Tirada de chapas

Las perras gordas que se lanzan en las chapas de semana santa

Las perras gordas que se lanzan en las chapas de semana santa

¡Hola a todos!

Volvemos a dar a esto de las matemáticas con una de las tradiciones más extrañas de la Semana Santa española, por lo menos en mi tierra de Castilla (aunque supongo que será más o menos igual en todas las comunidades): las chapas.

Siempre me intrigó este juego, pero de pequeño no recuerdo haber visto partidas en mi localidad natal, Aranda de Duero, pese a que mi padre insiste en que la gente apostaba (y ocasionalmente perdía) el coche o incluso la escritura de la casa. En Valladolid sé que se hacen, porque llegan estas fiestas y todo se llena de carteles anunciado partidas en bares y cafeterías, aunque nunca me había acercado. Sin embargo, este fin de semana, en el pueblo de mi novia, he podido ver partidas en los bares ya que Semana Santa es la única fecha donde las autoridades dan permisos especiales para organizar este juego tradicional (requiere de una licencia, tiene mala fama y está prohibido de forma normal).

Antes de meternos en harina con las matemáticas, diré a modo de apunte que indagando me he encontrado con que es una reminiscencia de la tradición de los soldados romanos de jugarse a los dados las pertenencias de un condenado a crucifixión. Lo digo porque imagino que muchos tendrán la misma duda que yo, a saber… ¿qué diantres tiene que ver un juego de azar con estas fechas? Pues ya lo sabéis.

En fin, para el que no lo conozca, las chapas es un juego de apuestas sobre cómo van a caer al suelo dos chapas (obvio), marcadas con caras y cruces (o lises). Hay dos clases de jugadores: uno hace de banca y apuesta una cantidad de dinero, y la segunda clase de jugadores apuesta contra ese banca. La banca gana si consigue doble cara, y sólo puede retirarse del juego si acumula tres dobles caras. En el momento en que saca doble cruz pierde (lo apostado y acumulado que llevara en esa partida) y si sale cara – cruz se repite el lanzamiento y nadie gana ni pierde.  Podéis encontrar una breve reseña en wikipedia aquí.

¿Es un juego fácil de ganar o no? Vamos a analizarlo desde el punto de vista de la banca. Para ello vamos a calcular la probabilidad de ganar en n tiradas de chapas (es decir, de ganar exactamente al cabo de 3, 4, 5 o 100 rondas).

Vamos a suponer que el jugador banca se retira del juego en el momento en que gana una partida (esto es, cuando alcanza las ansiadas tres dobles caras). Entonces tenemos:

  • n rondas con n mayor o igual que 3 (no tiene sentido tirar una sola vez o dos las chapas).
  • La probabilidad de ganar, sacar doble cara, es 1/4, la de perder (sacar cruz -cruz) es 1/4 y la de repetir o empatar en 1/2 (cara – cruz o alternativamente cruz – cara). Llamando G,E y F a ganar, empatar y fallar o perder, tenemos que P(G)=P(F)=1/4 y P(E)=1/2.
  • La última ronda que buscamos ha de ser ganada, que será cuando el jugador banca anuncie que se retira.

Entonces tenemos que lo que buscamos son las probabilidades de sacar:

chapas1

Entonces tenemos que la probabilidad buscada son todas las ramas del árbol que contengan (n-1) elementos, repartidos siendo 2 de ellos G (dos jugadas de doble cara) y el resto, (n-3), jugadas de empate llamadas E, ordenadas de cualquier forma, y que además acaben en una jugada G.

Es decir buscamos ramas de probabilidad:

chapas2

Siendo, efectivamente el primer multiplicando la probabilidad de sacar las dos jugadas de doble cara (las dos primeras G) , el segundo la probabilidad de los n-3 empates o repeticiones y la última la probabilidad de sacar la última y final jugada de doble cara.

Estas ramas del árbol aparecen en éste en un número igual al número de colocaciones de la secuencia de n-1 elementos G,E,E…. de las n-1 primeras tiradas (la última es fija y es G irremisiblemente). Se trata por tanto de permutaciones de estos (n-1) elementos con repetición, tomando las G dos veces y las E (n-3) veces.

Por tanto la probabilidad buscada son todas las ramas de esta forma, por lo que serán:

chapas3

Que es, efectivamente la probabilidad de ganar en la ronda n.

Si queremos calcular qué probabilidad hay acumulada de ganar en la ronda 3, 4,5,6  hasta la ronda infinita, es decir, qué probabilidad tengo de ganar una partida siendo banca si juego infinitas veces, hay que sumar el valor de esa expresión en n=3,n=4, n=5… hasta n=infinito.

Es decir:

 chapas4

Que no es algo trivial ni mucho menos. Es una progresión aritmético-geométrica de orden 2, ya que el numerador es una progresión aritmética de orden 2 y el denominador es una progresión geométrica normal y corriente. Resolverla es pesado pero no muy difícil. El truco está en desarrollar la serie tal cual y desarrollarla multiplicada por la razón de la geométrica (1/2 en este caso). Después se restan ambas y se agrupan por denominadores comunes. Quedan dos términos sin agrupar y el resto conforman una nueva progresión aritmético-geométrica de orden 1 (el numerador es de grado 1, vamos). Repetimos el proceso con ésta nueva y logramos obtener una progresión geométrica de la que calculamos su suma infinita. Sustituimos hacia atrás y voilá tenemos una expresión que si evaluamos en n tendiendo a infinito nos dará el valor de la serie original. ¿difícil? No, para nada. Veámoslo. Voy a calcular la suma sin arrastrar el 1/16 del principio para no enfangar el cálculo. Recordad que luego hay que añadirlo al final.

chapas5

Restando ambas expresiones obtenemos algo como:

chapas6

Repetimos el proceso para la subsuma que nos ha aparecido. Observad la iteración del proceso, en cada ronda aplicada el numerador baja un grado, de esta forma voy convirtiendo una aritmético-geométrica en una geométrica subyacente que sabemos resolver.

chapas7

Restando ambos y agrupando por denominadores comunes como antes llegamos a que:

chapas8

Ese último término entre paréntesis es una bonica progresión geométrica de razón 1/2, por lo que podemos calcular su suma infinita quedando:

chapas9

Entonces al llevarlo a infinito:

chapas10

Sustituyendo esto en la expresión de la suma y llevando la suma al infinito obtenemos que:

chapas11

Por lo que la expresión original es:

chapas12

Es decir, si juegas infinitamente, tendrás como banca 1/8 de posibilidades de ganar una vez la partida y retirarte con tus ganancias.

Como curiosidad os diré que si analizáis la expresión del principio veréis que ganar a la primera (tres veces seguidas GGG) es más difícil que ganar en 4 o 5 tiradas. De hecho, lo más probable si ganáis es que lo hagáis en la tirada 5 o 4. A partir de ahí las probabilidades de ganar la partida bajan cada vez más (por lo que la suma es convenientemente convergente).

Os dejo una gráfica con las posibilidades. Si hacéis de banca y pasáis de la quinta tirada sin haber sacado tres veces cara doble…comenzad a preocuparos….

chapasGrafico

doble cara…comenzad a preocuparos….

Expliquemos bien Bayes y su Teorema

Thomas Bayes fue un matemático británico del siglo XVIII que enunció un curioso teorema de esos que son feos formalmente pero realmente muy cómodos en su aplicación. Y se basa en el análisis de las probabilidades de las causas observando los efectos.

He aquí el archiconocido y sumamente mal interpretado a veces Teorema de Bayes:

Sea la terna (W,F,P) un espacio probabilístico. Sea A1,A2 …. An un sistema completo de sucesos, y sea el suceso B. La probabilidad de que ocurra un determinado Ak condicionado a que haya ocurrido B es:

teorema de bayes

 

 

Es un teorema de esos feos, feos en su enunciado pero muy simples, como vamos a analizar, en su uso. Para ello aclaremos algunos conceptos:

  • P(A/B) significa probabilidad de que ocurra A a condición de que haya ocurrido B. Y al revés, P(B/A) pues obviamente significa la probabilidad de que ocurra B a condición de que haya ocurrido A.
  • Un sistema completo de sucesos es un conjunto de sucesos que cumplen dos propiedades que se pueden resumir así: Si consideramos todos ellos no dejamos ningún caso fuera (es decir, todos agrupan el 100% de las probabilidades, todas las opciones) y no se pisan unos con otros, es decir, no hay manera de que dos o más sucesos ocurran a la vez. Por ejemplo un sistema completo de sucesos es  DIA y NOCHE, o en un dado de seis caras que salgan PAR y que salga IMPAR; cubrimos todas las posibilidades y no se solapan. No hay DÍA y NOCHE a la vez y no hay PAR e IMPAR a la vez. Obviamente no han de ser opuestos siempre, pero pasa muy a menudo.
  • El Teorema de Bayes sirve para analizar las probabilidades de las causas una vez ha ocurrido una determinada consecuencia. Dicho de otra forma, si ha ocurrido B, Bayes te dice qué posibilidad hay de que haya sido bajo efecto o influjo de A1 o A2 o un Ak cualquiera.
  • Interpretarlo es muy muy fácil. Tenemos que primero ocurren una colección de sucesos (Ak) y luego, después de cada uno de ellos puede ocurrir B o no ocurrir. Vamos a preguntarnos qué probabilidad hay de que si ha ocurrido B hhaya sido bajo influencia de A1. Veamos el diagrama de árbol:

bayes1

Apliquemos la regla de Laplace que todo el mundo conoce, ya sabéis, la probabilidad de que pase un suceso es el cociente entre casos favorables y casos totales.

La probabilidad P(A1/B) es la probabilidad de que pase A1 sabiendo que ha pasado B. Luego la rama a favor del árbol es claramente la marcada en el dibujo.

¿Cuáles son los casos totales? Sencillo. NO es todo el árbol, dado que sabemos de forma fehaciente que B ha ocurrido. Es por eso que los casos totales son la suma de todas las ramas del árbol que acaban en B, sólo y exclusivamente esos. Es decir, P(A1)P(A1/B)+ P(A2)P(A2/B)+…+ P(An)P(An/B). Viendo el diagramas, los caminos verdes marcados en el dibujo siguiente.

bayes2

Ahora comparad este razonamiento con la fórmula del Teorema de Bayes. Realmente, es aplicar la Regla de Laplace con mucha imaginación. Numerador es la rama roja (a favor) y denominador es la suma de todas las ramas verdes (casos totales). El teorema NO viene de la Ley de Laplace (más que nada porque y para pasmo de mucha gente, el bueno de Bayes es anterior unos 50 años al genio francés), sino que se deduce del Teorema de la Probabilidad Total y la propia definición de probabilidad condicionada. Pero no negaréis que así se ve mucho mejor que saberse de memoria la fórmula, ¿no?.

Y mucho ojo, porque este teorema permite analizar cosillas que si se toman a la ligera, rápidamente, pueden dar lugar a equívocos. Por ejemplo, supongamos que un fabricante de pruebas para corroborar si se tiene una enfermedad dice que “su test acierta en las pruebas realizadas a enfermos diagnosticados en el 95% de los casos”. Ahora pregunto….

¿Detecta realmente bien la presencia de enfermedad?

Si pensáis que sí, volved a leerlo detenidamente. ¿El truco? Muy sencillo: el fabricante asegura que acierta en el 95% de las pruebas con enfermos, pero…. ¿qué sabemos de las posibilidades de acertar al aplicarlo a alguien sano? Es decir, a mi no me gustaría que me dijeran que tengo una enfermedad cuando realmente no la tengo. Éste es un punto importante, clave. Para saber si el método es fiable no basta con saber cuántas veces acierta al aplicarlo a enfermos. También necesitamos saber cuándo acierta al aplicarlo a sanos.

Es decir, si queremos saber cuán fiable es, lo que queremos es saber qué probabilidad hay de que tengamos esa enfermedad cuándo el método dice que la tenemos y qué probabilidad hay de no tenerla cuándo el método dice que no la tenemos.

¿Vemos la implicación de Bayes? Supongamos:

  • A1 es el suceso “tener la enfermedad”. A2 es su opuesto, el suceso “No tener la enfermedad”. Forman un sistema completo de sucesos.
  • B es el suceso “el test dice que tengo la enfermedad”. Y su opuesto es “el test dice que no tengo la enfermedad”.
  • Como nos faltan datos, supongamos que el test acierta, por ser generosos, también en el 95% de las veces que dice que NO se sufre dicha enfermedad. Es decir, un 95% de las veces que se ha probado con sanos, ha deducido correctamente que efectivamente está sano.

Con estos datos, podemos formar un diagrama, dejando como X  de [0,1]la probabilidad de sufrir una determinada enfermedad:

bayes3

Lo que nos deja:

bayes5

 Representando en Geogebra estas dos funciones se ven que van a la contra, cuando una sube la otra baja y viceversa. Os dejo un gif que como todos los de Geogebra pesa lo suyo y el link a la hoja dinámica. Si el gif tarda id a la hoja pinchando aquí. La hoja, si no rula, probad a hacerla funcionar como HTML5. Está configurada para mostrarse en Java.

probabilidad bayesiana2

 

La gráfica azul es la probabilidad de tener la enfermedad cuando el test dice que la tienes y la roja la probabilidad de no tenerla si el test dice que no la tienes. La barra que se mueve es la probabilidad de tener la enfermedad. Obviamente oscila de 0 a 1.

Observamos que si la enfermedad es rara (con probabilidad x muy baja, del orden de 0.05) la probabilidad de tener la enfermedad cuando el test dice que la tienes es bastante pequeña, aunque es muy probable que no la tengas si el test dice que no la tienes. Como es una enfermedad rara, entonces el test tampoco es que sirva para mucho.

Más curioso es qué ocurre si es una enfermedad plaga (con una probabilidad de x=0.95, no sé si hay plagas así…). En ese caso los papeles se invierten. Si el test dice que la tienes, es muy probable que la tengas, pero si el test dice que no la tienes…. Es muy fácil que se haya equivocado. Tampoco sirve de gran ayuda en una epidemia un test que no sirve para decir quién está libre de la enfermedad (que es lo difícil en esos casos).

 

¿es entonces un buen test? Bueno, si la probabilidad de tener una enfermedad es de un 0.2 a un 0.8 entonces sí que acierta bastante (si es que un 80% de aciertos es suficientemente bueno, ya que pensad que vamos a realizar la prueba a millones de personas ansiosas de saber su estado), pero no sé hasta qué punto hay enfermedades tan proclives a ser sufridas….

Lo que está claro es que no funciona bien con enfermedades muy raras ni con enfermedades que causen pandemias.

Probabilidades en la circunferencia.

Vamos allá con este problema que se me ocurrió este fin de semana, motivado por una conversación de coche, de esas que te picas, te picas… y tienes que resolverlo, claro está.

El enunciado es éste:

Colocamos tres puntos al azar sobre una circunferencia de radio R. ¿Qué probabilidad hay de que formen un triángulo acutángulo?

NOTA: es el mismo problema que suponer “dados dos puntos sobre una circunferencia, ¿qué probabilidad hay de que al colocar un tercero se forme un triángulo acutángulo?

SOLUCIÓN: HAY DOS FORMAS, QUE EN EL FONDO SON LA MISMA, LA COMPLEJA Y LA SIMPLIFICADA.

SOLUCIÓN COMPLEJA:

Partimos de la construcción siguiente: dada la circunferencia colocamos al azar los dos primeros puntos, vértices del triángulo.

circulo1

Vamos a ir al caso límite para colocar el vértice que queda, A. Para ello, hay que procurar que se forme un ángulo menor que 90º en B o C dados, al unirse con A. Entonces construimos el andamiaje necesario para “acotar” esta posibilidad, levantando perpendiculares por C y B:

circulo2

La zona válida es el arco que va desde G hasta E. Es decir, la zona marcada en rojo. Esa será la solución. Cualquier punto A en esa zona genera ángulos en C y B que serán menores que 90º.

Se puede comprobar por ejemplo en esta imagen (el gif hecho por Geogebra es una animalada de 8 Mb).

circulo3

Alguien puede pensar  “Bueno, sí, ahí el ángulo de B y C es menor que 90º, pero. ¿Qué pasa con el otro vértice?

La respuesta es que NO pasa nada. Es un ángulo inscrito. Y ese ángulo inscrito valdrá la mitad que el ángulo central que abarca el arco desde B hasta C. Como ese central es claramente menor de 180º, el inscrito será también menor que 90º.

Precisamente por eso la solución NO incluye el arco “corto” entre C y B. Porque ahí el ángulo inscrito SÍ que es mayor que 90º y el triángulo formado sería obtusángulo.

Queda hacer cuentas. Qué probabilidad representa esa zona roja. Llamemos “d” a la distancia entre los dos vértices que hemos colocado primero. Coloquemos algunos ángulos y echemos cuentas

circulo4

Como se puede apreciar beta=180-2(alfa) lo que conlleva que la zona de aceptación (la zona favorable) sea de esos ángulos precisamente. Como hay en total 360º donde colocar el vértice A del triángulo, entonces la probabilidad es:

circulo5

Con el ángulo alfa siempre entre (0 y 90º). Hay un caso especial, que ésta fórmula por tanto no contempla, que es cuándo alfa es cero. Ello conlleva que C y B serán diametralmente opuestos y por tanto el ángulo que forme A con ellos será de 90º por ser el central un ángulo llano. En ese caso, la probabilidad de que formen un triángulo acutángulo es de cero.

Buscamos poner esta expresión en función de “d”, distancia entre dos vértices Cy B y “r”, el radio. Tirando de trigonometría básica es sencillo llegar a que:

circulo6

Dando la expresión en radianes.

CONSTRUCCIÓN SENCILLA/SIMPLIFICADA.

Basta con considerar la figura que se forma al colocar dos puntos C y B al azar y trazar sus diámetros. Después sólo hay que pensar a la hora de analizar dónde debe caer el tercer vértice A. Analicemos la figura:

circulo7

Pensemos que el ángulo inscrito de centro en C que abarque de B a F será de 90º porque el ángulo central que abarca es de 180º.Entonces, si coloco el vértice A entre F y B tendré un ángulo más abierto que ese, luego será de más de 90º (colocad un punto cualquiera debajo de C veréis cómo el ángulo de centro C que una B con A será más de 90º). Luego esa zona no vale.

Alternativamente, tampoco vale la zona de C a D por análogo razonamiento, pero esta vez considerando cómo sería el ángulo centrado en B. Dicho ángulo es de 90º si abarca desde D hasta C, y será mayor si va a un punto colocado entre C y D.

Por tanto en las zonas siguientes marcadas en rojo NO se formará un triángulo acutángulo y por tanto en la zona verde es donde SÍ que se formará dicho triángulo:

circulo8

A partir de ahí el razonamiento de cálculo es el mismo. El ángulo central del sector verde vale beta=180-2(alfa) y se llega a la misma solución que con el método anterior (en el fondo es el mismo, razonando más y dibujando menos).

Calculador de áreas con probabilidades

¡Bueno, volvemos a la carga! Nada como postear algo después de semanas de mudanza, asentamiento en nueva sede y trasiego variopinto. Ahora ya tengo un pelín de tiempo (hoy, concretamente XD) y puedo colgar algo que he estado puliendo estos días.

Se trata de calcular áreas con probabilidades. Casi nada al aparato.

La idea ya ha aparecido en este blog en diferentes entradas, como la del pescador y el lago o la moneda y el ascensor pero en sentido contrario. En esos casos se trataban de problemas de probabilidad que se resolvían usando una relación entre áreas, es decir, geometría pura y dura. Seguían la estela del problema pionero en estas lides, el de la aguja de Buffon. Sin embargo en esta entrada la idea es justo la contraria. Vamos a calcular un área usando la probabilidad.

 

El método no es nuevo. De hecho, es muy usado en computación. Imaginaros una función en un intervalo, a ser posible que reúna las condiciones de integración normales (ser continua y esas cosas) en el intervalo donde queremos integrarla. Sabemos que a integral nos da el área que encierra dicha función con el eje X. Bueno, entonces dibujamos un cuadrado que englobe a esa función en ese intervalo. Vale cualquiera, pero usamos el que más se le ajusta, es decir, que tiene de altura desde la cota mínima hasta la máxima de f(x) en ese intervalo.  Después pedimos al ordenador que simule puntos aleatorios dentro de ese cuadrado.

Aquellos que caigan entre la función y el eje X son parte del área. Los que no, pues no lo serán. Por último se calcula qué porcentaje de puntos han caído dentro y se aplica dicho porcentaje al área del cuadrado. Voilá. Ya tenemos la integral hecha.

 

¿os habéis enterado?¿si?¿no? no pasa nada. Probad el applet y luego volved a leerlo. Lo habréis pillado.

Os dejo el applet que he diseñado para este proceso. El tiempo que se tarda en alcanzar una solución depende del tipo de función. Para las más comunes he observado que con simular unos 8.000 puntos suele ser aceptable. Como siempre, podéis pinchar en la imagen o en este link a GeogebraTube dando después a aceptar en la ventana de precaución Java es peligrosísimo y mortal y tal. No tiene virus ninguno, creedme.

por cierto, leed las cuestiones de debajo antes de usarlo, para que no digáis que no funciona, o que tiene errores.

areas y probabilidad

 

Por cierto, unas cuantas cuestiones LEED ANTES DE USAR EL APPLET:

  • Me ha salido un applet un poco sordo. Esto quiere decir que cuando cambiéis de función posiblemente tengáis que dar a enter varias veces para que el cuadrado “se ajuste” a la función. Perdón. Cosas de programar a lo loco.
  • Por limitaciones de plataforma, si movéis la pantalla de la aplicación desplazando los ejes y tal pues…los puntos dibujados se borran. El cálculo sigue. No hay problema ahí. Sólo que la pantalla se refresca. Es que para ahorrar memoria sólo se deja dibujado el rastro del punto. Si movéis la pantalla, adiós rastro.
  • El zoom no sé por qué no funciona. Normalmente es con la ruleta del ratón. Podéis clickar y arrastrar para cambiar la escla de los ejes X e Y, que al cambio es más o menos lo mismo. Trataré de arreglarlo.
  • Como siempre, es una plataforma lenta. Mucho. En smartphones…. no sé cómo se comportará. Imagino que muy bien no….
  • No olvidéis de dar a reinicio antes de dar a Inicio, para borrar los datos acumulados de la simulación anterior. Si no, no funciona.

La falacia del Nobel

Leo en el libro “Prisioneros con Dilemas y Estrategias Dominantes”  de Jordi Deulofeu una curiosa anécdota de Linus Pauling, muy graciosa. Este científico recibió dos premios Nobel en su vida. El primero, en 1954, de química por sus investigaciones sobre cuántica (sí, se ve que existe Química Cuántica) y el segundo en 1962, de la paz, por su campaña contra las pruebas nucleares.

Cuentan que Pauling decía que ganar un Premio Nobel tenía mucho mérito, puesto que la probabilidad de que te lo concedieran era de una entre seis mil millones (población más o menos de la Tierra en esos años, supongo), pero que el segundo no era nada difícil de lograr, ya que la probabilidad de que te lo concedieran era de una entre unos pocos cientos (los pocos afortunados que ya poseían uno).

Evidentemente, lo decía de broma.

En probabilidad es difícil ver algunas veces algunas cosas, a no ser que se tenga la mente un pelín entrenada en matemáticas (sencillas, tampoco hay que irse a cosas tremendas…). Ejemplos de esto es la cantidad de gente convencida de que como los premios de lotería caen más en unas administraciones que en otras, lo lógico es comprar allí los décimos, o la gente que dice que rellenar una apuesta de Euromillones con 3 números consecutivos es una tontería porque si ya es difícil que toque, que encima salgan los números así de raros debe rayar lo imposible (o mejor dicho, post-imposible).

Ésta última afirmación ha sido dicha a un servidor hace pocos días.

Pero en este caso se ve a simple vista la falacia. Ahora bien… ¿dónde está el fallo?

Bueno, sencillamente en que el bueno de Pauling juega con esta afirmación a saltarse a la torera el concepto de suceso dependiente. Dos sucesos en probabilidad son independientes si uno no depende de otro (por ejemplo, al lanzar una moneda dos veces el resultado de la segunda tirada no depende del de la primera). Por el contrario, son dependientes si sí lo hacen (por ejemplo sacar una carta de la baraja y luego sacar otra sin reponer la primera).

Evidentemente para obtener un segundo Premio Nobel debes haber conseguido uno antes. ¿No? Entonces la probabilidad dependerá de que ya te lo hayan dado. Bien, PUES NO. Como siempre se dice, el azar NO tiene memoria. Es como lanzar la moneda dos veces. La segunda no depende de la primera. Da exactamente igual que tuvieras ya una cara, sacarla en la segunda seguirá siendo tan probable como sacar una cruz. Pues en el premio Nobel lo mismo. Cuando te otorgan el segundo NO se considera si ya tienes uno (se supone) sino sencillamente si te lo mereces. Nuevamente vuelves a competir contra los seis mil millones de opciones en contra tuya. Cada nombramiento Nobel es independiente del anterior. Por tanto, la probabilidad de que te den el segundo es muuuucho más pequeña que una entre unos cientos. Concretamente serían:

PAULING1

 

Que evidentemente es un poco mucho menor que la que proponía Pauling:

pauling2

Siendo x el número que queráis del 1 al 9.

Un cachondo el Pauling….

Existen más falacias probabilísticas en matemáticas. Una de las más famosas es la del matemático que tenía pavor a que un terrorista hiciera explotar una bomba en el avión en el que él viajara. Razonando que es relativamente difícil que eso ocurriera, pensó que sería aún más difícil que hubiera DOS terroristas con bomba. Por tanto, y para su seguridad, siempre viajaba con una bomba en el portafolios.

Y luego la gente pensando que en Doña Manolita o en La Bruja de Oro toca más…

Y vosotros…. ¿Sabéis más falacias de este tipo?

 

 

Religión e inteligencia….eh, eh…¡espera!

Bueno, acabo de leer este titular publicado en el http://www.huffingtonpost.es. Se titula pomposamente “Los creyentes son menos inteligentes” y se basa, según dicen en sesudos estudios matemáticos. Bueno, me he dicho. Vamos a ver qué es esto. Y lo he visto. Vaya que si.

Lo primero que se lee en la noticia es:

“63 estudios científicos que se remontan a 1928 han sido analizados y relacionados por psicólogos de la universidad de Rochester Northeastern. La conclusión a la que han llegado es que las personas religiosas son menos inteligentes que los no creyentes.”

y respalda esta aseveración con;

“Sólo 10 de los 63 estudios mostraron una correlación positiva entre la inteligencia y la religiosidad, informan nuestros compañeros británicos.”

Y es ahí donde me ha saltado el chip de matemáticas. Me explico. No pongo en duda estudios, ni pongo en duda la veracidad del párrafo. Lo que sí que me hace llorar es que un periodista confunda el concepto de correlación. Porque…. ¿Qué es la correlación? Bueno, sencillamente es la manera que se tiene en matemáticas de llamar a la vieja idea de “tener algo que ver” o “estar relacionado”.

Por ejemplo, si al comparar las notas de matemáticas (X) con las notas de física (Y) vemos que obtenemos algo como esto:

correlacion1

Bueno, pues básicamente significará que si que parece que existe una correlación (lineal en este caso) entre ambas asignaturas. Es además positiva, porque para notas bajas de física se suelen asociar notas bajas de mates y para notas altas de mates, notas altas de física. Hasta aquí vamos bien y con estos datos los estadísticos pueden calcular “cuánto están relacionadas las notas de mates y de física”. Incluso pueden construir una recta a la que se parezca la distribución de puntos que acabamos de mostrar.

Igualmente puede haber una correlación negativa. Por ejemplo, si en clase tenemos a montones de Sheldon Coopers y compañía, habrá notas muy altas en física y malas en gimnasia, y viceversa si además en clase hay muchos de los típicos machotes del equipo de football americano de las pelis yanquis. En ese caso las notas de mates y gimnasia también estarán relacionadas entre si, con una correlación que diremos negativa ( a alta nota de una cosa, baja de otra y viceversa).

correlacion2

Pero, y esto es lo importante, puede haber variables que NO tengan nada que ver. Por ejemplo, las notas de Matemáticas y las notas de Geografía, o por no ser tan académico, la talla de zapatos de una persona y el sueldo que gane, En esos casos, los puntos no recuerdan a figura alguna (por entendernos) o como dicen los matemáticos, no hay correlación. (vamos, que no se relacionan entre sí). Por ejemplo, para mates y geografía:

correlacion3

Si analizamos la noticia, dice que sólo 10 de 63 estudios mostraron una correlación positiva entre inteligencia y religiosidad. Bien, no lo niego. Pero el periodista debería haber aclarado más si es cierto esto. Porque puede ocurrir que sencillamente NO exista correlación ninguna entre religiosidad e inteligencia en los 53 estudios restantes, lo que no implica que a más de una menos de la otra, sino sencillamente que tienen lo mismo que ver que el precio del petróleo y el color de las manzanas de mi pueblo.

Sin embargo, nunca hay que dejar que la verdad te desmonte un buen titular, dicen.

Bueno, siguiendo con este tema, la verdad es que incluso con unos índices de correlación positivos hay que tener cuidado con según qué afirmaciones se hacen. Por ejemplo, es verdad que puede existir una correlación más o menos fuerte entre el precio de las manzanas y el precio de los televisores por inventar algo. Es cierto. Pero ello no significa que exista una relación de dependencia entre ambas variables. La trampa es que ambas dependen de otra común, que podría ser el precio del petróleo que hace que suban los costes de transporte en las ricas manzanas y de producción en las teles.

Pues eso. Que, por mucho que se pueda ser religioso o ateo, no dejemos que  nos la cuelen en un titular. Y ojo, que no digo que los autores del estudio no tengan ni idea de estadística. Yo sólo me fijo en la redacción de la noticia. Un toque de atención a los periodistas, que deberían tener unas ciertas nociones matemáticas, dado que las suelen usar más a menudo de lo que creen ellos mismos.

Las Catapultas apuntan y…. ¿Hacen pleno?

Bueno, tras el parón pre veraniego (mandar curriculums, clases extra a alumnos que deben recuperar asignaturas y demás) por fin volvemos al ruedo de los problemas más o menos raros.

Toca  otra vuelta de tuerca al Warhammer. Esta vez, analizando las catapultas. Primero veamos cómo se hace todo esto. El enunciado viene después.

En Warhammer (juego de batallas entre ejércitos representados con miniaturas) hay morteros, catapultas y demás artefactos similares (¡incluso palomas bomba!) que pueden hacer un cuatro a un regimiento de infantería al que acierte. Así que vamos a meternos en el cálculo de las probabilidades de que esto ocurra.

¿Cómo se dispara?

Imaginemos un regimiento enemigo formado por 25 infantes, colocados en forma de cuadro de 5×5 (lo normal). Como la peana de cada miniatura mide 2×2 centímetros, tenemos que la unidad a bombardear será un cuadrado de área 100 centímetros cuadrados. Sin embargo, al ser un juego británico lo normal es operar en pulgadas. Entonces la unidad medirá aproximadamente 4×4 pulgadas, 16 pulgadas cuadradas. Algo así:

25 soldaditos, dispuestos a ser aporreados por una catapulta enemiga!

25 soldaditos, dispuestos a ser aporreados por una catapulta enemiga!

Lo que vamos a hacer es dispararla con una catapulta. Para ello disponemos de una plantilla de forma circular de radio 3,5 pulgadas que representa la zona donde impactará el pedrusco/obús/ bomba de paloma que le lancemos a la desdichada unidad. ¡Nadie dijo que ser guerrero fuera fácil!

Sin embargo este proceso no es automático. Se dispone además de dos dados de 6 caras. Uno de ellos dispone de 5 caras donde hay pintadas una flecha, habiendo en la sexta cara un símbolo de diana (o HIT). El otro dado tiene pintados los números 2, 4 ,6, 8, 10 y un símbolo de exclamación (¡).

Es decir:

Los dados "raros y frikis" del Warhammer.

Los dados “raros y frikis” del Warhammer.

Entonces para disparar la catapulta se hace lo siguiente:

  1. Apuntamos: en este caso elegimos al soldado central de la unidad de infantería a bombardear. Esto significa que en teoría la plantilla circular de daños debería caer ahí, pero que puede desviarse. Esto se modeliza en los pasos siguientes.
  2. Tiramos el dado de las flechas. Si sale una cara con flecha, hacia donde apunte  es hacia donde se desviará la plantilla circular. Si sale el símbolo de la diana, no se desvía (los artilleros han afinado).
  3. Ahora queda ver cuánto se desvía la plantilla. Para ello se tira el dado de los números. El resultado que salga es el número de pulgadas que la plantilla se aleja de donde apuntamos en el paso 1, siguiendo la dirección que dicte la flecha del paso 2. Si sale el símbolo de la exclamación…. Bueno, eso significa que la catapulta se ha roto, o que el mortero ha explotado. En ese caso, no hay disparo. Si ha salido en el paso 2 el símbolo de diana, no se considera el número que obtengas (pero sí el símbolo de exclamación). Es decir, si hemos hecho diana, no nos desviamos y el número de este dado es irrelevante. Pero si sale exclamación, implica que nuestra máquina de guerra se ha roto, y no dispara, independientemente de que hubiéramos apuntado bien.
  4. Las miniaturas que tengan algo de su peana dentro de la plantilla circular se consideran afectadas por el disparo.

¿Todo claro? Bueno… pues el problema es hallar qué probabilidad hay de que la catapulta logre hacer blanco en alguna miniatura de la unidad de infantería enemiga.

Y si ya nos ponemos tiquismiquis, calcular qué probabilidad hay de herir a 1 miniatura, 2, 3, 4 etcétera…..