Integrales (aparentemente) mal hechas…

Una de las cosas que más se olvida es que si bien la derivada de una función es única (salvo formas de expresarla, como la de la tangente por ejemplo), una integral es una operación que tiene por resultado muchas, muchas, muuuchas soluciones. Tantas como valores podamos dar a una constante, de hecho. Una integral tiene infinitas soluciones.

Una visión intuitiva del asunto es que la integral es la operación contraria a la derivación  y que la derivada de una constante es cero. Por eso escribimos siempre la (olvidada) contante de integración al acabar de operar:

integralesA

Y la solución es F(x)+1, F(x)+3/4, F(x) + 1.000.000…. lo que queráis.

Esto conlleva que la integral de una función sea un abanico de funciones parecidas, pero no iguales. Funciones que se diferencian en el valor que pueda tomar la dichosa constante de integración (La C). Por ejemplo.

integralesB

Comprobamos que efectivamente si hacemos el proceso inverso, esto es, si derivamos, el valor de la C es irrelevante. Puede valer 15 o Pi o un millón de trillones. Al derivar se anula, y el resultado vuelve a ser la función que antes integramos:

integralesC

Esto es una perogrullada que no obstante a veces la gente olvida. A un compañero en carrera se le olvidó la constante de integración al final del ejercicio y a pesar de que el resto estaba bien desarrollado le pusieron un cero. La excusa del original” profesor era que le había dado una solución de las infinitas que había (pues infinitos valores toma la dichosa C que olvidó) y en correspondencia le ponía la parte proporcional de la nota.

Sin embargo, este tema está más que trillado ¿A qué viene esto? Bueno, pues a que tiene más importancia de la que parece. En funciones polinómicas, la  C es lo que diferencia una solución de la integral de otra, pero mantienen todas ellas la misma “forma”, el mismo “cuerpo”. Sin embargo, esto no siempre es así cuando nos alejamos un poco de ellos, y nos metemos con las integrales de funciones trigonométricas, por ejemplo. Y ahí es donde quiero ir a parar.

Consideremos este ejemplo:

integralesD

Esta integral se puede resolver de varias formas. Podemos aplicar un sencillo cambio de variables (seno y coseno son función y derivada respectivamente) o se puede resolver considerando que es casi la expresión del seno del ángulo doble:

Es decir:

Primera forma:

integralesE

Segunda forma:

integralesF

Y aquí es donde les empiezan a veces los problemas. Saber si está bien una solución, la otra o las dos, regado con el hecho de que a la gente se la taladra en clase con que NO se olvide la constante de integración. Y normalmente nadie lo hace… hasta que se acaba la integral y hay que usar la expresión resultante para algo.

Pero volvamos a la comprobación de si ambas expresiones son solución de la integral. Normalmente, un razonamiento que se tiene es caer en la idea de que si ambas soluciones lo son, entonces su resta ha de ser cero, ya que…. ¡son la misma cosa!

Pero entonces ocurre el chasco, ya que este razonamiento es erróneo. Enseguida destapamos la liebre, pero primero veamos qué pasa si seguimos adelante con él. Por tanto, restemos ambas soluciones, a ver qué pasa :

integralesG

La conclusión (errónea, insisto) que se extrae de ésto es que como ambas soluciones restadas NO dan cero, sino 1/4, es que hemos metido la pata en alguna de las soluciones y que una está mal. Comienza entonces una búsqueda del fallo…. En vano.

¿Dónde está el truco? Pues que las dos soluciones son perfectamente válidas PERO sus constantes de integración NO tienen por qué tomar el mismo valor en ambas a la vez. Por tanto, no se pueden simplificar alegremente una con la otra. Para empezar, no debería haberla llamado C en ambas expresiones, pero esa es una de las manías que más abundan en estos campos, que llevan a errores de este tipo.

De hecho, si las llamamos C y K, por ejemplo, y considerando que no es necesario que C=K, se llega a que:

integralesH

Es decir, ambas soluciones coinciden si observamos que la constante de una de ellas será un cuarto más que la constante de la otra. Pero ambas son soluciones de la misma integral.

Podemos verlo gráficamente:

integrales1

Cuando ambas constantes son iguales, cero en este caso, las soluciones se diferencian en una cantidad que es constante. ¿Adivináis cuánto es esa diferencia? Exacto, en este caso es 1/4.

Si corregimos este hecho queda que…

integrales2

Las dos gráficas coinciden cuando la constante de una y otra se llevan 1/4 entre sí. (La roja tiene de C=0 y la azul superpuesta C=1/4)

La roja no se ve, tapada por la azul.

Esto mismo ocurre con los polinomios y con cualquier integral, lo que pasa es que con las funciones trigonométricas es muy común que aparezcan soluciones aparentemente diferentes en forma pero que en el fondo sean la misma. La culpa la tienen la cantidad de formas que hay de resolverlas usando la trigonometría. Así que no os asustéis cuándo resolváis integrales de este tipo y vuestras soluciones no coincidan de forma clavada con las de vuestros compañeros…. ¡puede que hayáis seguido caminos alternativos!

Fito y las matemáticas

Una canción de Fito en la radio. Una idea. Fito no aprovechó las clases de matemáticas en el instituto o no se las supieron explicar bien. Objetivo: demostrar esta hipótesis.

En una canción Fito dice, textualmente:

“El colegio poco me enseñó

si es por el maestro

nunca aprendo…

a coger el cielo con las manos

a reir y llorar lo que te canto”

Realmente Fito se equivoca. Con un poco de imaginación y algo de matemáticas se puede coger el cielo, más aún, la Tierra entera con las manos. Aunque sólo sea un efecto óptico de eso va este rollo musical, ¿no?. Metáforas floridas y esas cosas.

Asi que el problema es el siguiente; ¿A qué distancia de la Tierra debería situarse Fito para poder abarcar con sus manos todo el planeta? No os cortéis. Es trigonometría de la buena, y además, sencilla. Podéis suponer lo que queráis. Sin embargo, para simplificar, yo supondré el tamaño de las manos, en la clásica posición de Kame Hame Ha (o Ha Do Ken) como de una longitud de 14 cm por mano y 64 cm de longitud de brazo. Es una estimación generosa, porque son mis propias medidas… El resto es cosa vuestra.

el clásico kamehameha..... el de toda la vida

deberíamos suponer a Fito con las manos en esta posición, mirando a la Tierra desde el espacio y con los brazos totalmente estirados….

Solución:

Bueno, para resolver esta cuestión es fundamental emplear el viejo y clásico Teorema de Tales. Al margen de su definición formal, que podemos encontrar aquí, lo reformularemos de una manera más  cómoda, menos rigorosa y más acorde a nuestro fin, como:

Si dos triángulos tienen los tres ángulos iguales, entonces cada uno de los lados de uno de ellos es  proporcional al lado equivalente del otro. En ese caso se les llama triángulos semejantes.

¿Y eso cómo se come? Muy fácil. Supongamos los dos triángulos de la figura:

Cada uno de los ángulos (rojo, verde, azul) es idéntico en uno u otro triángulo. Son como bocas que están igualmente abiertas, independientemente del tamaño de la figura. Lo que Tales afirma es que en ese caso ocurrirá que hay una relación (proporción) entre los lados del triángulo grande y los del pequeño. Por ejemplo, puede ser que uno sea el doble que el otro, y por tanto A=2a, B=2b y c=2c. O puede que uno sea el triple que el otro y por  tanto A=3a, B=3b y c=3c. O puede que uno sea 1.6578 veces el otro, en cuyo caso la relación entre los lados será análoga pero cambiando el dos o el tres de antes por dicho número.

¿Y eso por qué? No pretendo meterme en detalles, aunque tampoco son para tanto. Pero se puede dar una visión intuitiva del asunto. Supongamos una foto de un triángulo. Si  amplías cada lado, verás la misma imagen, el mismo triángulo, pero más grande. Sin embargo, sigue siendo la misma figura, sin deformar por decirlo de alguna forma. Todos y cada uno de los lados se han amplificado de la misma forma, en la misma proporción. En consecuencia los ángulos permanecen invariantes. ¿Qué ocurriría si un lado creciera más que otro? Posiblemente no podrían cerrar el triángulo, pero si hicieras trampa y lo cerraras, verías que los ángulos cambian, que de alguna forma ese nuevo triángulo es diferente del anterior. Eso es el Teorema de Tales.

 

Matemáticamente, si dos triángulos son semejantes, implica que:

Y K es un número, el que sea que indica la proporción. Si K es dos, significará que cada lado del triángulo grande es exactamente el doble del pequeño, por ejemplo.

Ahora, apliquemos Tales para resolver el problema en cuestión. Es buscar dos triángulos semejantes y a correr…..

Ambos triángulos son semejantes, porque los dos, el rojo y el negro, tienen ángulos iguales. Ah, claro, por que tú lo digas. Nop. Todo tiene su explicación. Uno de esos ángulos pertenece a ambos triángulos, así que ya hay un ángulo igual en los dos. Pero además hemos supuesto que las manos se colocan tangencialmente a cada una de las rectas que abarcan a la Tierra. Es decir el ángulo que forma el lado de 0.14 con el lado superior es igual al que forma el lado de 6.355.000. Podemos hacer esto porque bueno, suponemos que a Fito le interesa resolver el ejercicio y tiene libertad para colocarlas de una manera cómoda, por decirlo de alguna forma. En realidad es una propiedad de las tangentes. Ya comparten dos ángulos por tanto. Y como los ángulos de un triángulo suman 180º siempre, pues ya está, el tercer ángulo también ha de coincidir.

Así que aplicamos Tales:

A esa distancia del centro de la Tierra ha de situarse nuestro valiente cantante. Pero queremos la distancia del, digamos, suelo del planeta, no del centro. Asi que le quitamos a esa contidad el radio de la Tierra, lo que sobra, quedando:

x=29.051.428,57 – 6.355.000= 22.696.428,57 metros más menos. En cristiano, unos 22.700 km de distancia.  No muy lejos, para hablar del espacio, por cierto. Para que os hagáis una idea, los satélites de órbita Geoestacionaria (muy habituales) están a unos 36.000 Km más o menos