21%…. ¡y unas narices!

Estos días han estado promocionándose (por lo menos en Valladolid) campañas tipo “Día Sin IVA”. Últimamente se juega mucho con este concepto en publicidad. Recordemos, por ejemplo, la campaña de “Yo No Soy Tonto” de cierta compañía dedicada a vender productos electrónicos, que es muy, muy asidua a este tipo de campañas de cuando en cuando. Esta vez ha sido El Corte Inglés, pero vamos, que tanto da unos que otros.

¿Por qué? Pues porque hay truco. Oh, sí. Si no, no sería verdadera publicidad. Y si hay algo cierto en este mundo es que nadie da duros a pesetas.

¿De qué estoy hablando? Pues en seguida lo podréis ver bien claro. Seguidme la corriente.

Pensemos esta sencilla cadena de razonamientos: El IVA en España es, considerando el tipo general (el frecuente en productos que no sean de primera necesidad), del 21%. En consecuencia un producto se ve encarecido en ese porcentaje al aplicarle dicho impuesto. Por tanto, si deseamos abaratar ese producto eliminando ese sobrecoste, basta rebajarlo un 21% de su precio final.

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Si os habéis llevado las manos a la cabeza leyendo esto, enhorabuena. No sufrís de anumerismo. Si por el contrario os ha parecido de lo más razonable, deberíais prestar un pelín de atención a lo que viene a continuación. En serio. Que no te tomen por tonto, como dicen en la cadena esa de electrónica.

Cuando se aplica el IVA, se aplica a un precio pre-IVA. Es decir, el 21% es el 21% de ese precio ANTERIOR al añadido del impuesto. Esto que parece (es) una perogrullada, es el truco en el que se intenta hacer caer al consumidor. Porque, de la misma forma, el ahorro del 21% debería ser el 21% del precio CON IVA. Es decir, un 21% de una cantidad SUPERIOR.

Es decir, en consecuencia, si subes un producto un 21% y luego lo rebajas un 21%…te queda más barato de lo que estaba inicialmente, porque el segundo 21% es más grande que el primero, en valor nominal.

¿No está claro? Suena raro, pero es fácil (y una de las cosas con las que más me río con los de 1º y 2º de la ESO). Quizás con un esquema:

¿Aún no está claro? Veámoslo en profundidad. Al incrementar el precio se le añade el 21%, pero el 21% del precio inicial (el círculo azul). Sin embargo, al rebajarlo, se aplica un 21% de lo que se tiene en el momento de aplicar dicha rebaja, que es el circulo verde. Evidentemente, el 21% de una cosa es mayor que el 21% de una cosa más pequeña (el 21% de un elefante es mucho más que el 21% de una hormiga) ya que un porcentaje es como su nombre indica, el número de trozos que cogemos de algo cuando hemos dividido ese algo en 100 pedazos.

Por tanto lo hemos incrementado el 21% de lo azul (pequeño) y lo hemos rebajado el 21% de lo verde (algo más grande). En consecuencia, el círculo final (el rojo) es diferente al inicial (azul). Vamos, que no coinciden. Es una prueba de que un porcentaje NO se compensa (o se anula) con otro idéntico.

Bueno, y ¿Esto qué tiene que ver con los anuncios del día sin IVA? Pues muy simple. Las empresas no son idiotas (ni tontas) así que saben perfectamente lo que estamos aquí contando. Por eso, en las promociones en las que descuentan el IVA realmente NO te descuentan un 21% del producto, que sería el IVA y algo más, sino un porcentaje menor que corresponde con el 21% de Impuesto al Valor Añadido. Es decir, descuentan al círculo verde un porcentaje que haga que el rojo sea igual que el azul. Y ese porcentaje es más pequeño del 21%, estando en torno al 17,4%.

¿De donde sale ese 17.4%? Muy simple: Al aplicar el IVA a un producto que cuesta X euros, pasa a costar 1.21X euros. Luego para que vuelva a ser otra vez X habrá que multiplicar a 1.21X por la inversa de 1.21, que es 1/1.21 ( y así cancelar ambos números y que sobreviva la X). Pero 1/1.21 es 0.8264, que corresponde a un porcentaje de 82.64%. Es decir, hay que pagar sólo el 82.64% del producto para compensar esa subida del 21% anterior. Y he aquí por último que si he de pagar el 82.64%….¡¡ es que me rebajan un 100%-82.64% = 17.36%!!

Lo curioso es que realmente las compañías no mienten en los anuncios. Sencillamente dejan que el cliente establezca una relación errónea entre descuento ofertado y 21%. Pero en ningún momento dicen “ahorro del 21% del PVP» (Precio de Venta al Público). Al loro con estas imágenes:

Que dice realmente que te van a rebajar el 21%…. correspondiente al IVA. No aclaran en el mismo tamaño de letra el 21% de qué. Si del precio inicial antes del impuesto o al PVP. Muy astutos.

Porque son astutos, no tontos. Si nos fijamos en la letra pequeña del anuncio pone “claramente”:

Literalmente:

“Descuento equivalente al importe del IVA aplicable a cada producto. Todos los productos incluyen IVA (…). Ejemplo para un producto de 500 € el IVA aplicable a cada producto será de 86.78 €”

Fijaos que el 21% de 500 € NO es 86.78 €, sino 105 €. La cantidad a descontar es el 17.356% de 500 €.

El precio que tenía el producto antes de impuestos era de 500 – 86.78 = 413.22 €, cuyo 21% es, ahora sí, los 86.78 € (redondeando al céntimo de euro).

Asi que lo dicho. Que no os tomen por tontos. No mienten, pero dejan que nos creamos una mentirijilla. Dejan que relacionemos IVA = 21% con SIN IVA = -21%. Cosa que acabamos de ver, no es cierta.

¿El Último Teorema de Fermat solucionado por Homer Simpson?

Buenas y casi, casi, feliz año nuevo.

Resulta que estas navidades me han regalado un librito que condensa mi amor a las matemáticas con mi amor al frikismo en estado puro. En concreto, a un frikismo muy particular. Me refiero a Los Simpson, esa gran enciclopedia social del siglo XX (y XXI).

En concreto me ha regalado una joya titulada “Los Simpson y las Matemáticas” de Simon Singh. Apenas he comenzado un par de capítulos y ya puedo decir que mi anterior entrada relacionada con el Frinkaedro era sencillamente rascar en la capa de enjundia que tiene la temática en sí. Esta entrada es un homenaje al libro y una gamberrada con todas las de la ley. Asi que antes de nada, por favor, si no conocéis el teorema más famoso de Fermat, pinchad aquí antes de seguir. Gracias.

¿Qué tiene que ver Homer con dicho teorema? Pues que es una de las múltiples referencias matemáticas que plagan la serie, y encima en capítulos míticos, aquellos que tipejos como yo nos sabemos prácticamente de memoria, y no esos nuevos tan raros que han abandonado el espíritu original de la serie y perdido parte de su mordiente. Pero me estoy desviando, sin duda. Centremos el tema y el capítulo.

Según “Los Simpson y las Matemáticas”, en el capítulo en el que Homer intenta emular a Edison, en la pizarra que Homer escribe al intentar inventar algo, escribe esto:

Centrémonos en esta expresión:

Muchos diréis: ¿y qué? Pues una igualdad como cualquier otra. Vale. Coged una calculadora. Haced la prueba. A ver qué os da.

A mí me da en mi vieja Casio: 6.397665635 exp 43 al hacer la suma de potencias y lo mismo al introducir el término de la derecha. O sea que coinciden. O si lo preferís haced la raíz doceava de la suma de la izquierda. Os dará irremisiblemente el 4472.

Posiblemente estéis pensando: “Pues vaya rollo las mates. Hemos hecho una cuenta”. Y de un número monstruoso, por cierto.

Y tendríais razón….. si no fuera porque….

…..Si no fuera porque Fermat enunció en el siglo XVII que no existen valores enteros para x,y,z que verifiquen para un n entero mayor que 2 la expresión:

Dicho a lo bruto, para que nos entendamos. ¿Recordáis el Teorema de Pitágoras? Bueno, pues si cambiamos el exponente de 2 de ese teorema a cualquier otro número natural mayor, no hay solución posible con enteros. Lo asombroso es que esto que parece tan trivial y tontorrón tardó más de 3 siglos en demostrarse. Concretamente lo demostró Andrew Wiles en 1995.

Pero volvamos a la pizarra de Homer… Hay algo que no cuadra entonces. ¿Han encontrado los guionistas de Los Simpson un contraejemplo que determina que Fermat se equivocaba? ¿Es el Teorema una patraña? ¿Está Homer en lo cierto?Parece que sí, pero…. En el fondo es que la calculadora nos engaña.

La expresión que Homer ha escrito no es verdad. Ambos términos no son iguales. Son sólo parecidos. Tan parecidos, que la calculadora no puede mostrar en su pequeña pantalla la diferencia entre ambos números y nos parecen iguales. El resultado que nos ha mostrado es 6.397665635 exp 43, que significa 6397665635 y 34 ceros detrás. Un número MUY grande. El otro término aparentemente sale igual, pero lo que ocurre es que en alguna cifra de las 34 que no caben en la pantalla ambos resultados difieren. Es como si tu calculadora trabajara mostrándote sólo a partir de la cifra de los millones. Entonces en esa calculadora la operación tres millones más noventa mil te daría lo mismo que tres millones más novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve.

Lo correcto sería que Homer hubiera escrito:

 Ya que sí, efectivamente, ambos términos son tremendamente parecidos. De hecho si lo hacemos con un ordenador y tomamos un número considerable de cifras significativas, se descubre el pastel: concretamente podéis comprobar que:

O sea, parecido…pero no igual. No exacto.  El honor de Fermat sigue intacto.

Es fácil aproximar soluciones al Teorema de Fermat con ayuda de un ordenador y paciencia. Yo por mi parte lo he hecho con un script de Geogebra trabajando con unas 15 cifras decimales y aunque no he apurado tanto (he usado una cota de error de 0.001 o similar en la mayor parte de los casos, para no tardar tanto), he obtenido también una serie de soluciones “casi casi” (que evidentemente NO son soluciones, puesto que NO son exactas). Por ejemplo:

X	Y	Z aproximada	Z exacta	N
2845	3478	3503	3502.9999	12
16281	18211	18566	18566.0092	12
4047	5475	5487	5486.9936	12
3134	2975	3248	3248.0058	12
1533	1122	1543	1542.999993	9
2774	4310	4319	4319.0005	9
3124	4403	4492	4492.000039	6
2176	1356	2339	2339.0091	3
1155	703	1236	1235.9990	3

Que si comprobáis con la calculadora comparando ambos términos del Teorema de Fermat son muy muy malas aproximaciones, ya que en la pantalla se llega a apreciar que dan resultados ligeramente diferentes. La solución de Homer no es tal (es imposible que lo sea) pero sí que es una muy muy muy muy buena aproximación. Mucho mejor que cualquiera de estas mías. De hecho, yo he obtenido las mías en pocos minutos de simulación, pero cuando he querido bajar la cota de error por debajo de las diezmilésimas, no ha habido forma en media hora de que el PC encontrara alguna en el rango entre 3 y 10000 para las bases y fijando el 6 (por ejemplo) como exponente. Imagino que el ordenador redondea y pierdo la posibilidad de apurar tanto como los guionistas de Los Simpson. Por tanto me he conformado con algunas peores que las de Homer. (También he evitado hacer trampa, descartando soluciones como 9990 elevado a la doce más 2 elevado a la doce, que evidentemente es una cuasi solución ya que ambos números son muy dispares entre sí. He buscado soluciones parecidas a las de la pizarra del capítulo.)

Evidentemente la gracia de los guionistas estaba en sacar una expresión que pudiera traer de cabeza a aquellos que la comprobaran con la calculadora sin tener en cuenta el grado de precisión de la misma. Que no es poco.

El resto de la pizarra tiene curiosidades referentes a la densidad del universo y la necesidad de que en base a ésta el Universo explosione o implosione (lo que lleva a sendas explosiones en el hogar de los Simpson y a que Homer cambie el > por un <, pero eso ya es otra historia. Otra historia que por cierto viene en el magnífico libro del que os hablaba al principio del post y que sinceramente, os recomiendo.

¿2+2=5?

Bueno, he de reconocer que posteo a trompicones. Ojalá fuera tan constante como Gaussianos u otras vacas sagradas (dicho con todo el respeto del mundo), pero qué le voy a hacer. El trabajo es el trabajo y esto es un hobby, bonito, divertido, pero…. un hobby. Lo lamento por los (pocos, pero selectos) seguidores del blog. ¡Qué le vamos a hacer!

Hoy traigo una curiosidad que he encontrado en Facebook, muy graciosa. Son muy comunes las deducciones de este tipo (la clásica es demostrar que 2 =1 pero hay más) y siempre pico por curiosidad a echarlas un ojo. Permiten localizar fallos que los alumnos pueden sopesar tener en cuenta…. normalmente el día del examen. Otras son, por contra, tremendamente ingeniosas.

En sí se trata de una demostración de que 2 + 2 son 5. Ea.

Como os podéis imaginar, tiene truco. Hay un paso que es erróneo. ¿sabéis cuál es? Pensadlo…..

En efecto, el fallo está en el paso en el que se eleva al cuadrado y para compensar se hace la raíz cuadrada. Este tipo de artificios suelen ser, con la división entre cero el talón de Aquiles de estas demostraciones. Recordad que una raíz tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa. Al elevar al cuadrado y luego hacer la raíz se introducen nuevas soluciones que no tienen nada que ver con la expresión inicial. Es algo similar a pasar de:

A ésto siguiente, elevando ambos términos al cuadrado. Al hacerlo, resolvemos otra ecuación, con dos soluciones. Una coincide con la de la ecuación anterior, pero, y esto es lo importante, la otra no.

En este segundo ejemplo la solución de x=-3 es solución de la ecuación de segundo grado, pero no de la de primer grado original. En este ejemplo se ha hecho algo parecido, pero compensándolo con la raíz cuadrada, algo que ni de lejos funciona así, ya que la raíz tiene también sus dos propias soluciones, la positiva y la negativa. Lo vemos así:

Si hacéis los cálculos con la solución positiva de 0.5 llegáis a que la expresión entera vale 5. Pero si tomáis la negativa, se llega a que vale 4. Evidentemente, la solución positiva la hemos metido con calzador al elevar y hacer la raíz y no es solución de la expresión original. Por tanto, queda demostrado que es una falacia.

Aún así, mola para poderte quedar con tus amigos un ratejo….