El segmento entre dos puntos es el camino más corto…

…O por lo menos, euclídeamente hablando, si me permitís el palabro.

Estoy tan tan aburrido de la oposición que me descubro a mi mismo garabateando chorradas en los márgenes de los apuntes (rollo Fermat pero en cutre). Y muchas veces, se me ocurren cosillas para el blog que no posteo más que nada por falta de tiempo. La PAU está a la vuelta de la esquina y los de segundo de bachillerato acaparan mis jornadas.

Hoy vamos a demostrar de una manera muy simple ese mantra tan repetido entre los alumnos que es “el segmento entre dos puntos es el camino más corto entre dichos puntos”. Obviamente en geometría sencillita, ni esférica ni hiperbólica ni gaitas. El plano XY de toda la vida. Y no vamos a usar la desigualdad triangular, porque con ella pues sale todo muy bien y muy bonito. Vamos a hacerlo más artesanalmente.

Además, este post es la historia de cómo las matemáticas hacen que te creas un tío avispadete y con ojo para estas cosas… para enseguida bajarte del burro y dejarte al nivel al que debes estar. Como decían en un vídeo que rula por Internet…“…y tú te vienes aquí, creyéndote más que Cauchy….”. Pues eso. Que las mates son una cura para el orgullo. Enseñan, oh, sí. Modestia más que nada.

Vamos con la idea que yo había garabateado (y que pensé que era buena, bonita y barata…):

Supongamos dos puntos A y B separados una distancia R. Supongamos un tercer punto, C, no alineado con ellos. Es decir, esto:

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Tracemos una circunferencia de centro A y otra de centro B, ambas de radio R, y llamemos X e Y a los segmentos que unen A con C y B con C respectivamente.

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Ahora vamos a ir analizando qué pasa según dónde coloquemos C, e iremos viendo que siempre X+Y>R, luego R será el camino más corto.

  • Si C está fuera de la circunferencia de centro A, automáticamente X>R luego X+Y>R

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  • Si C está en la circunferencia A entonces X=R luego X+Y>R.

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  • Si C está dentro de la circunferencia de centro A pero fuera de la de centro en B (fuera de la zona común), tendremos que Y>R luego X+Y>R:

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  • Por último, si C está dentro de la circunferencia de centro A y también dentro de la de centro en B, tenemos que X>R y que Y<R. Ahora tracemos una circunferencia de centro C y radio hasta B como en la figura, para abatir Y sobre X y comprobar que efectivamente, X+Y>R

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Como habréis observado, este último caso es más denso que el resto, que eran elegantemente simples. Además, tiene la trampa de que funciona porque ha dado la casualidad de que los segmentos X e Y suman más que R (que sí, que pasa siempre, pero…. este método no lo demuestra, más bien lo usa). Asi que ya veis cómo de estar satisfecho con mis garabatos pasé a intentar pulir este caso, bajo la idea de que no podía ser tan complicado hacerlo fácil. Y nop. No encontré la forma de pulirlo.

Asi que como no estaba satisfecho y sigo sin querer usar la desigualdad triangular (las condiciones de formación de un triángulo ya implican que la suma de X+Y es mayor que R siempre), he optado por otro método, sin casos ni gaitas.

Otro enfoque, pues:

Supongamos los puntos A,B y C sin circunferencias ni nada. Tracemos el triángulo que forman. Ahora, llevemos el lado Y  a continuación de X abatiendo con el compás, quedando un nuevo punto E. Es decir:

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Consideremos que R es mayor que X e Y. ¿por qué? Pues porque si no, entonces X+Y>R automáticamente.

Ahora tracemos el triángulo CEB. Es isósceles, luego hay dos ángulos en E y en B iguales, llamémoslos alfa. Pero, además, hay otro triángulo, que es AEB, con un ángulo en B mayor que el alfa de antes, que llamaremos beta. Es decir, algo así:

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Ahora viene la idea. Se puede demostrar que en un triángulo, a mayor ángulo, mayor lado enfrentado (es algo obvio si lo pensáis, yo siempre digo a mis alumnos que el cocodrilo tiene que abrir más la boca cuánto mayor es la presa que se quiere jalar), así que veamos:

  • el ángulo alfa del vértice E tiene enfrente un lado R (el azul).
  • El ángulo beta tiene enfrente el lado X+Y
  • Es claro que beta>alfa, luego en los lados enfrentados tenemos X+Y>R siempre.

Claro y sencillo, aunque hay que basarse en un teorema que tampoco es que sea muy difícil de demostrar, de hecho lo podéis encontrar en Internet. Me gustaba la idea inicial porque no sé, era sencilla y elegante. Lástima que se complicara en el caso final. En fin, que sirva de ejemplo de cómo una buena idea a priori (llegas a pensar si no se le habrá ocurrido nunca a nadie, momentazo de ser iluso) se tuerce al final en el caso que era, desde luego, el más interesante de todos.

Demostración del Teorema de Pitágoras con Geogebra

Hay muchas demostraciones del dichoso Teorema en la red, en libros…. es como un hobby matemático. Encontrarlas.

Incluso aquí tratamos el tema mostrando una clásica, de un tratado chino antiguo, que es la que vuelvo a presentar aquí, en versión Geogebra animado.  Aparece en el tratado chino de matemáticas Chou Pei Suan Ching o más en cristiano que entendamos todos El Clásico de la Aritmética sobre el Gnomón y los Caminos Circulares del Cielo escrito en el siglo III A.C

La recordamos:

Demostración china geométrica

Bonita imaginativa oriental

Me encanta esta demostración porque para fines didácticos es mucho más clara que la de Euclides. Qué demonios, para mí es la más simple y sencilla de todas las que he visto. Y además, de regalo, demuestra una identidad notable. ¡Qué más se puede pedir para usarla en clases de la ESO!

Hela acá. Como siempre, tenéis el link, y si no, pinchad en la bonita foto siguiente.

pitagoras2

 

Espero que la disfrutéis y que os sea de uso!!!

 

La exponencial compleja

Bueno, para este fin de semana, nos vamos a centrar en la llamada ecuación de Euler. También se la conoce como la ecuación perfecta, la más bella o la fórmula de Dios.No podía ser obra de otro que del incansable Euler….

Ecuación de Euler

la ecuación más bella (dicen)

¿Por qué? Sencillamente porque reune los pilares fundamentales de la matemática. A saber, la base natural (e), la relación entre el diámetro y la longitud de una circunferencia (PI) que además es como el anterior un irracional trascendente, es decir, no es solución de ninguna ecuación polinómica de coeficientes racionales. Y junto a ellos el uno, y el cero e “i”. La unidad, base del resto de números por los axiomas de Peano, y el cero, cuya aparición permitió al hombre usar los sistemas de numeración modernos (a nadie le gusta multiplicar con número romanos) y la unidad imaginaria (raíz de -1).

Cualquier ingeniero de Teleco o cualquiera que esté acostumbrado a ver exponenciales imaginarias en todos lados sabe que su módulo es 1.

Bien, pues esa es la tarea. Demostrar que efectivamente la exponencial imaginaria tiene módulo 1 y de ahi trivialmente deducir la fórmula de Euler.

NOTA: evidentemente antes de usar trigonometría y la forma de seno y coseno de la exponencial, hay que deducir que efectivamente cae dentro de la circunferencia goniométrica. Porque si no, nanay….

Pitágoras… el viejo Pitágoras

Bueno, la verdad es que mientras tenga la agenda tan apretada va a estar difícil el asunto de compaginar el blog con dormir y comer, por poner un ejemplo, asi que para evitar el mono abro este post, pequeñito y sin problema alguno, sólo con alguna demostración curiosa del teorema más importante jamás contado. El teorema del yayo Pitágoras que tiene más chicha de lo que la gente normalmente ve.

LA VÍA CHINA:

Aunque el teorema ya era conocido en el 4.000 A.C por babilonios y demás gentes de por ahi la antigua Mesopotamia (3.500 años antes de que naciera Pitágoras) lo cierto es que la fama del viejo sabio heleno es muy merecida pese a todo. Hasta él el teorema era algo meramente práctico, algo no demostrado y usado como curiosidad; algo parecido a la gravedad: hasta Newton no pudimos explicarla (más o menos) pero es evidente que se hizo uso de ella antes de que el ilustre inglés naciera, y era conocida.

Demostraciones del Teorema de Pitágoras hay para aburrir. Se organizan concursos y todo. Sin embargo, pongo aquí una basada en geometría de tangram, más que en pesadas disquisiciones numéricas. Se trata, en suma, de demostrar el famoso resultado mediante movimiento de fichas. No es mía. Aparece en el tratado chino de matemáticas Chou Pei Suan Ching o más en cristiano que entendamos todos El Clásico de la Aritmética sobre el Gnomón y los Caminos Circulares del Cielo escrito en el siglo III A.C.

Demostración china geométrica

Bonita imaginativa oriental

Si buscais en Google podeis encontrar muchas más demostraciones, igual de curiosas algunas. El tema es tan fructífero que ni los políticos se pudieron resistir. James Garfield, presidente de EEUU en el siglo XIX publicó una que tampoco es que sea la leche de imaginativa, pero que dada la notoriedad del personaje en su época, se hizo más o menos famosa. Se encuentra aquí (bendita/maldita wikipedia) junto con las demostraciones de genios como Bashkara o da Vinci. La fama, qué si no….

¿y vosotros? ¿Conocéis alguna demostración del teorema de Pitágoras?