Tamaños del tetrabrik y un nombre equivocado… o no

Una de las cosas que más sorprenden a los chavales de la ESO es que se piensan que el mundo siempre ha sido así, y que todo ha existido de forma ininterrumpida desde hace muuucho tiempo hasta nuestros días. No es algo exclusivo de ellos, seguramente nosotros también pensábamos así cuando teníamos su edad, pero es curioso.

¿A qué viene esto? Pues a responder a una pregunta que me ha hecho un alumno hoy, a saber. ¿Por qué se llaman tetrabriks a las cajas de leche?

Es una pregunta muy interesante. Wikipediando, podéis encontrar la historia del recipiente que desplazó a los lecheros y sus botellas de cristal.

En resumen, el tetrabrik es un invento sueco (como IKEA) que en su inicio no presentaba la forma de hoy sino que era…. Un tetraedro. Y de tetraedro, tetrapak, viene la manera de llamarlo tetrabrik.  Brick es ladrillo en inglés, tetra es cuatro… muy simpáticos estos chicos con el marketing ¿verdad?.  ¿Por qué esa forma? Realmente, los construían así por limitaciones tecnológicas de la época. Resultaba tremendamente barato hacer recipientes así porque bastaba con coger una lámina de material, hacer un cilindro y doblarlo chafando sus bases como si fuera un sobre tridimensional. Ello compensó de alguna forma las desventajas que este tipo de formato tenía, como ahora veremos.

Fuente: desmotivaciones.es

Fuente: desmotivaciones.es (y sí, sabemos de dónde viene el nombre por las matemáticas y el griego)

¿Por qué se dejaron de fabricar con esta curiosa forma? Bueno, por una razón fundamental. La relación área-volumen de esta figura es mala. O eso he leído por ahí. Dicho más claramente, hace falta más material para construir un tetraedro que almacene un volumen de 1 litro, que para construir la opción lógica, un ortoedro. Así, si comparamos, para un litro (1 decímetro cúbico) haría falta un tetraedro regular de arista de 2 dm y por tanto un área de 7.20 decímetros cuadrados aproximadamente, por los 7 dm decímetros cuadrados de un tetrabrik normal de los de hoy en día o los 6 decímetros cuadrados necesarios si habláramos de un hexaedro.

pero espera…PARA UN MOMENTO. No hay tanta diferencia entre las áreas de un tetrabrik de hoy día con los tetraedros antiguos. Sí habría ahorro si los briks fuese hexaedros, es decir, igual de altos que anchos que profundos.

Lo que nos lleva a la pregunta… ¿Por qué son los tetrabrik del tamaño que son? ¿Es azar? ¿Es una conspiración?¿Es matemáticas?¿Es influencia Annunaki y de los elfos de las estrellas? Echémosle un ojo a todo esto.

Es verdad que la forma del ortoedro es superior en términos de almacenaje sobre la del tetraedro… aunque sólo sea porque permite apilar unidades de forma cómoda, cosa más peliaguda con el cuerpo de cuatro lados. Y no deja espacios entre diferentes briks. Pero eso sólo explica por qué hacerlos con esa forma. No dice nada de las dimensiones. Es más, si el ahorro de material es con el hexaedro… ¿Por qué no hacerlos con esa forma?

Yo no lo sé. Pero he trasteado un poco mareando unos pocos números, a ver qué descubría. Por tanto, lo que viene a continuación es pura especulación mía. Igual los hacen así porque le gustaban al director de ventas. Pero le he intentado buscar una cierta lógica, a ver si la tiene.

¿Os acordáis del número de oro? Aquella divina proporción que aparece en el márketing por doquier porque permite formas bellas. Nuestro amigo FI (del escultor Fidias, por cierto). La proporción áurea.

Pues aquí va a aparecer.

Imaginemos que queremos hacer un tetrabrik bello usando la divina proporción, que es, recordemos todos:

tetrabrik1

Que es la relación entre el lado y la diagonal del pentágono regular y una de los fiascos de los amigos de la secta pitagórica.

Bueno, pues queremos construir nuestro tetrabrik de dimensiones a x b x c siguiendo esto:

tetrabrik3

Es decir, con estas especificaciones:

tetrabrik4

Demos valores a estas expresiones a ver con qué valor de c (y por ende, de b y a) logramos tener un volumen de 1 litro (las dimensiones estarán por tanto en decímetros)

c b a Volumen
0.1 0.16 0.26 0.004
0.2 0.32 0.53 0.033
0.3 0.48 0.78 0.114
0.4 0.64 1.04 0.271
0.5 0.81 1.31 0.530
0.62 1.00 1.62 1.001
0.7 1.13 1.83 1.453

Con unas dimensiones de 0.62 x 1.00 x 1.62 dm logramos tener un litro. No merece la pena irse a 0.7 x 1.13 x 1.83 porque ahí el volumen ya es bastante más de un litro… casi casi estamos ya en el litro y medio.

Pues ya está, ¿no?. Los fabricantes quieren envases de 1 litro. Pues no. Los fabricantes quieren (o deberían querer) bonito, de 1 litro y barato. Y no hemos garantizado que nuestro brik sea barato ¿Qué debemos hacer? Pues relajar un poco las estrictas condiciones del problema, que es algo muy matemático. Ya tenemos que el lado pequeño ha de ser 0.62 dm, ¿no? Bueno, pues calculemos las dimensiones de los otros dos lados. Nos saldrán muy parecidas a las obtenidas aquí, porque queremos un volumen ligeramente mayor.

Alguien podrá decir, avispado él, que es una bobada dejar dos parámetros como b y a libres, porque nos complica el problema, y que sería más lógico dejar c y b fijos y aumentar un poco el tamaño de a. Bien, es una opción. Pero yo dejo los dos parámetros libres porque quiero imponer otra condición como fabricante. Ahora que ya sé cómo hacerlos bonitos usando la proporción aurea… quiero que usen la menor cantidad de material posible, aún a costa de que salgan un pelín más feotes. Quiero, por tanto, que su área sea mínima.

Lo que conlleva derivar el área buscando el punto donde es mínima.

Reescribimos la fórmula del área imponiendo que el volumen ha de ser 1 decímetro cúbico y que el lado c ha de ser 0.6 decímetros y queda:

tetrabrik5

Si derivamos e igualamos a cero obtenemos un mínimo en…

 

tetrabrik6

Entonces b=1.27 dm y a=1.27 dm

Lo que nos lleva a que las dimensiones serán de 1.27 x 1.27 x 0.62 decímetros. Qué lástima. No parece que la optimización del área a usar sea un criterio empleado…Comparémoslas con las de un tetrabrik normal y corriente real y con las medidas obtenidas para un brik áureo:

CASO DEL BRIK CON PROPORCIÓN ÁUREA

c b A Volumen
0.62 dm 1.00 dm  1.62 dm 1 litro exacto

 

CASO DEL BRIK OPTIMIZADO

C b a Volumen
0.62 dm 1.27 dm 1.27 dm = 1 litro exacto

 

CASO DEL BRIK REAL

c b A Volumen
0.62 dm 0.91 dm 1.93 dm > 1 litro (1.09 litros)

 

Conclusiones: Parece ser que el tamaño del brik está un poco más relacionado con la proporción áurea o el deseo sencillamente de hacer un embalaje bonito que en lograr la eficiencia en el área de material empleado. No obstante, tampoco hay tanta diferencia en este aspecto, ojo, que los suecos bobos no son. De hecho:

Brik áureo 6.51 dm cuadrados
Brik óptimo 6.37 dm cuadrados (mínimo)
Brik real 6.62 dm cuadrados

La diferencia es de sólo unos 0.25 decímetros cuadrados de material, es decir, aproximadamente 5 x 5 centímetros. Muy poco. A cambio, el brik real cumple ser más armonioso con el ideal del áureo. Es más bonito que el óptimo. Y tiene un volumen un poco mayor que 1 litro.

Por último, hay que tener en cuenta además que el brik real está sobredimensionado en su altura para proteger el contenido de apilamientos excesivos, golpes, que el brik se chafe o arrugue, (y esto por apilarlos suele ocurrir por arriba). Asimismo, para que no explote por cambios en el volumen de su contenido, que como todo líquido tiende a variar de volumen con cambios en la presión o la temperatura. (y si no, meted una botella de agua en el congelador, veréis que risa… )

Para que quede constancia de lo que digo, sería algo así:

CASO DEL BRIK REAL SIN ALTURA EXTRA DE SEGURIDAD

c b A Volumen
0.62 dm 0.91 dm 1.77 dm 1 litro exacto

Ello explica (en parte) que tenga ese valor de altura. Realmente da un volumen de 1.08  litros. Con 1.6 centímetros menos, saldría un volumen de 1 litro redondo. Pero eso nos sigue dejando unas dimensiones teóricas de 0.62 x 0.91 x 1.77 dm. Un valor bastante cercano al áureo aunque no idéntico.

En definitiva, no sé exactamente por qué los tetrabriks tienen estas dimensiones. Tiene que haber algún otro factor que no hayamos visto como el material que se pierde en los dobleces (quizás sea la clave de que quede más delgado, optimizar todo el material, incluyendo los dobleces que aquí he obviado), aunque está claro que su diseño es más una concesión a que quede bonito que al ahorro en sentido estricto del material. Si no fuera así, nuestros briks serían más anchos (1 cm) y más bajitos.

Por lo menos dejaron de fabricarlos con forma de dado de rol de 4 caras. Algo es algo.

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Consuelo matemático para solitarios en San Valentín ( o no…)

Proposición para animar a aquellos que no tienen pareja o que se sienten tristes en San Valentín (¿de verdad hay gente así?). En fin.

Sea P el conjunto de las personas del mundo. Sea ♡ una aplicación tal que:

valentin1

el problema es que nadie te garantiza que si esto se cumple, se vaya a cumplir que: valentin2

¿O sí? Porque de esa respuesta depende que esto sea un consuelo o no, claro….

Espero os guste esta pequeña coña en este tan, tan, tan pastelazo día ^^

¿El Último Teorema de Fermat solucionado por Homer Simpson?

Buenas y casi, casi, feliz año nuevo.

Resulta que estas navidades me han regalado un librito que condensa mi amor a las matemáticas con mi amor al frikismo en estado puro. En concreto, a un frikismo muy particular. Me refiero a Los Simpson, esa gran enciclopedia social del siglo XX (y XXI).

En concreto me ha regalado una joya titulada “Los Simpson y las Matemáticas” de Simon Singh. Apenas he comenzado un par de capítulos y ya puedo decir que mi anterior entrada relacionada con el Frinkaedro era sencillamente rascar en la capa de enjundia que tiene la temática en sí. Esta entrada es un homenaje al libro y una gamberrada con todas las de la ley. Asi que antes de nada, por favor, si no conocéis el teorema más famoso de Fermat, pinchad aquí antes de seguir. Gracias.

¿Qué tiene que ver Homer con dicho teorema? Pues que es una de las múltiples referencias matemáticas que plagan la serie, y encima en capítulos míticos, aquellos que tipejos como yo nos sabemos prácticamente de memoria, y no esos nuevos tan raros que han abandonado el espíritu original de la serie y perdido parte de su mordiente. Pero me estoy desviando, sin duda. Centremos el tema y el capítulo.

Según “Los Simpson y las Matemáticas”, en el capítulo en el que Homer intenta emular a Edison, en la pizarra que Homer escribe al intentar inventar algo, escribe esto:

homer y fermat

Centrémonos en esta expresión:

fermat 1

Muchos diréis: ¿y qué? Pues una igualdad como cualquier otra. Vale. Coged una calculadora. Haced la prueba. A ver qué os da.

A mí me da en mi vieja Casio: 6.397665635 exp 43 al hacer la suma de potencias y lo mismo al introducir el término de la derecha. O sea que coinciden. O si lo preferís haced la raíz doceava de la suma de la izquierda. Os dará irremisiblemente el 4472.

Posiblemente estéis pensando: “Pues vaya rollo las mates. Hemos hecho una cuenta”. Y de un número monstruoso, por cierto.

Y tendríais razón….. si no fuera porque….

…..Si no fuera porque Fermat enunció en el siglo XVII que no existen valores enteros para x,y,z que verifiquen para un n entero mayor que 2 la expresión:

fermat 2

Dicho a lo bruto, para que nos entendamos. ¿Recordáis el Teorema de Pitágoras? Bueno, pues si cambiamos el exponente de 2 de ese teorema a cualquier otro número natural mayor, no hay solución posible con enteros. Lo asombroso es que esto que parece tan trivial y tontorrón tardó más de 3 siglos en demostrarse. Concretamente lo demostró Andrew Wiles en 1995.

Pero volvamos a la pizarra de Homer… Hay algo que no cuadra entonces. ¿Han encontrado los guionistas de Los Simpson un contraejemplo que determina que Fermat se equivocaba? ¿Es el Teorema una patraña? ¿Está Homer en lo cierto?Parece que sí, pero…. En el fondo es que la calculadora nos engaña.

La expresión que Homer ha escrito no es verdad. Ambos términos no son iguales. Son sólo parecidos. Tan parecidos, que la calculadora no puede mostrar en su pequeña pantalla la diferencia entre ambos números y nos parecen iguales. El resultado que nos ha mostrado es 6.397665635 exp 43, que significa 6397665635 y 34 ceros detrás. Un número MUY grande. El otro término aparentemente sale igual, pero lo que ocurre es que en alguna cifra de las 34 que no caben en la pantalla ambos resultados difieren. Es como si tu calculadora trabajara mostrándote sólo a partir de la cifra de los millones. Entonces en esa calculadora la operación tres millones más noventa mil te daría lo mismo que tres millones más novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve.

Lo correcto sería que Homer hubiera escrito:

fermat 3

 Ya que sí, efectivamente, ambos términos son tremendamente parecidos. De hecho si lo hacemos con un ordenador y tomamos un número considerable de cifras significativas, se descubre el pastel: concretamente podéis comprobar que:

fermat 4

O sea, parecido…pero no igual. No exacto.  El honor de Fermat sigue intacto.

Es fácil aproximar soluciones al Teorema de Fermat con ayuda de un ordenador y paciencia. Yo por mi parte lo he hecho con un script de Geogebra trabajando con unas 15 cifras decimales y aunque no he apurado tanto (he usado una cota de error de 0.001 o similar en la mayor parte de los casos, para no tardar tanto), he obtenido también una serie de soluciones “casi casi” (que evidentemente NO son soluciones, puesto que NO son exactas). Por ejemplo:

X Y Z aproximada Z exacta N
2845 3478 3503 3502.9999 12
16281 18211 18566 18566.0092 12
4047 5475 5487 5486.9936 12
3134 2975 3248 3248.0058 12
1533 1122 1543 1542.999993 9
2774 4310 4319 4319.0005 9
3124 4403 4492 4492.000039 6
2176 1356 2339 2339.0091 3
1155 703 1236 1235.9990 3

Que si comprobáis con la calculadora comparando ambos términos del Teorema de Fermat son muy muy malas aproximaciones, ya que en la pantalla se llega a apreciar que dan resultados ligeramente diferentes. La solución de Homer no es tal (es imposible que lo sea) pero sí que es una muy muy muy muy buena aproximación. Mucho mejor que cualquiera de estas mías. De hecho, yo he obtenido las mías en pocos minutos de simulación, pero cuando he querido bajar la cota de error por debajo de las diezmilésimas, no ha habido forma en media hora de que el PC encontrara alguna en el rango entre 3 y 10000 para las bases y fijando el 6 (por ejemplo) como exponente. Imagino que el ordenador redondea y pierdo la posibilidad de apurar tanto como los guionistas de Los Simpson. Por tanto me he conformado con algunas peores que las de Homer. (También he evitado hacer trampa, descartando soluciones como 9990 elevado a la doce más 2 elevado a la doce, que evidentemente es una cuasi solución ya que ambos números son muy dispares entre sí. He buscado soluciones parecidas a las de la pizarra del capítulo.)

Evidentemente la gracia de los guionistas estaba en sacar una expresión que pudiera traer de cabeza a aquellos que la comprobaran con la calculadora sin tener en cuenta el grado de precisión de la misma. Que no es poco.

El resto de la pizarra tiene curiosidades referentes a la densidad del universo y la necesidad de que en base a ésta el Universo explosione o implosione (lo que lleva a sendas explosiones en el hogar de los Simpson y a que Homer cambie el > por un <, pero eso ya es otra historia. Otra historia que por cierto viene en el magnífico libro del que os hablaba al principio del post y que sinceramente, os recomiendo.

Pero… ¿Dónde llueve más? y esas cosas que dicen los hombres del tiempo…

¡Buenas a todos!

Hoy vamos a tratar un tema sencillo, de nivel E.S.O. pero a la vez muy interesante. La relativización de las medidas. Y lo vamos a hacer a través de un ejemplo muy sencillo, que todos hemos oído alguna vez en los pronósticos meteorológicos (o como dicen en mi casa, sencillamente, en “el tiempo”).  Me estoy refiriendo a la cantidad de precipitaciones y la unidad en que se miden habitualmente.

Fuente: La Vanguardia

Fuente: La Vanguardia

Para ello pongámonos en situación con esta pregunta: ¿Cómo puedo comparar cuánto llueve en Nueva York en un mes con lo que llueve en Madrid o lo que llueve en mi pueblo? Normalmente, acudir a los datos en bruto (es decir, averiguar cuántos litros han caído en cada una de las tres localidades) puede no ser una buena idea, ya que nos puede llevar a equívocos. Siguiendo con el ejemplo,  tirando de los datos que ofrece Wikipedia y tras unas cuantas cuentas, podemos encontrar que para un mes cualquiera, digamos Noviembre, las precipitaciones en Nueva York, Madrid, Santiago de Compostela y el pequeño pueblo de Navalmanzano (Segovia) son:

Nueva York

Madrid Santiago de Compostela Navalmanzano (Segovia)
133.540.000.000 litros 33.880.000.000 litros 44.000.000.000 litros 1.584.000.000 litros

¿Significa esto que las ciudades dónde más llueve son, por orden, éstas?

Nueva York, Santiago, Madrid, Navalmanzano

Rotundamente NO. Evidentemente, al tomar los datos en bruto estamos obviando un factor determinante: el tamaño de la ciudad. En Nueva York llueve mucho, vale, pero el valor obtenido es monstruoso comparado con el de Santiago (donde tampoco es que estén muy secos durante el año). Analizando los datos ¿Significa que en Nueva York llueve aproximadamente el doble de lo que llueve en la ciudad del botafumeiro? Pues deben pasarse la vida en canoa. Y comparando las otras dos ciudades… ¿significa que entre dos localidades separadas tan poco como un pueblo de Segovia y la capital madrileña hay una diferencia tan bestial de precipitaciones? ¿Es que las nubes emigran a la capital? ¿Se quedan atascadas en Guadarrama? ¿Se anclan al cielo (ya dicen que de Madrid….)? No. Sí. No sé. ¡Aighs, que agobio!

Pero tranquilos. Don’t panic! Tengamos en cuenta el tamaño de las ciudades.

Todos estamos de acuerdo con que NY es una gran ciudad. Enorme. Entonces no es descabellado pensar que si ha obtenido un número tan grande de litros es porque…. tiene mucho suelo donde puede llover. Por el contrario, el pueblo segoviano es bastante pequeñito, por lo que recoge poca agua… sencillamente porque ocupa poco.

¿Estamos de acuerdo? Visualicémoslo: imaginaos una tormenta, enorme. De esas que cubren hasta que la vista alcanza. Colocad un platito de postre y una paellera en el suelo, próximos. ¿Dónde caerá más agua? Todos estamos de acuerdo que en la paellera. Ahora bien; ¿Significa esto que llueve más en la paellera? La respuesta, como imagino que habréis pensado, es no. Sencillamente es más grande y ha recogido más agua que el platito de postre. Pero eso no significa que llueva más en una paellera.

Con las ciudades ocurre lo mismo.

Una vez llegamos a la conclusión de que los datos en bruto (absolutos que se suele decir) no nos valen para compararles con los de otras ciudades… ¿cómo podemos solventar esta dificultad y responder a la pregunta de dónde llueve más? Sencillo. Aquí es donde aparece la relativización de los datos. ¿Lo cualo (que dicen por ahí)? Relativización. Hacerlos relativos. Esto significa referenciarlos a algo, ponerlos dentro de un contexto, en el fondo ajustarlos siguiendo una regla que haga que sean comparables. Dejarán de ser datos absolutos (en bruto) y estarán referenciados a algo (dependerán de algo).

…y este concepto es algo que todos hemos oído alguna vez. ¿Quién no ha oído/leído/visto en la tele la expresión litros por metro cuadrado? Literalmente:

lluvia2

¿Qué significa esto? Bueno, los litros son los datos en bruto. Y los metros cuadrados son unidad de superficie. Es decir, que dividimos (repartimos) los litros que han caído en una localidad entre lo que ocupa esa localidad. Así averiguamos unos datos relativos, que no dependen del tamaño de cada ciudad porque son relativos o referentes a una misma superficie de 1 metro cuadrado.

Hemos sacado la cantidad de lluvia que cae en cada ciudad limitado, referenciado, relativo a un metro cuadrado de las mismas.

Obteniendo de Wikipedia las superficies de cada ciudad podemos decir que entonces:

Nueva York Madrid Santiago de Compostela Navalmanzano (Segovia)
Litros totales 133.540.000.000 litros 33.880.000.000 litros 44.000.000.000 litros 1.584.000.000 litros
superficie 1.214.000.000 m2 605.000.000 m2 220.000.000 m2 33.000.000 m2
Litros/m2 110 56 200 48

Esto nos da una visión totalmente diferente de cuánto llueve realmente en cada metro cuadrado de cada una de las ciudades. En un metro cuadrado de NY es previsible encontrar 110 litros, en uno de Madrid, 56, en uno de Santiago 200 litros y en Navalmanzano unos nada despreciables 48.

Entonces el orden de ciudades donde más llueve en Noviembre es:

Santiago, Nueva York, Madrid, Navalmanzano

Ahora sabemos que realmente llueve más en Santiago de Compostela que en Nueva York. Y además, hemos corregido errores de apreciación: fijaos que ahora la diferencia entre lo que llueve en Madrid y en el pueblo segoviano no es tan grande como los datos en bruto podían sugerir.

Este método de relativizar es muy útil y muy usual en la teoría de los errores; para comparar errores de diferentes magnitudes se suele usar el error relativo, única forma de responder a la pregunta inquietante de si es más grave equivocarse en 50 Kg al estimar el peso de un elefante o en medio gramos al estimar el peso de una mosca común. Con los datos en bruto, es peor la estimación del elefante. Pero eso no es verdad ya que hay que relativizarlo a los tamaños de los objetos medidos. No es lo mismo un elefante que una mosca.

Por último, y para acabar con el tema lluvia y litros por metro cuadrado, una puntualización. Este dato nos puede dar una idea de la altura que alcanzará el agua cuando llueva, ya que los litros son una unidad de volumen (base por altura si consideramos un cubo) y los metros cuadrados son unidades de superficie (la base de ese cubo). Así que los litros por metro cuadrado nos informan de qué altura alcanzará la lluvia caída en una superficie (evidentemente sin considerar filtraciones, evaporaciones, planos inclinados y demás cosillas). ¿En qué unidad? Es fácil si recordamos que un litro equivale a un decímetro cúbico. Entonces para por ejemplo los 200 litros por metro cuadrado de Santiago, equivale a una altura del agua en una calle plana de:

lluvia3

Lo pongo en milímetros porque así coinciden siempre los litros por metro cuadrado con el valor numérico de la altura. Y así es como se dan en los climogramas y demás tablas meteorológicas.

Tened en cuenta que este dato es lo que llueve en un mes. Por ello en la vida real no alcanzaría esa altura. Pero este dato puede darse durante una tromba repentina, un huracán, una gota fría o cualquier fenómeno similar. Y 200 mm de altura son 20 centímetros. Imaginaos que pasaría si en una tromba de 2 horas cayeran 200 litros por metro cuadrado cada hora.

El Frinkaedro y otras curiosidades de los Simpsons

Los Simpson son, posiblemente, una de las fuentes de información más relevantes de finales del siglo XX y principios del XXI. Más de uno lo ha calificado como “la gran enciclopedia de nuestro tiempo” (bueno, sólo uno, en el trabajo realmente, pero es una muy buena frase).

¿Tienen los Simpson alguna influencia en las matemáticas? Sí, yo diría que sí. No hace mucho empecé a preguntar a mis alumnos de 3º ESO qué figuras geométricas tridimensionales conocían. Entonces aparecía la lista de cubo, pirámide, cono, tronco de cono y de pirámide, etcétera. Una colección hermosa a la que hay que añadir…. el Frinkaedro.

 

Para los que no sepan (si es que hay alguno), hay un capítulo en los Simpson donde Homer se esconde detrás de una estantería para no cenar con las odiosas hermanas de su mujer, y debido a esto acaba en un extraño mundo tridimensional plagado de referencias matemáticas. El caso es que en su ayuda aparece el reverendo Lovejoy, el doctor J. Hibbert y el excéntrico profesor Frink (el del logaritmo neperiano de los pepinillos) para tratar de sacarle. Como buen científico, el bueno de Frink sugiere que Homer se haya atrapado en un frinkaedro, una estructura ajena a su mundo.

pero…¿Qué es exactamente un frinkaedro?

 Frinkaedro es una figura que se obtiene  extendiendo un cuadrado mas allá de las dos dimensiones de su universo, a través de un hipótetico eje Z.

 

Vamos, que un frinkaedro es un hexaedro regular o cubo. Este tema ya se ha tratado mucho en foros y demás. La definición es calcada a la que da en la serie Frink, y la he copiado de la Frikipedia. Sin embargo…. ¿alguna vez habéis buscado en Wikipedia  el término Frinkaedro? Yo sí (en un alarde de afán investigador) y hemos obtenido ESTO:

frinkaedro 1

frinkaedro 2

 

Así que parece que sí, que los Simpson han llegado incluso al acervo popular de la matemática. ¡Quién sabe si dentro de 1.000 años se estudia con ese nombre y Frink aparece como un Pitágoras cualquiera, un matemático desconocido perdido en las brumas del tiempo!

 

Por último, indagad en foros y demás acerca de este capítulo, ya que está plagado de cosillas matemáticas y físicas aprovechando el hecho de disponer de 3 dimensiones para mostrar a Homer.

 

 

Spiderman y la Física…. ¿Avanzada?

A menudo es fácil encontrarse con errores en algunas fórmulas que se ven en los medios no científicos (es corriente encontrarse erratas hasta en los libros de texto, así que qué vamos a esperar en periódicos y similares…)

Sin embargo esta vez ha sido especial. Veréis, el que os escribe es fan de Spiderman de toda la vida. Pero fan, fan. De los que tienen tebeoteca con toda la Biblioteca Marvel, el Ultimate Spiderman (hasta que la diña), el Marvel Knights Spiderman enterito, y el Amazing Spiderman desde la saga “Un Nuevo Día”. Incluso sopesé poner de tapicería al coche el uniforme de Veneno. Ejem….

Bueno, pues ayer encontré estas curiosas viñetas en el número 83 de la edición española.

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¡No hay una cosa bien! Echémoslo un ojo más de cerca:

La primera fórmula es la de la energía potencial elástica de un muelle/resorte. O quiere parecérselo. Porque dicha fórmula es en realidad:

ep1

es decir, el signo más de la viñeta…sobra.

La segunda fórmula me desconcierta aún más. Parece querer ser una expresión para calcular K, la constante de elasticidad de un muelle o de un resorte. Normalmente la fórmula para calcularlo es usar:

ep2

Pero la fórmula dada en la viñeta no se parece ni de coña a esa. Más bien se parece a la expresión de la Energía Cinética de un cuerpo, que es:

ep3

Pero entonces es energía, no K. Y no sé de dónde han sacado el menos. Alguien podría decir que me equivoco, que es alguna fórmula que desconozco pero es que me chirría por todas partes. Las unidades, por ejemplo. En la viñeta restan en esta fórmula kilogramos menos m/s al cuadrado. Eso no da la unidad de la constante de elasticidad. De hecho, no da nada que yo recuerde como unidad de algo. Parece como si alguien hubiera cogido el libro de física de su hijo y hubiera colado letras al tun tún.

Pasemos finalmente a la última expresión, mi favorita. Después de tanto muelle y tanta energía…. ¿Qué tal un poco de fuerza? De fuerza pseudogravitatoria puesto que la expresión propuesta se parece a la conocida ley:

ep4

Que es la expresión de la fuerza de atracción gravitatoria entre dos cuerpos. En el mundo de Spiderman, parece ser que una masa va al cuadrado (por qué no, ¿eh?) y la constante universal G de Cavendish pues afecta sólo a la primera masa y no al conjunto de la expresión. Faltaría que aclararan por qué una CONSTANTE UNIVERSAL afecta sólo a unas masas determinadas en detrimento de otras. En fin.

Por último el valiente Spiderman aparece. Para los que no lo saben, Peter Parker/Spiderman es además profesor de Ciencias y casi casi doctor en esa disciplina. Un cerebrito, vamos. Por tanto decide colaborar con su ya clásica cháchara. Lo malo es que en la ecuación que propone podemos suponer que por contexto M es la masa K es la constante de elasticidad de un muelle y R el radio de…. No sé…. ¿un planeta? ¡Eh, no pasa nada! Veamos desde el punto de vista de las unidades si tiene lógica alguna:

ep5

Lo que no tiene pinta de ser verdad.

Lo más gracioso de todo es la última viñeta donde se dice literalmente “ideas mecánicas avanzadas”. Estupendo. Si las hubieran escrito bien serían fórmulas que cualquier estudiante de 1º de Bachillerato debería conocer (si cursa Física, claro). Si, hombre, sí. Avanzadísimas…..

Por cierto, toda esta milonga era para lograr mediante un generador de campo cuántico (¿?) que Electro, un ser que puede manejar la electricidad a su antojo se convierta en antimateria y así pueda dañar a Thor, quien controla los relámpagos, ya que al ser antimateria la electricidad no le afectará. Pero claro, Spidey descubrirá que si choca un chorro de electrones contra Electro de antimateria pues habrña una explosión que destruirá todo el estado de Nueva York. ¿Lo habéis entendido? Pues yo también no. De hecho, no me sentía tan confuso desde el concepto de inversión protónica total (los de los ’80 lo recordaréis) que lamentablemente sólo he encontrado en versión original…..

Las Catapultas apuntan y…. ¿Hacen pleno?

Bueno, tras el parón pre veraniego (mandar curriculums, clases extra a alumnos que deben recuperar asignaturas y demás) por fin volvemos al ruedo de los problemas más o menos raros.

Toca  otra vuelta de tuerca al Warhammer. Esta vez, analizando las catapultas. Primero veamos cómo se hace todo esto. El enunciado viene después.

En Warhammer (juego de batallas entre ejércitos representados con miniaturas) hay morteros, catapultas y demás artefactos similares (¡incluso palomas bomba!) que pueden hacer un cuatro a un regimiento de infantería al que acierte. Así que vamos a meternos en el cálculo de las probabilidades de que esto ocurra.

¿Cómo se dispara?

Imaginemos un regimiento enemigo formado por 25 infantes, colocados en forma de cuadro de 5×5 (lo normal). Como la peana de cada miniatura mide 2×2 centímetros, tenemos que la unidad a bombardear será un cuadrado de área 100 centímetros cuadrados. Sin embargo, al ser un juego británico lo normal es operar en pulgadas. Entonces la unidad medirá aproximadamente 4×4 pulgadas, 16 pulgadas cuadradas. Algo así:

25 soldaditos, dispuestos a ser aporreados por una catapulta enemiga!

25 soldaditos, dispuestos a ser aporreados por una catapulta enemiga!

Lo que vamos a hacer es dispararla con una catapulta. Para ello disponemos de una plantilla de forma circular de radio 3,5 pulgadas que representa la zona donde impactará el pedrusco/obús/ bomba de paloma que le lancemos a la desdichada unidad. ¡Nadie dijo que ser guerrero fuera fácil!

Sin embargo este proceso no es automático. Se dispone además de dos dados de 6 caras. Uno de ellos dispone de 5 caras donde hay pintadas una flecha, habiendo en la sexta cara un símbolo de diana (o HIT). El otro dado tiene pintados los números 2, 4 ,6, 8, 10 y un símbolo de exclamación (¡).

Es decir:

Los dados "raros y frikis" del Warhammer.

Los dados “raros y frikis” del Warhammer.

Entonces para disparar la catapulta se hace lo siguiente:

  1. Apuntamos: en este caso elegimos al soldado central de la unidad de infantería a bombardear. Esto significa que en teoría la plantilla circular de daños debería caer ahí, pero que puede desviarse. Esto se modeliza en los pasos siguientes.
  2. Tiramos el dado de las flechas. Si sale una cara con flecha, hacia donde apunte  es hacia donde se desviará la plantilla circular. Si sale el símbolo de la diana, no se desvía (los artilleros han afinado).
  3. Ahora queda ver cuánto se desvía la plantilla. Para ello se tira el dado de los números. El resultado que salga es el número de pulgadas que la plantilla se aleja de donde apuntamos en el paso 1, siguiendo la dirección que dicte la flecha del paso 2. Si sale el símbolo de la exclamación…. Bueno, eso significa que la catapulta se ha roto, o que el mortero ha explotado. En ese caso, no hay disparo. Si ha salido en el paso 2 el símbolo de diana, no se considera el número que obtengas (pero sí el símbolo de exclamación). Es decir, si hemos hecho diana, no nos desviamos y el número de este dado es irrelevante. Pero si sale exclamación, implica que nuestra máquina de guerra se ha roto, y no dispara, independientemente de que hubiéramos apuntado bien.
  4. Las miniaturas que tengan algo de su peana dentro de la plantilla circular se consideran afectadas por el disparo.

¿Todo claro? Bueno… pues el problema es hallar qué probabilidad hay de que la catapulta logre hacer blanco en alguna miniatura de la unidad de infantería enemiga.

Y si ya nos ponemos tiquismiquis, calcular qué probabilidad hay de herir a 1 miniatura, 2, 3, 4 etcétera…..