Bueno, vamos para allá. Al lío. Supongamos que queremos explicar cómo resolver la ecuación:
Buscando los x,y enteros que satisfacen ésta.
¿Lo qué? Bueno, vale… transformémoslo en un ejemplo. Supongamos que queremos embaldosar un suelo de área 154 y llamamos a dos chapuzas.
- Chapuzas azul que coloca baldosas de tamaño 10
- Chapuzas rojo que coloca baldosas de tamaño 6
Por separado se ve que la situación no es tan sencilla como parece….
Ocurre que ambos chapuzas no pueden hacerlo sin tener que recurrir a usar trozos de sus baldosas, cosa que no queremos…. ¡son unos chapuzas! ¡Cualquiera les dejar colocando tercios o cuartos en vez de baldosas enteras!
Por tanto vamos a intentar que trabajen a la vez, de forma coordinada. Para ello, primero necesitamos que piensen no en baldosas de 10 y de 6, sino en baldosas de un número determinado, el mismo para los dos.
Ese número va a ser en este caso el número 2. Efectivamente, de esta forma el chapuzas rojo y el chapuzas azul van a empezar a pensar en sus baldosas de forma diferente.
- El rojo va a empezar a ver sus baldosas de tamaño 6 como 3 de tamaño 2 juntas
- El azul va a empezar a ver las suyas no como de tamaño 10 sino 5 de tamaño 2 juntas.
Hemos elegido el valor 2 porque es el número más grande en que se pueden dividir el tamaño 10 y el tamaño 6 de manera exacta. Es por tanto nuestro viejo amigo de la secundaria…. El máximo común divisor.
¿Por qué lo hemos hecho así? Bueno, por dos buenas razones.
- Podemos ver si es posible realizar la tarea poniendo a los dos chapuzas a trabajar de forma conjunta.
- Y además sólo tendremos que pensar en divisiones del suelo de trozos de 2, no de 10 y de 6 a la vez. Es ahorro cooperativo.
Primero comprobemos que efectivamente se puede realizar la chapuza. Observa que el MCD de 10 y 6 es 2. Como nuestro suelo tiene un área de 154, que es múltiplo de ese número, sí que se puede encontrar una solución. ¡Nuestros chapuzas tienen trabajo por delante!
Si el área hubiera sido un número no múltiplo de 2, por ejemplo, 25, no hubiera sido posible hacer nada. Siempre hubiera sobrado un trocito de 1 de área, imposible de rellenar con baldosas hechas “juntando trozos de tamaño 2” como las de nuestros currelas.
En la figura vemos que en el primer dibujo sí que habrá solución. Lamentablemente en el segundo no será posible. Es imposible rellenar un hueco de tamaño 1 con baldosas hechas con retales de tamaño 2.
Bueno, visto esto, el siguiente paso es buscar una solución cualquiera que satisfaga la ecuación. Dicho de otra forma, hay que buscar una combinación de baldosas rojas y azules que nos den 154 de área. Esto se puede sacar obviamente a ojímetro (por pura prueba) o aplicar un poco de lógica. La lógica de Euclides, la lógica de cómo repartir:
Entonces ya tenemos que una posible solución es x=-77 e y=154. Es decir, que el chapuzas rojo coloque 154 baldosas y el azul quite 77. (ése es el sentido de ese signo menos). Se ve en la figura:
Ésta es la forma elegante de obtener una solución de la ecuación. No sé, podríamos haberla sacado “por chiripa” e igualmente hubiera valido. Fijaos que también podría haber usado otras. Por ejemplo, que el chapuzas azul hubiera colocado 13 baldosas y el rojo hubiera colocado 4. En ese caso, hubiera quedado 10×13+6×4 = 154, también válido.
Si, bien, de acuerdo… esta es una de las soluciones. ¿Pero hay más? ¿cómo las saco? Nada más sencillo. Podemos pensar en que por ejemplo el chapuzas rojo podrá poner más baldosas de más. En ese caso el chapuzas azul tendrá que quitar más baldosas para que sólo queden las que han de quedar. O bien podemos pensar que el rojo afine mejor y no coque tantas sobrantes. En ese caso el chapuzas azul habrá de retirar menos.
Para definir esto decimos que:
De esta forma estamos quitando un número de baldosas al rojo que representa un área que es rellenada por el chapuzas azul usando sus propias baldosas. Observa la expresión. ¿no ves por qué esas fracciones? Quizás si lo escribimos en la ecuación…
Ahí está claro el por qué. Lo que añade el azul será al multiplicarse por 10 en la ecuación 60K/2, la misma cantidad que quita el rojo, que es por análoga razón -60K/2. Por tanto, podemos aplicar el viejo criterio matemático “las gallinas que entran por las que salen” o de otra forma, que el trabajo que evitamos a uno lo realiza el otro.
Alguien puede estar pensando: muy astutos, los chapuzas, pero esto también podría valer entonces…
Y efectivamente, tendría razón… aparentemente. Con esto se obtienen soluciones, si, pero menos que con la otra fórmula. La razón es que estás haciendo que el rojo quite baldosas de “10 en 10” y que el azul las añada de “6 en 6”. Por el contrario, en la expresión anterior habíamos dividido entre el mayor número común a los dos tamaños de baldosas, y garantizamos así que las quitas de rojo y los añadidos de azul son lo más finos posibles, ya que dividimos entre el mayor número que tienen 6 y 10 en común, en éste caso, 2. Así, no nos dejamos soluciones.
…si es que los chapuzas son la leche de finos…
Ésta es la visión intuitiva de la solución de las ecuaciones diofánticas lineales clásicas, cuya expresión es:
ertipodematematicas 