Tirada de chapas

Las perras gordas que se lanzan en las chapas de semana santa

Las perras gordas que se lanzan en las chapas de semana santa

¡Hola a todos!

Volvemos a dar a esto de las matemáticas con una de las tradiciones más extrañas de la Semana Santa española, por lo menos en mi tierra de Castilla (aunque supongo que será más o menos igual en todas las comunidades): las chapas.

Siempre me intrigó este juego, pero de pequeño no recuerdo haber visto partidas en mi localidad natal, Aranda de Duero, pese a que mi padre insiste en que la gente apostaba (y ocasionalmente perdía) el coche o incluso la escritura de la casa. En Valladolid sé que se hacen, porque llegan estas fiestas y todo se llena de carteles anunciado partidas en bares y cafeterías, aunque nunca me había acercado. Sin embargo, este fin de semana, en el pueblo de mi novia, he podido ver partidas en los bares ya que Semana Santa es la única fecha donde las autoridades dan permisos especiales para organizar este juego tradicional (requiere de una licencia, tiene mala fama y está prohibido de forma normal).

Antes de meternos en harina con las matemáticas, diré a modo de apunte que indagando me he encontrado con que es una reminiscencia de la tradición de los soldados romanos de jugarse a los dados las pertenencias de un condenado a crucifixión. Lo digo porque imagino que muchos tendrán la misma duda que yo, a saber… ¿qué diantres tiene que ver un juego de azar con estas fechas? Pues ya lo sabéis.

En fin, para el que no lo conozca, las chapas es un juego de apuestas sobre cómo van a caer al suelo dos chapas (obvio), marcadas con caras y cruces (o lises). Hay dos clases de jugadores: uno hace de banca y apuesta una cantidad de dinero, y la segunda clase de jugadores apuesta contra ese banca. La banca gana si consigue doble cara, y sólo puede retirarse del juego si acumula tres dobles caras. En el momento en que saca doble cruz pierde (lo apostado y acumulado que llevara en esa partida) y si sale cara – cruz se repite el lanzamiento y nadie gana ni pierde.  Podéis encontrar una breve reseña en wikipedia aquí.

¿Es un juego fácil de ganar o no? Vamos a analizarlo desde el punto de vista de la banca. Para ello vamos a calcular la probabilidad de ganar en n tiradas de chapas (es decir, de ganar exactamente al cabo de 3, 4, 5 o 100 rondas).

Vamos a suponer que el jugador banca se retira del juego en el momento en que gana una partida (esto es, cuando alcanza las ansiadas tres dobles caras). Entonces tenemos:

  • n rondas con n mayor o igual que 3 (no tiene sentido tirar una sola vez o dos las chapas).
  • La probabilidad de ganar, sacar doble cara, es 1/4, la de perder (sacar cruz -cruz) es 1/4 y la de repetir o empatar en 1/2 (cara – cruz o alternativamente cruz – cara). Llamando G,E y F a ganar, empatar y fallar o perder, tenemos que P(G)=P(F)=1/4 y P(E)=1/2.
  • La última ronda que buscamos ha de ser ganada, que será cuando el jugador banca anuncie que se retira.

Entonces tenemos que lo que buscamos son las probabilidades de sacar:

chapas1

Entonces tenemos que la probabilidad buscada son todas las ramas del árbol que contengan (n-1) elementos, repartidos siendo 2 de ellos G (dos jugadas de doble cara) y el resto, (n-3), jugadas de empate llamadas E, ordenadas de cualquier forma, y que además acaben en una jugada G.

Es decir buscamos ramas de probabilidad:

chapas2

Siendo, efectivamente el primer multiplicando la probabilidad de sacar las dos jugadas de doble cara (las dos primeras G) , el segundo la probabilidad de los n-3 empates o repeticiones y la última la probabilidad de sacar la última y final jugada de doble cara.

Estas ramas del árbol aparecen en éste en un número igual al número de colocaciones de la secuencia de n-1 elementos G,E,E…. de las n-1 primeras tiradas (la última es fija y es G irremisiblemente). Se trata por tanto de permutaciones de estos (n-1) elementos con repetición, tomando las G dos veces y las E (n-3) veces.

Por tanto la probabilidad buscada son todas las ramas de esta forma, por lo que serán:

chapas3

Que es, efectivamente la probabilidad de ganar en la ronda n.

Si queremos calcular qué probabilidad hay acumulada de ganar en la ronda 3, 4,5,6  hasta la ronda infinita, es decir, qué probabilidad tengo de ganar una partida siendo banca si juego infinitas veces, hay que sumar el valor de esa expresión en n=3,n=4, n=5… hasta n=infinito.

Es decir:

 chapas4

Que no es algo trivial ni mucho menos. Es una progresión aritmético-geométrica de orden 2, ya que el numerador es una progresión aritmética de orden 2 y el denominador es una progresión geométrica normal y corriente. Resolverla es pesado pero no muy difícil. El truco está en desarrollar la serie tal cual y desarrollarla multiplicada por la razón de la geométrica (1/2 en este caso). Después se restan ambas y se agrupan por denominadores comunes. Quedan dos términos sin agrupar y el resto conforman una nueva progresión aritmético-geométrica de orden 1 (el numerador es de grado 1, vamos). Repetimos el proceso con ésta nueva y logramos obtener una progresión geométrica de la que calculamos su suma infinita. Sustituimos hacia atrás y voilá tenemos una expresión que si evaluamos en n tendiendo a infinito nos dará el valor de la serie original. ¿difícil? No, para nada. Veámoslo. Voy a calcular la suma sin arrastrar el 1/16 del principio para no enfangar el cálculo. Recordad que luego hay que añadirlo al final.

chapas5

Restando ambas expresiones obtenemos algo como:

chapas6

Repetimos el proceso para la subsuma que nos ha aparecido. Observad la iteración del proceso, en cada ronda aplicada el numerador baja un grado, de esta forma voy convirtiendo una aritmético-geométrica en una geométrica subyacente que sabemos resolver.

chapas7

Restando ambos y agrupando por denominadores comunes como antes llegamos a que:

chapas8

Ese último término entre paréntesis es una bonica progresión geométrica de razón 1/2, por lo que podemos calcular su suma infinita quedando:

chapas9

Entonces al llevarlo a infinito:

chapas10

Sustituyendo esto en la expresión de la suma y llevando la suma al infinito obtenemos que:

chapas11

Por lo que la expresión original es:

chapas12

Es decir, si juegas infinitamente, tendrás como banca 1/8 de posibilidades de ganar una vez la partida y retirarte con tus ganancias.

Como curiosidad os diré que si analizáis la expresión del principio veréis que ganar a la primera (tres veces seguidas GGG) es más difícil que ganar en 4 o 5 tiradas. De hecho, lo más probable si ganáis es que lo hagáis en la tirada 5 o 4. A partir de ahí las probabilidades de ganar la partida bajan cada vez más (por lo que la suma es convenientemente convergente).

Os dejo una gráfica con las posibilidades. Si hacéis de banca y pasáis de la quinta tirada sin haber sacado tres veces cara doble…comenzad a preocuparos….

chapasGrafico

doble cara…comenzad a preocuparos….

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¡Ollas Cuadradas!

¡Hola a todos! Resulta reconfortante volver a escribir en el blog, que he tenido abandonado estos últimos meses. Lo lamento de veras. Aunque sin duda la responsabilidad de ello es mía, este aparente abandono no ha sido voluntario y se ha debido a diversos factores relacionados con mi vida laboral. Veréis, este verano participé en la oposición de Andalucía de secundaria, en la especialidad de matemáticas. La verdad es que me salió muy bien y decidí descansar ese verano de mates y números. En agosto creo recordar que llegaron las notas y acabé muy bien posicionado aunque no logré plaza porque no tenía experiencia laboral más allá de academias (que no cuenta) y similares. Noveno o así de mi tribunal y había cuatro plazas solamente (por tribunal). No obstante, un futuro de buen interino para coger esos puntitos de experiencia necesarios se abría ante mis ojos….

Nunca vendáis la piel del jabalí antes de haberlo cazado…


Resulta que en Andalucía priman ante todo la experiencia. No es una mejora en puntos, no. Llaman a los interinos atendiendo a ello exclusivamente pasándose por el arco del seno la nota que se pueda haber sacado en oposición.
Así que igual están disfrutando de un cenutrio que rascó un cinco pelado hace años, cuando se ataban perros con longanizas en toda España y se coló mogollón de gente al socaire del elevado número de plazas que se ofertaban (en un año de esos yo hubiera logrado una plaza).
Pero bueno….
Por suerte he logrado trabajo como profesor de programación dando un curso de HTML, CSS, JavScript, PHP y AJAX a desempleados aquí en mi tierra pucelana. Y claro, esto ha hecho que me tenga que centrar más en confeccionar un juego de ejercicios de programación que en las matemáticas. Mil perdones. Prometo que intentaré que no vuelva a pasar XD.

Pero basta de lloros. Al tema. El tema que os traigo hoy es….

“¿Por qué no hay (de forma general, en realidad haberlas, haylas) ollas de sección cuadrada?”


(Por sección nos referimos a que si las cortamos con un plano paralelo a su base se obtenga un corte con forma de cuadrado.)
Uno podría pensar que es para evitar que la comida se quede inaccesible en las dichosas esquinas, pero no parece razón suficiente. Pensad que también tienen ventajas, como por ejemplo que si queremos volvar el contenido de una olla en otro recipiente, el ser cuadrada tendría ventajas, ya que se podría usar la esquina a modo de riel y lograr un flujo constante. Esto es algo dificilillo con recipientes cuadrados y si no, que alguien me diga si no ha manchado la encimera al intentar meter lo que quedaba de una sopa en un tupper por ejemplo.
No, la razón es geométrica. Simple, pero bonita manera de meter la geometría en la cocina.
En una olla cuadrada se verificará que la diagonal será siempre mayor que cualquiera de los lados de la olla. Esta es una propiedad fundamental de los triángulos rectángulos. De los tres lados, inequívocamente el mayor de ellos será la hipotenusa. Es algo lógico de ver analizando el Teorema de Pitágoras :

piti_ollas
pitagoras-formula

Supongamos h,x,y mayores que cero. Supongamos que x es mayor que h. Entonces ya se cumple que la raíz del cuadrado de x es mayor que h. Entonces no es posible el teorema de Pitágoras porque implica que h es mayor que la raíz del cuadrado de x. Cambiando x por y obtenemos exactamente la misma contradicción. Como el Teorema de Pitágoras es verdadero, es nuestra hipótesis la que falla. Efectivamente que h es la mayor de la terna x,y,h.
¿Y qué tiene que ver nuestra bonica hipotenusa con todo esto? Muy simple, que como la hipotenusa es mayor que cualquiera de los lados, la tapa cabe por el agujero de la olla. Es decir, se puede colar la tapa (aunque sea parcialmente) dentro de la misma, si se llega a mover por acción, por ejemplo, no sé yo, quizás de ponerla a hervir demasiado fuerte.
No obstante con la clásica olla cilíndrica (más o menos) de la abuela esto NO pasa. En ella la abertura es un círculo, que como todo el mundo sabe tiene un diámetro constante. Si el diámetro de la tapa es un poco mayor (para encajarla) o sencillamente igual que el de la olla, la tapa jamás se escurrirá por dentro del recipiente. Nuestros guisos estarán a salvo de quedarse en esquinas pegados o de contaminarse con polvillo y suciedad que pudiera haber en la tapa… que precisamente existe, entre otras cosas, para preservar al contenido del exterior.

El segmento entre dos puntos es el camino más corto…

…O por lo menos, euclídeamente hablando, si me permitís el palabro.

Estoy tan tan aburrido de la oposición que me descubro a mi mismo garabateando chorradas en los márgenes de los apuntes (rollo Fermat pero en cutre). Y muchas veces, se me ocurren cosillas para el blog que no posteo más que nada por falta de tiempo. La PAU está a la vuelta de la esquina y los de segundo de bachillerato acaparan mis jornadas.

Hoy vamos a demostrar de una manera muy simple ese mantra tan repetido entre los alumnos que es “el segmento entre dos puntos es el camino más corto entre dichos puntos”. Obviamente en geometría sencillita, ni esférica ni hiperbólica ni gaitas. El plano XY de toda la vida. Y no vamos a usar la desigualdad triangular, porque con ella pues sale todo muy bien y muy bonito. Vamos a hacerlo más artesanalmente.

Además, este post es la historia de cómo las matemáticas hacen que te creas un tío avispadete y con ojo para estas cosas… para enseguida bajarte del burro y dejarte al nivel al que debes estar. Como decían en un vídeo que rula por Internet…“…y tú te vienes aquí, creyéndote más que Cauchy….”. Pues eso. Que las mates son una cura para el orgullo. Enseñan, oh, sí. Modestia más que nada.

Vamos con la idea que yo había garabateado (y que pensé que era buena, bonita y barata…):

Supongamos dos puntos A y B separados una distancia R. Supongamos un tercer punto, C, no alineado con ellos. Es decir, esto:

distancia1

Tracemos una circunferencia de centro A y otra de centro B, ambas de radio R, y llamemos X e Y a los segmentos que unen A con C y B con C respectivamente.

distancia2

Ahora vamos a ir analizando qué pasa según dónde coloquemos C, e iremos viendo que siempre X+Y>R, luego R será el camino más corto.

  • Si C está fuera de la circunferencia de centro A, automáticamente X>R luego X+Y>R

distancia3

  • Si C está en la circunferencia A entonces X=R luego X+Y>R.

distancia4

  • Si C está dentro de la circunferencia de centro A pero fuera de la de centro en B (fuera de la zona común), tendremos que Y>R luego X+Y>R:

distancia5

  • Por último, si C está dentro de la circunferencia de centro A y también dentro de la de centro en B, tenemos que X>R y que Y<R. Ahora tracemos una circunferencia de centro C y radio hasta B como en la figura, para abatir Y sobre X y comprobar que efectivamente, X+Y>R

distancia6

 

Como habréis observado, este último caso es más denso que el resto, que eran elegantemente simples. Además, tiene la trampa de que funciona porque ha dado la casualidad de que los segmentos X e Y suman más que R (que sí, que pasa siempre, pero…. este método no lo demuestra, más bien lo usa). Asi que ya veis cómo de estar satisfecho con mis garabatos pasé a intentar pulir este caso, bajo la idea de que no podía ser tan complicado hacerlo fácil. Y nop. No encontré la forma de pulirlo.

Asi que como no estaba satisfecho y sigo sin querer usar la desigualdad triangular (las condiciones de formación de un triángulo ya implican que la suma de X+Y es mayor que R siempre), he optado por otro método, sin casos ni gaitas.

Otro enfoque, pues:

Supongamos los puntos A,B y C sin circunferencias ni nada. Tracemos el triángulo que forman. Ahora, llevemos el lado Y  a continuación de X abatiendo con el compás, quedando un nuevo punto E. Es decir:

distancia7

Consideremos que R es mayor que X e Y. ¿por qué? Pues porque si no, entonces X+Y>R automáticamente.

Ahora tracemos el triángulo CEB. Es isósceles, luego hay dos ángulos en E y en B iguales, llamémoslos alfa. Pero, además, hay otro triángulo, que es AEB, con un ángulo en B mayor que el alfa de antes, que llamaremos beta. Es decir, algo así:

distancia8

Ahora viene la idea. Se puede demostrar que en un triángulo, a mayor ángulo, mayor lado enfrentado (es algo obvio si lo pensáis, yo siempre digo a mis alumnos que el cocodrilo tiene que abrir más la boca cuánto mayor es la presa que se quiere jalar), así que veamos:

  • el ángulo alfa del vértice E tiene enfrente un lado R (el azul).
  • El ángulo beta tiene enfrente el lado X+Y
  • Es claro que beta>alfa, luego en los lados enfrentados tenemos X+Y>R siempre.

Claro y sencillo, aunque hay que basarse en un teorema que tampoco es que sea muy difícil de demostrar, de hecho lo podéis encontrar en Internet. Me gustaba la idea inicial porque no sé, era sencilla y elegante. Lástima que se complicara en el caso final. En fin, que sirva de ejemplo de cómo una buena idea a priori (llegas a pensar si no se le habrá ocurrido nunca a nadie, momentazo de ser iluso) se tuerce al final en el caso que era, desde luego, el más interesante de todos.

El método de Descartes

Cómo le debía gustar la palabrita “método” a René Descartes, oigan….

Sigo con la oposición, centrándome estos días en la niña fea del temario. Aquellos que nadie se prepara nunca porque no gustan. ¿A nadie? No, qué va. A mí, de hecho, me encantan. Hablo de los temas de Historia de las Matemáticas.

Estos días estoy con la historia del cálculo diferencial e integral, es decir del Análisis desde que Euler los junta a ambos en una sola disciplina. Y me he topado con algún método curioso de esos que se usaron para hacer las cosas que hoy en día calculamos con derivadas o integrales.

Imaginaos que queréis calcular la ecuación de la tangente de una función en un punto. No de una función especialmente difícil ni rara. Un seno. Un logaritmo. Una función racional. Esas cosas.

Cualquier alumno avezado de bachillerato se irá corriendo a derivar la función y evaluarla en el punto de tangencia porque como todos sabemos, la pendiente de la tangente es realmente el valor de la derivada de la función en dicho punto. El resto es coser y cantar, sólo hay que completar la ecuación punto pendiente de la tangente con las coordenadas del punto y el valor de la pendiente (es decir, el de la derivada).

No obstante estas formas de actuar se las debemos a dos monstruos con mayúsculas de la ciencia. Leibniz y en menor medida, Newton. Ellos dos se rumiaron la idea de derivada e integral como entes relacionados (de acuerdo, incluiremos también a Barrow y a más gente) y alejaron definitivamente el análisis funcional del estrecho corsé de la Geometría, al que le habían sometido desde Arquímedes hasta Descartes, que es el prota de este post. (¿Os suena el Discurso del Método de clase de filosofía? Pues el tercer libro del Discurso se llama… Geometría. Deberían explicarlo en mates, ¡leñe!)

El caso es que antes de que Leibniz y Newton, Newton y Leibniz y sus sucesores  nos pusieran las herramientas actuales de trato con funciones en las manos, cada cual se creaba herramientas apropiadas para cada problema por separado. Uno de los problemas era el de calcular la tangente de una curva en un punto sin usar derivadas ya que… ¡bueno, no se conocían!. Y una de las soluciones es la de Descartes. He aquí:

Consideremos que queremos la tangente en P de una curva f(x). Tomemos una circunferencia auxiliar de centro (C,0) con C cualquiera y radio de C a P. Es de suponer que la circunferencia será secante a la función en dos puntos. Arrastremos el centro C hasta que logremos que la circunferencia sea tangente a la curva en P. Entonces, podemos trazar la tangente a la circunferencia en P (es sencillo, será perpendicular al radio CP) y a su vez será tangente a la curva en P.

 

Un original método que analíticamente consiste en considerar el sistema formado por la ecuación de la circunferencia y la propia función y forzar a que sólo tenga una solución, en P. Con eso ya se tiene la coordenada exacta de C y el radio. Y con el vector del radio, sacar el perpendicular (el de la recta tangente) es inmediato. ¡Y sin derivar!

Os dejo en Geogebra un applet con el que podéis practicar sintiéndoos como Descartes. Analíticamente el método no es  cómodo ni mucho menos (depende de la dificultad a la hora de forzar una solución única en el sistema) pero es muy curioso y muy ingenioso. Como siempre, pinchad o en la imagen o aquí:

metodo de descartes 1

Veamos analíticamente cómo funciona. Por ejemplo, hallar la tangente de:

metodo de descartes 2

en el punto P(2,2).

Se trata de solucionar el sistema formado por la circunferencia de centro C(C,0) y radio CP y la propia función, forzando que la solución sea únicamente en x=2 (coordenada de P).

Es decir:

metodo de descartes 3

El centro es C(3,0), el radio es el vector PC(1,-2), luego la pendiente de la recta del radio PC es  -2. Entonces la perpendicular tendrá pendiente 1/2 y pasará por P(2,2), luego será la recta       y-2=0.5(x-2), o lo que es lo mismo

Tangente es: Y=0.5X+1

 

Esas indeterminadas que no lo son….

Es muy, muy, pero que muy corriente (la última, esta misma tarde con un buen alumno de 2º de bachillerato) que el concepto de indeterminada se pierda en el proceloso mar del cálculo de límites y que se tienda a complicarse uno la vida por culpa de métodos aprendidos rápido y mal. Para entendernos, que muchas veces se aplica la regla que sea a huevo sin pensar más, vamos.

Consideremos este límite puesto por una profesora de mi lugar de residencia y que sin duda se ha querido echar unas risas a costa de los que estudian tarde, rápido y mal (o para localizar posibles malos aprendizajes, que también puede ser, oye…)

limite1

Contempladlo, amadlo, temedlo….

E intentad resolverlo. Es muy simple: la raíz primera tiende a infinito y la segunda también. Por tanto es un límite cuyo resultado es infinito más infinito, que da como resultado…. Pues evidentemente, infinito. Si sumas dos cantidades grandes de cosas, el resultado es otra cantidad grande. De cajón de madera de pino.

¿Qué a qué viene esto? Pues a que mi alumno lo ha intentado resolver como le sonaba de haberlo hecho en clase. Literalmente, ha multiplicado y dividido por el conjugado, quedándole:

limite2

Que es a su vez un límite mucho más feo y complicado, y con una pesadilla de indeterminada porque dependiendo de qué pase con el denominador tendremos una posible indeterminada u otra en la expresión. Si, se puede sacar a “ojímetro”, razonando que el minuendo del denominador tiende más rápido que el sustraendo (por el grado de X, más que nada) y que por tanto el límite global es infinito entre infinito; y que como el grado del numerador es mayor que el del denominador, el resultado global es infinito.

Sí, se puede hacer. Pero no por ello hay que obviar el hecho de que el fallo está en que se aprende con demasiado énfasis la mecánica en la resolución de límites. Que si L´Hopital (que en este límite tiene pinta de cómo que no, gracias…), que si equivalentes, que si métodos propios… pero en el fondo olvidan (olvidamos) siempre remarcar una sencilla regla.

EVALÚA EL LÍMITE SIEMPRE. Si no hay indeterminada, ya está hecho.

Si mi alumno se hubiera dado cuenta de que este límite NO es el clásico de radical MENOS radical, hubiera tardado cinco segundos en sacar la solución.

Subyace (creo) un problema que es que el alumno medio no comprende bien qué es una indeterminada. Una indeterminada es, coloquialmente, una expresión matemática que al evaluarla a ojo puede darnos dos soluciones diferentes y aparentemente lógicas. Esta no es una definición formal (de hecho, es una definición horrorosa) pero me vale para lo que quiero exponer en este post. En nuestro caso, no había indeterminada porque evidentemente:

∞+∞=∞

Pero si tenemos:

∞-∞=¿?

La cosa cambia porque al restar infinito menos infinito puede ocurrir que gane el minuendo, en cuyo caso el resultado es infinito, que gane el sustraendo, con lo que el resultado es menos infinito o que empaten, y quede la resta estancada en un valor numérico. Cuando digo ganar me refiero a que tienda más rápido a infinito que el otro infinito, y cuando digo empatar, es que tienden con el mismo ritmo.

Es fácil compararlo con una bañera que tiene un grifo que arroja infinita agua y un desagüe que deja salir infinita agua. ¿Cómo queda la bañera? Pues esto es una indeterminada. Con lógica podemos suponer que llena, porque entra infinita agua en ella, o vacía porque sale infinita agua en ella. También puede ocurrir que se compensen ambos y que la bañera siempre tenga una cantidad constante de agua. No podemos determinar fácilmente cuál de los tres razonamientos es el correcto así, a simple vista. Por ello decimos que no está determinado, que es lo que significa indeterminada.

El método de mi alumno hubiera sido acertado si el límite hubiera sido el clásico que siempre se pone en clase:

limite3

Que da infinito menos infinito. Y un método para romper esa situación de indeterminada es multiplicar y dividir por el conjugado, en este caso sí.

Así que ya sabéis. Cuidado con aplicar a lo loco los métodos de resolución de indeterminadas… sobre todo cercioraros primero de que tal indeterminación existe. Si no, pues….¿Pá qué?

Expliquemos bien Bayes y su Teorema

Thomas Bayes fue un matemático británico del siglo XVIII que enunció un curioso teorema de esos que son feos formalmente pero realmente muy cómodos en su aplicación. Y se basa en el análisis de las probabilidades de las causas observando los efectos.

He aquí el archiconocido y sumamente mal interpretado a veces Teorema de Bayes:

Sea la terna (W,F,P) un espacio probabilístico. Sea A1,A2 …. An un sistema completo de sucesos, y sea el suceso B. La probabilidad de que ocurra un determinado Ak condicionado a que haya ocurrido B es:

teorema de bayes

 

 

Es un teorema de esos feos, feos en su enunciado pero muy simples, como vamos a analizar, en su uso. Para ello aclaremos algunos conceptos:

  • P(A/B) significa probabilidad de que ocurra A a condición de que haya ocurrido B. Y al revés, P(B/A) pues obviamente significa la probabilidad de que ocurra B a condición de que haya ocurrido A.
  • Un sistema completo de sucesos es un conjunto de sucesos que cumplen dos propiedades que se pueden resumir así: Si consideramos todos ellos no dejamos ningún caso fuera (es decir, todos agrupan el 100% de las probabilidades, todas las opciones) y no se pisan unos con otros, es decir, no hay manera de que dos o más sucesos ocurran a la vez. Por ejemplo un sistema completo de sucesos es  DIA y NOCHE, o en un dado de seis caras que salgan PAR y que salga IMPAR; cubrimos todas las posibilidades y no se solapan. No hay DÍA y NOCHE a la vez y no hay PAR e IMPAR a la vez. Obviamente no han de ser opuestos siempre, pero pasa muy a menudo.
  • El Teorema de Bayes sirve para analizar las probabilidades de las causas una vez ha ocurrido una determinada consecuencia. Dicho de otra forma, si ha ocurrido B, Bayes te dice qué posibilidad hay de que haya sido bajo efecto o influjo de A1 o A2 o un Ak cualquiera.
  • Interpretarlo es muy muy fácil. Tenemos que primero ocurren una colección de sucesos (Ak) y luego, después de cada uno de ellos puede ocurrir B o no ocurrir. Vamos a preguntarnos qué probabilidad hay de que si ha ocurrido B hhaya sido bajo influencia de A1. Veamos el diagrama de árbol:

bayes1

Apliquemos la regla de Laplace que todo el mundo conoce, ya sabéis, la probabilidad de que pase un suceso es el cociente entre casos favorables y casos totales.

La probabilidad P(A1/B) es la probabilidad de que pase A1 sabiendo que ha pasado B. Luego la rama a favor del árbol es claramente la marcada en el dibujo.

¿Cuáles son los casos totales? Sencillo. NO es todo el árbol, dado que sabemos de forma fehaciente que B ha ocurrido. Es por eso que los casos totales son la suma de todas las ramas del árbol que acaban en B, sólo y exclusivamente esos. Es decir, P(A1)P(A1/B)+ P(A2)P(A2/B)+…+ P(An)P(An/B). Viendo el diagramas, los caminos verdes marcados en el dibujo siguiente.

bayes2

Ahora comparad este razonamiento con la fórmula del Teorema de Bayes. Realmente, es aplicar la Regla de Laplace con mucha imaginación. Numerador es la rama roja (a favor) y denominador es la suma de todas las ramas verdes (casos totales). El teorema NO viene de la Ley de Laplace (más que nada porque y para pasmo de mucha gente, el bueno de Bayes es anterior unos 50 años al genio francés), sino que se deduce del Teorema de la Probabilidad Total y la propia definición de probabilidad condicionada. Pero no negaréis que así se ve mucho mejor que saberse de memoria la fórmula, ¿no?.

Y mucho ojo, porque este teorema permite analizar cosillas que si se toman a la ligera, rápidamente, pueden dar lugar a equívocos. Por ejemplo, supongamos que un fabricante de pruebas para corroborar si se tiene una enfermedad dice que “su test acierta en las pruebas realizadas a enfermos diagnosticados en el 95% de los casos”. Ahora pregunto….

¿Detecta realmente bien la presencia de enfermedad?

Si pensáis que sí, volved a leerlo detenidamente. ¿El truco? Muy sencillo: el fabricante asegura que acierta en el 95% de las pruebas con enfermos, pero…. ¿qué sabemos de las posibilidades de acertar al aplicarlo a alguien sano? Es decir, a mi no me gustaría que me dijeran que tengo una enfermedad cuando realmente no la tengo. Éste es un punto importante, clave. Para saber si el método es fiable no basta con saber cuántas veces acierta al aplicarlo a enfermos. También necesitamos saber cuándo acierta al aplicarlo a sanos.

Es decir, si queremos saber cuán fiable es, lo que queremos es saber qué probabilidad hay de que tengamos esa enfermedad cuándo el método dice que la tenemos y qué probabilidad hay de no tenerla cuándo el método dice que no la tenemos.

¿Vemos la implicación de Bayes? Supongamos:

  • A1 es el suceso “tener la enfermedad”. A2 es su opuesto, el suceso “No tener la enfermedad”. Forman un sistema completo de sucesos.
  • B es el suceso “el test dice que tengo la enfermedad”. Y su opuesto es “el test dice que no tengo la enfermedad”.
  • Como nos faltan datos, supongamos que el test acierta, por ser generosos, también en el 95% de las veces que dice que NO se sufre dicha enfermedad. Es decir, un 95% de las veces que se ha probado con sanos, ha deducido correctamente que efectivamente está sano.

Con estos datos, podemos formar un diagrama, dejando como X  de [0,1]la probabilidad de sufrir una determinada enfermedad:

bayes3

Lo que nos deja:

bayes5

 Representando en Geogebra estas dos funciones se ven que van a la contra, cuando una sube la otra baja y viceversa. Os dejo un gif que como todos los de Geogebra pesa lo suyo y el link a la hoja dinámica. Si el gif tarda id a la hoja pinchando aquí. La hoja, si no rula, probad a hacerla funcionar como HTML5. Está configurada para mostrarse en Java.

probabilidad bayesiana2

 

La gráfica azul es la probabilidad de tener la enfermedad cuando el test dice que la tienes y la roja la probabilidad de no tenerla si el test dice que no la tienes. La barra que se mueve es la probabilidad de tener la enfermedad. Obviamente oscila de 0 a 1.

Observamos que si la enfermedad es rara (con probabilidad x muy baja, del orden de 0.05) la probabilidad de tener la enfermedad cuando el test dice que la tienes es bastante pequeña, aunque es muy probable que no la tengas si el test dice que no la tienes. Como es una enfermedad rara, entonces el test tampoco es que sirva para mucho.

Más curioso es qué ocurre si es una enfermedad plaga (con una probabilidad de x=0.95, no sé si hay plagas así…). En ese caso los papeles se invierten. Si el test dice que la tienes, es muy probable que la tengas, pero si el test dice que no la tienes…. Es muy fácil que se haya equivocado. Tampoco sirve de gran ayuda en una epidemia un test que no sirve para decir quién está libre de la enfermedad (que es lo difícil en esos casos).

 

¿es entonces un buen test? Bueno, si la probabilidad de tener una enfermedad es de un 0.2 a un 0.8 entonces sí que acierta bastante (si es que un 80% de aciertos es suficientemente bueno, ya que pensad que vamos a realizar la prueba a millones de personas ansiosas de saber su estado), pero no sé hasta qué punto hay enfermedades tan proclives a ser sufridas….

Lo que está claro es que no funciona bien con enfermedades muy raras ni con enfermedades que causen pandemias.

Integrales (aparentemente) mal hechas…

Una de las cosas que más se olvida es que si bien la derivada de una función es única (salvo formas de expresarla, como la de la tangente por ejemplo), una integral es una operación que tiene por resultado muchas, muchas, muuuchas soluciones. Tantas como valores podamos dar a una constante, de hecho. Una integral tiene infinitas soluciones.

Una visión intuitiva del asunto es que la integral es la operación contraria a la derivación  y que la derivada de una constante es cero. Por eso escribimos siempre la (olvidada) contante de integración al acabar de operar:

integralesA

Y la solución es F(x)+1, F(x)+3/4, F(x) + 1.000.000…. lo que queráis.

Esto conlleva que la integral de una función sea un abanico de funciones parecidas, pero no iguales. Funciones que se diferencian en el valor que pueda tomar la dichosa constante de integración (La C). Por ejemplo.

integralesB

Comprobamos que efectivamente si hacemos el proceso inverso, esto es, si derivamos, el valor de la C es irrelevante. Puede valer 15 o Pi o un millón de trillones. Al derivar se anula, y el resultado vuelve a ser la función que antes integramos:

integralesC

Esto es una perogrullada que no obstante a veces la gente olvida. A un compañero en carrera se le olvidó la constante de integración al final del ejercicio y a pesar de que el resto estaba bien desarrollado le pusieron un cero. La excusa del original” profesor era que le había dado una solución de las infinitas que había (pues infinitos valores toma la dichosa C que olvidó) y en correspondencia le ponía la parte proporcional de la nota.

Sin embargo, este tema está más que trillado ¿A qué viene esto? Bueno, pues a que tiene más importancia de la que parece. En funciones polinómicas, la  C es lo que diferencia una solución de la integral de otra, pero mantienen todas ellas la misma “forma”, el mismo “cuerpo”. Sin embargo, esto no siempre es así cuando nos alejamos un poco de ellos, y nos metemos con las integrales de funciones trigonométricas, por ejemplo. Y ahí es donde quiero ir a parar.

Consideremos este ejemplo:

integralesD

Esta integral se puede resolver de varias formas. Podemos aplicar un sencillo cambio de variables (seno y coseno son función y derivada respectivamente) o se puede resolver considerando que es casi la expresión del seno del ángulo doble:

Es decir:

Primera forma:

integralesE

Segunda forma:

integralesF

Y aquí es donde les empiezan a veces los problemas. Saber si está bien una solución, la otra o las dos, regado con el hecho de que a la gente se la taladra en clase con que NO se olvide la constante de integración. Y normalmente nadie lo hace… hasta que se acaba la integral y hay que usar la expresión resultante para algo.

Pero volvamos a la comprobación de si ambas expresiones son solución de la integral. Normalmente, un razonamiento que se tiene es caer en la idea de que si ambas soluciones lo son, entonces su resta ha de ser cero, ya que…. ¡son la misma cosa!

Pero entonces ocurre el chasco, ya que este razonamiento es erróneo. Enseguida destapamos la liebre, pero primero veamos qué pasa si seguimos adelante con él. Por tanto, restemos ambas soluciones, a ver qué pasa :

integralesG

La conclusión (errónea, insisto) que se extrae de ésto es que como ambas soluciones restadas NO dan cero, sino 1/4, es que hemos metido la pata en alguna de las soluciones y que una está mal. Comienza entonces una búsqueda del fallo…. En vano.

¿Dónde está el truco? Pues que las dos soluciones son perfectamente válidas PERO sus constantes de integración NO tienen por qué tomar el mismo valor en ambas a la vez. Por tanto, no se pueden simplificar alegremente una con la otra. Para empezar, no debería haberla llamado C en ambas expresiones, pero esa es una de las manías que más abundan en estos campos, que llevan a errores de este tipo.

De hecho, si las llamamos C y K, por ejemplo, y considerando que no es necesario que C=K, se llega a que:

integralesH

Es decir, ambas soluciones coinciden si observamos que la constante de una de ellas será un cuarto más que la constante de la otra. Pero ambas son soluciones de la misma integral.

Podemos verlo gráficamente:

integrales1

Cuando ambas constantes son iguales, cero en este caso, las soluciones se diferencian en una cantidad que es constante. ¿Adivináis cuánto es esa diferencia? Exacto, en este caso es 1/4.

Si corregimos este hecho queda que…

integrales2

Las dos gráficas coinciden cuando la constante de una y otra se llevan 1/4 entre sí. (La roja tiene de C=0 y la azul superpuesta C=1/4)

La roja no se ve, tapada por la azul.

Esto mismo ocurre con los polinomios y con cualquier integral, lo que pasa es que con las funciones trigonométricas es muy común que aparezcan soluciones aparentemente diferentes en forma pero que en el fondo sean la misma. La culpa la tienen la cantidad de formas que hay de resolverlas usando la trigonometría. Así que no os asustéis cuándo resolváis integrales de este tipo y vuestras soluciones no coincidan de forma clavada con las de vuestros compañeros…. ¡puede que hayáis seguido caminos alternativos!