Tirada de chapas

Las perras gordas que se lanzan en las chapas de semana santa

Las perras gordas que se lanzan en las chapas de semana santa

¡Hola a todos!

Volvemos a dar a esto de las matemáticas con una de las tradiciones más extrañas de la Semana Santa española, por lo menos en mi tierra de Castilla (aunque supongo que será más o menos igual en todas las comunidades): las chapas.

Siempre me intrigó este juego, pero de pequeño no recuerdo haber visto partidas en mi localidad natal, Aranda de Duero, pese a que mi padre insiste en que la gente apostaba (y ocasionalmente perdía) el coche o incluso la escritura de la casa. En Valladolid sé que se hacen, porque llegan estas fiestas y todo se llena de carteles anunciado partidas en bares y cafeterías, aunque nunca me había acercado. Sin embargo, este fin de semana, en el pueblo de mi novia, he podido ver partidas en los bares ya que Semana Santa es la única fecha donde las autoridades dan permisos especiales para organizar este juego tradicional (requiere de una licencia, tiene mala fama y está prohibido de forma normal).

Antes de meternos en harina con las matemáticas, diré a modo de apunte que indagando me he encontrado con que es una reminiscencia de la tradición de los soldados romanos de jugarse a los dados las pertenencias de un condenado a crucifixión. Lo digo porque imagino que muchos tendrán la misma duda que yo, a saber… ¿qué diantres tiene que ver un juego de azar con estas fechas? Pues ya lo sabéis.

En fin, para el que no lo conozca, las chapas es un juego de apuestas sobre cómo van a caer al suelo dos chapas (obvio), marcadas con caras y cruces (o lises). Hay dos clases de jugadores: uno hace de banca y apuesta una cantidad de dinero, y la segunda clase de jugadores apuesta contra ese banca. La banca gana si consigue doble cara, y sólo puede retirarse del juego si acumula tres dobles caras. En el momento en que saca doble cruz pierde (lo apostado y acumulado que llevara en esa partida) y si sale cara – cruz se repite el lanzamiento y nadie gana ni pierde.  Podéis encontrar una breve reseña en wikipedia aquí.

¿Es un juego fácil de ganar o no? Vamos a analizarlo desde el punto de vista de la banca. Para ello vamos a calcular la probabilidad de ganar en n tiradas de chapas (es decir, de ganar exactamente al cabo de 3, 4, 5 o 100 rondas).

Vamos a suponer que el jugador banca se retira del juego en el momento en que gana una partida (esto es, cuando alcanza las ansiadas tres dobles caras). Entonces tenemos:

  • n rondas con n mayor o igual que 3 (no tiene sentido tirar una sola vez o dos las chapas).
  • La probabilidad de ganar, sacar doble cara, es 1/4, la de perder (sacar cruz -cruz) es 1/4 y la de repetir o empatar en 1/2 (cara – cruz o alternativamente cruz – cara). Llamando G,E y F a ganar, empatar y fallar o perder, tenemos que P(G)=P(F)=1/4 y P(E)=1/2.
  • La última ronda que buscamos ha de ser ganada, que será cuando el jugador banca anuncie que se retira.

Entonces tenemos que lo que buscamos son las probabilidades de sacar:

chapas1

Entonces tenemos que la probabilidad buscada son todas las ramas del árbol que contengan (n-1) elementos, repartidos siendo 2 de ellos G (dos jugadas de doble cara) y el resto, (n-3), jugadas de empate llamadas E, ordenadas de cualquier forma, y que además acaben en una jugada G.

Es decir buscamos ramas de probabilidad:

chapas2

Siendo, efectivamente el primer multiplicando la probabilidad de sacar las dos jugadas de doble cara (las dos primeras G) , el segundo la probabilidad de los n-3 empates o repeticiones y la última la probabilidad de sacar la última y final jugada de doble cara.

Estas ramas del árbol aparecen en éste en un número igual al número de colocaciones de la secuencia de n-1 elementos G,E,E…. de las n-1 primeras tiradas (la última es fija y es G irremisiblemente). Se trata por tanto de permutaciones de estos (n-1) elementos con repetición, tomando las G dos veces y las E (n-3) veces.

Por tanto la probabilidad buscada son todas las ramas de esta forma, por lo que serán:

chapas3

Que es, efectivamente la probabilidad de ganar en la ronda n.

Si queremos calcular qué probabilidad hay acumulada de ganar en la ronda 3, 4,5,6  hasta la ronda infinita, es decir, qué probabilidad tengo de ganar una partida siendo banca si juego infinitas veces, hay que sumar el valor de esa expresión en n=3,n=4, n=5… hasta n=infinito.

Es decir:

 chapas4

Que no es algo trivial ni mucho menos. Es una progresión aritmético-geométrica de orden 2, ya que el numerador es una progresión aritmética de orden 2 y el denominador es una progresión geométrica normal y corriente. Resolverla es pesado pero no muy difícil. El truco está en desarrollar la serie tal cual y desarrollarla multiplicada por la razón de la geométrica (1/2 en este caso). Después se restan ambas y se agrupan por denominadores comunes. Quedan dos términos sin agrupar y el resto conforman una nueva progresión aritmético-geométrica de orden 1 (el numerador es de grado 1, vamos). Repetimos el proceso con ésta nueva y logramos obtener una progresión geométrica de la que calculamos su suma infinita. Sustituimos hacia atrás y voilá tenemos una expresión que si evaluamos en n tendiendo a infinito nos dará el valor de la serie original. ¿difícil? No, para nada. Veámoslo. Voy a calcular la suma sin arrastrar el 1/16 del principio para no enfangar el cálculo. Recordad que luego hay que añadirlo al final.

chapas5

Restando ambas expresiones obtenemos algo como:

chapas6

Repetimos el proceso para la subsuma que nos ha aparecido. Observad la iteración del proceso, en cada ronda aplicada el numerador baja un grado, de esta forma voy convirtiendo una aritmético-geométrica en una geométrica subyacente que sabemos resolver.

chapas7

Restando ambos y agrupando por denominadores comunes como antes llegamos a que:

chapas8

Ese último término entre paréntesis es una bonica progresión geométrica de razón 1/2, por lo que podemos calcular su suma infinita quedando:

chapas9

Entonces al llevarlo a infinito:

chapas10

Sustituyendo esto en la expresión de la suma y llevando la suma al infinito obtenemos que:

chapas11

Por lo que la expresión original es:

chapas12

Es decir, si juegas infinitamente, tendrás como banca 1/8 de posibilidades de ganar una vez la partida y retirarte con tus ganancias.

Como curiosidad os diré que si analizáis la expresión del principio veréis que ganar a la primera (tres veces seguidas GGG) es más difícil que ganar en 4 o 5 tiradas. De hecho, lo más probable si ganáis es que lo hagáis en la tirada 5 o 4. A partir de ahí las probabilidades de ganar la partida bajan cada vez más (por lo que la suma es convenientemente convergente).

Os dejo una gráfica con las posibilidades. Si hacéis de banca y pasáis de la quinta tirada sin haber sacado tres veces cara doble…comenzad a preocuparos….

chapasGrafico

doble cara…comenzad a preocuparos….

La puñetera mosca…

Bueno, este es un problema que puede ser resuelto de una manera más o menos sencilla:

chu-chu-chuuuli....Y TIENE DIBUJADO UN TREEEEEN......

“Dos trenes parten uno desde Valladolid y otro desde Madrid, ambos a la misma hora y a la misma velocidad, pongamos que de 50 Km/h, uno al encuentro del otro. En el primer tren hay una mosca posada sobre la locomotora que inmediatamente después de iniciarse la marcha arranca volando a 75 Km/h hacia el otro tren, de tal forma que al alcanzarle, da la vuelta inmediatamente sin perder tiempo, y vuelve a la locomotora inicial. Repite este proceso hasta que evidentemente ambos trenes se encuentren.”

La pregunta es: ¿Qué distancia habrá recorrido la mosca en su viaje?

Cualquier estudiante de bachillerato sabe resolverlo (o debería al menos). Si es avezado, se puede resolver en tercero de la ESO incluso.

Este problema, como otros muchos tiene su historia. Ya la contaremos…. pero tiene que ver con alguien a quien los estudiantes de teleco y especialmente los de informática debemos mucho.

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Solución: evidentemente sabemos que:

Es decir, que la velocidad es el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo que se tarda. Por ejemplo, si recorres 100 Km en 2 horas tu velocidad es de 100/2 = 50 Km/h, haces cincuenta kilómetros en una hora.

Nosotros sin embargo usaremos una variante, despejando el tiempo:

Y otra despejando el espacio:

El problema es que aquí hay dos cosas (bueno, tres, pero me quedo sólo con dos) que se están moviendo. La mosca que vuela y el tren hacia el cual vuela (sea el que sea en cada trayecto). El otro tren es irrelevante, porque queremos ver cuando la mosca llega a su destino (un tren determinado que se mueve) y entonces, desde que sale volando, el tren desde donde lo hace no influye.

Como son dos cosas moviéndose a la vez, el truco está en considerar que recorren el espacio que los separa entre los dos. Cada uno por su lado, pero ayudándose. Es como en la Dama y el Vagabundo, y la escena de los espaghettis. Acaban en un plis plas porque los dos comen, y claro, agotan la distancia entre ambos antes.

Como los dos comen, acaban antes. Sus velocidades se suman, se ayudan,

se añaden…como queráis verlo

Por ello, cuando la mosca parte de un tren A al otro B la ecuación que describe el espacio recorrido es:

Las velocidades de ambos se suman porque ese espacio de 200 Km se lo comen entre los dos, uno a 50 Km/h y otro a 75 Km/h. Sería análogo a un solo tren yendo a 125 Km/h a efectos del tiempo.

En el segundo recorrido nuestra viajera mosca vuelve del tren B al tren A. Pero entre B y A ya no hay 200 Km porque ambos han avanzado, cada uno a 50 Km/h uno hacia el otro durante las 1,6 horas del vuelo de mosca anterior. Entonces, se llega a la conclusión de que los trenes se han comido una distancia, mientras la mosca viajaba, de:

Recordad que como viaja uno hacia el otro sus velocidades se suman.

Por tanto la mosca al ir de B hacia A tardará:

Observa que ese 160 es el resultado de 100 por t1, el tiempo del viaje de la mosca. Esta es la clave.

De esta forma la mosca vuelve de B a A en 0.32 horas. Suponiendo que no está cansada (pobre) vuelve a salir desde A hasta B, en el tercer viaje. Y luego vuelta desde B hacia A. Y otra vez, y otra, y otra. Razonando como antes se llega a que irá tardando en cada trayecto:

Y así sucesivamente. Basta con ir calculando los tiempos e ir encadenándolos.

Pero entonces llegamos a que la mosca hace infinitos viajes (cada vez menos largos, eso si) y que el tiempo que tardará en total será la suma de toooooooooodos esos paseítos.

¿Y cómo sumo infinitas cosas?

Bueno, hay un truco. Normalmente sumar infinitas cosas es complicadillo. Pero en algunos casos, se puede. En este, en concreto, cada tiempo está relacionado con el anterior mediante un factor que siempre es el mismo. Observad los diferentes tiempos que hemos obtenido. Todos ellos son una quinta parte del inmediato anterior. Es decir, si los escribimos:

1.6-0.32-0.064-0.0128……

A esto se le llama progresión geométrica. Y en este caso, su razón es 1/5. Es decir, el 0.032 es una quinta parte del anterior que es 1.6. Y de igual forma ocurre entre los demás.

Como esta razón es más pequeña que 1 la consecuencia es que los sucesivos tiempos salen cada vez más pequeños (si multiplicas algo por 1/5 sucesivamente cada vez te sale más pequeño el resultado). En estas circunstancias estas concatenaciones de números, estas progresiones son sencillas de sumar siguiendo la fórmula propia que podéis encontrar en cualquier libro de ESO o en la santa Wikipedia.

En cualquier caso el resultado de sumar todos los tiempos es:

Es decir, todos los viajes que hace la mosca le llevan en total 2 horas todos juntos. Como vuela a 75 Km/h, pues en dos horas recorre 150 Kilómetros. No está mal como ejercicio, ¿no?.

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SOLUCIÓN 2:

Pues la idea es similar, pero yendo al grano directamente y no cacho a cacho. Los dos trenes viajan uno hacia el otro cada uno a 50 Km/h. Por tanto tardarán 2 horas en encontrarse. Cuando lo hagan la mosca dejará de viajar, y su epopeya habrá acabado. Con esta idea elegante hemos calculado cuánto tiempo ha estado el bicho volando ¡sin tener que considerarle para nada!

Sencillamente, hemos tenido en cuenta sus circunstancias, cuando empieza y cuando acaba. Darse cuenta de este detalle es raro, sobre todo por el aprtendizaje condicionado. Mis alumnos hace bastantes ejercicios de móviles (oh, sí, les fríen) y normalmente se meten hasta la cocina paso a paso como hemos desarrollado antes. Con esta argumentación sin embargo, de una tacada hemos obviado cualquier referencia a series geométricas y demás cosillas. Y el resultado coincide.

Por tanto, como tardan dos horas en encontrarse los trenes, dos horas está la mosca viajando entre ambos. Y como viaja a 75 Km/h, pues en total recorre los conocidos de antes 150 kilómetros.

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Anécdota.

Para los que no lo conozcan este es John Von Neumann:

Padre, entre otras muuuuchas cosillas de la arquitectura Von Neumann germen de las actuales arquitecturas de cualquier ordenador del mundo. Un genio que cualquier estudiante de teleco o de informática conoce, aunque sea de oídas. Y un genio matemático según sus cohetáneos. Se dice que matemáticos como Polya temblaban cuando Johnny cogía la tiza dispuesto a demostrar…lo que fuera que se le planteara. Hoy sería imposible, pero se le considera como el último capaz de contribuir a todas y cada una de las ramas de la matemática de su tiempo. Que fue anteayer como quien dice.

Para corroborar la fama que tenía Von Neumann, se cuenta que existía un criterio de clasificación de problemas matemáticos atendiendo a su dificultad. Así existían 10 niveles, entre los cuales se encontraban (y soy literal). Fuente: “La Vida Secreta de los Números”, de Joaquín Navarro.

  1. Grado 1: incluso mi madre puede entender.
  2. Grado 2: comprensibles para, digamos mi esposa (estoy citando y en esa época había cierto machismo)
  3. Grado 7: Problemas que yo (un matemático) puedo comprender.
  4. Grado 8: Problemas que sólo el conferenciante de turno y Von Neumann pueden comprender.
  5. Grado 9: Problemas que sólo Von Neumann comprende.
  6. Grado 10: Problemas que ni Von Neumann comprende….todavía.

¿Qué tiene que ver este tipo, sin embargo con la mosca y los trenes? Bueno, cuenta la leyenda que alguien planteó este mismo problema a Von Neumann. Y en un minuto, sin papel ni lápiz dió la respuesta. Quien lo propuso contestó. “Vaya. No te he pillado. Todo el mundo lo resuelve con una progresión geométrica.”

A lo que Von Neumann contestó extrañado:

“¿Y cómo te crees que lo he resuelto?”

Genio y figura…..