tal que:

valentin1

el problema es que nadie te garantiza que si esto se cumple, se vaya a cumplir que: valentin2

¿O sí? Porque de esa respuesta depende que esto sea un consuelo o no, claro….

Espero os guste esta pequeña coña en este tan, tan, tan pastelazo día ^^

¿El Último Teorema de Fermat solucionado por Homer Simpson?

Buenas y casi, casi, feliz año nuevo.

Resulta que estas navidades me han regalado un librito que condensa mi amor a las matemáticas con mi amor al frikismo en estado puro. En concreto, a un frikismo muy particular. Me refiero a Los Simpson, esa gran enciclopedia social del siglo XX (y XXI).

En concreto me ha regalado una joya titulada “Los Simpson y las Matemáticas” de Simon Singh. Apenas he comenzado un par de capítulos y ya puedo decir que mi anterior entrada relacionada con el Frinkaedro era sencillamente rascar en la capa de enjundia que tiene la temática en sí. Esta entrada es un homenaje al libro y una gamberrada con todas las de la ley. Asi que antes de nada, por favor, si no conocéis el teorema más famoso de Fermat, pinchad aquí antes de seguir. Gracias.

¿Qué tiene que ver Homer con dicho teorema? Pues que es una de las múltiples referencias matemáticas que plagan la serie, y encima en capítulos míticos, aquellos que tipejos como yo nos sabemos prácticamente de memoria, y no esos nuevos tan raros que han abandonado el espíritu original de la serie y perdido parte de su mordiente. Pero me estoy desviando, sin duda. Centremos el tema y el capítulo.

Según “Los Simpson y las Matemáticas”, en el capítulo en el que Homer intenta emular a Edison, en la pizarra que Homer escribe al intentar inventar algo, escribe esto:

homer y fermat

Centrémonos en esta expresión:

fermat 1

Muchos diréis: ¿y qué? Pues una igualdad como cualquier otra. Vale. Coged una calculadora. Haced la prueba. A ver qué os da.

A mí me da en mi vieja Casio: 6.397665635 exp 43 al hacer la suma de potencias y lo mismo al introducir el término de la derecha. O sea que coinciden. O si lo preferís haced la raíz doceava de la suma de la izquierda. Os dará irremisiblemente el 4472.

Posiblemente estéis pensando: “Pues vaya rollo las mates. Hemos hecho una cuenta”. Y de un número monstruoso, por cierto.

Y tendríais razón….. si no fuera porque….

…..Si no fuera porque Fermat enunció en el siglo XVII que no existen valores enteros para x,y,z que verifiquen para un n entero mayor que 2 la expresión:

fermat 2

Dicho a lo bruto, para que nos entendamos. ¿Recordáis el Teorema de Pitágoras? Bueno, pues si cambiamos el exponente de 2 de ese teorema a cualquier otro número natural mayor, no hay solución posible con enteros. Lo asombroso es que esto que parece tan trivial y tontorrón tardó más de 3 siglos en demostrarse. Concretamente lo demostró Andrew Wiles en 1995.

Pero volvamos a la pizarra de Homer… Hay algo que no cuadra entonces. ¿Han encontrado los guionistas de Los Simpson un contraejemplo que determina que Fermat se equivocaba? ¿Es el Teorema una patraña? ¿Está Homer en lo cierto?Parece que sí, pero…. En el fondo es que la calculadora nos engaña.

La expresión que Homer ha escrito no es verdad. Ambos términos no son iguales. Son sólo parecidos. Tan parecidos, que la calculadora no puede mostrar en su pequeña pantalla la diferencia entre ambos números y nos parecen iguales. El resultado que nos ha mostrado es 6.397665635 exp 43, que significa 6397665635 y 34 ceros detrás. Un número MUY grande. El otro término aparentemente sale igual, pero lo que ocurre es que en alguna cifra de las 34 que no caben en la pantalla ambos resultados difieren. Es como si tu calculadora trabajara mostrándote sólo a partir de la cifra de los millones. Entonces en esa calculadora la operación tres millones más noventa mil te daría lo mismo que tres millones más novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve.

Lo correcto sería que Homer hubiera escrito:

fermat 3

 Ya que sí, efectivamente, ambos términos son tremendamente parecidos. De hecho si lo hacemos con un ordenador y tomamos un número considerable de cifras significativas, se descubre el pastel: concretamente podéis comprobar que:

fermat 4

O sea, parecido…pero no igual. No exacto.  El honor de Fermat sigue intacto.

Es fácil aproximar soluciones al Teorema de Fermat con ayuda de un ordenador y paciencia. Yo por mi parte lo he hecho con un script de Geogebra trabajando con unas 15 cifras decimales y aunque no he apurado tanto (he usado una cota de error de 0.001 o similar en la mayor parte de los casos, para no tardar tanto), he obtenido también una serie de soluciones “casi casi” (que evidentemente NO son soluciones, puesto que NO son exactas). Por ejemplo:

X Y Z aproximada Z exacta N
2845 3478 3503 3502.9999 12
16281 18211 18566 18566.0092 12
4047 5475 5487 5486.9936 12
3134 2975 3248 3248.0058 12
1533 1122 1543 1542.999993 9
2774 4310 4319 4319.0005 9
3124 4403 4492 4492.000039 6
2176 1356 2339 2339.0091 3
1155 703 1236 1235.9990 3

Que si comprobáis con la calculadora comparando ambos términos del Teorema de Fermat son muy muy malas aproximaciones, ya que en la pantalla se llega a apreciar que dan resultados ligeramente diferentes. La solución de Homer no es tal (es imposible que lo sea) pero sí que es una muy muy muy muy buena aproximación. Mucho mejor que cualquiera de estas mías. De hecho, yo he obtenido las mías en pocos minutos de simulación, pero cuando he querido bajar la cota de error por debajo de las diezmilésimas, no ha habido forma en media hora de que el PC encontrara alguna en el rango entre 3 y 10000 para las bases y fijando el 6 (por ejemplo) como exponente. Imagino que el ordenador redondea y pierdo la posibilidad de apurar tanto como los guionistas de Los Simpson. Por tanto me he conformado con algunas peores que las de Homer. (También he evitado hacer trampa, descartando soluciones como 9990 elevado a la doce más 2 elevado a la doce, que evidentemente es una cuasi solución ya que ambos números son muy dispares entre sí. He buscado soluciones parecidas a las de la pizarra del capítulo.)

Evidentemente la gracia de los guionistas estaba en sacar una expresión que pudiera traer de cabeza a aquellos que la comprobaran con la calculadora sin tener en cuenta el grado de precisión de la misma. Que no es poco.

El resto de la pizarra tiene curiosidades referentes a la densidad del universo y la necesidad de que en base a ésta el Universo explosione o implosione (lo que lleva a sendas explosiones en el hogar de los Simpson y a que Homer cambie el > por un <, pero eso ya es otra historia. Otra historia que por cierto viene en el magnífico libro del que os hablaba al principio del post y que sinceramente, os recomiendo.

Pokémon exponencial apareció!!!!

Pues eso. Que estoy con la oposición de secundaria a tope. Estaba buscado un poco de información sobre las diferencias finitas para el tema de las sucesiones y las progresiones (adornarlo un poco, ya sabéis) y me he topado (que no tiene nada que ver) con ésto:

pokemon

Uno es más de la generación de Bola de Dragón Z y tal que de Pokémon pero como tengo un hermano pequeño y una vieja GameBoy (de las originales) pues no me es tan tan distante el asunto de las mascotas guerreras éstas, jeje. Y me ha hecho mucha gracia.

¿En dónde reside la gracia? Pues en que la exponencial (una potencia de base el número irracional “e” y la variable independiente en el exponente) es una función cuya derivada es… ella misma. Por tanto, aplicar un diferencial de x a una función exponencial …. no es que sea poco efectivo, es que directamente no hace nada.

Esta curiosa propiedad da pábulo a muchos chistes matemáticos (sí, los tienen, como los médicos se ríen de objetos atascando orificios comprometidos o los ingenieros y sus canciones). Algunos ejemplos brillantes los tenemos aquí, aquí y especialmente friki el Himno de Teleco).

Volviendo a la exponencial, seguramente el chiste por antonomasia es el de la fiesta de las funciones:

Érase una vez que las funciones organizaron una fiesta. Allí estaba el seno charlando con el coseno (desfasaba ya un poco), la función lineal, la parábola, el logaritmo y en esas una función solitaria, que no hablaba con nadie; la exponencial de x, que estaba solita bebiendo un refresco sin participar. En esto que se le acerca la función constante y le dice ” tío, no seas tan muermo. Ven con nosotros, intégrate”. A lo que la exponencial le respondió “¿para qué? me va a dar lo mismo….”

 

Para que luego digan que las matemáticas no tienen su puntito gracioso, oye…